¿Por qué prefieres un café a un té? La teoría de la utilidad (Rep | ORBITECH

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¿Alguna vez te pasó que en una tarde de mate con amigos en Palermo, alguien elige té en vez de café? O que en un kiosko de Córdoba pagás 200 $p o r u n c o r t a d o c u a n d o e l t é c u e s t a 120$ ... y sin embargo elegís el café. ¿Es solo costumbre? ¿O hay una razón económica detrás? La teoría de la utilidad te va a mostrar por qué tu cerebro —aunque no lo sepas— hace cálculos cada vez que elegís entre un trago caliente y otro. Vamos a desarmar este misterio con ejemplos que vivís todos los días: en el bar de la esquina, en el colectivo a Rosario, o en el quiosco de tu barrio. Y lo mejor: vas a poder resolver problemas que podrían caer en tu examen de Ingreso universitario o CBC.

Cálculo de utilidad total y marginal en un café porteño (4 puntos)

15 minFunción de utilidadUtilidad totalUtilidad marginal

En el café "La Viruta" de Palermo, Juan consume café y té durante sus tardes de estudio. La función de utilidad que obtiene está dada por $U (c, t) = 10 c + 8 t - 0.2 c^{2} - 0.1 t^{2}$ , donde $c$ es la cantidad de cafés y $t$ la cantidad de tés. Calcula la utilidad total y marginal para las combinaciones de consumo que aparecen en su ticket.

$c = 2$ , $t = 3$
$c = 4$ , $t = 1$

Calcula la utilidad total para cada combinación de consumo
Calcula la utilidad marginal del café ( $U_{m}^{c}$ ) y del té ( $U_{m}^{t}$ ) en cada caso

Solución completa

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la utilidad total para cada combinación de consumo

Sustitución para U(2,3) — Reemplazamos c=2 y t=3 en la función de utilidad.
$U (2,3) = 20 + 24 - 0.2 (4) - 0.1 (9) = 44 - 0.8 - 0.9 = 42.3$
Sustitución para U(4,1) — Reemplazamos c=4 y t=1 en la función de utilidad.
$U (4,1) = 40 + 8 - 0.2 (16) - 0.1 (1) = 48 - 3.2 - 0.1 = 44.7$

$U (2,3) = 42.3; U (4,1) = 44.7$

→ Para (c=2,t=3): U=42.3; para (c=4,t=1): U=44.7

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula la utilidad marginal del café ( $U_{m}^{c}$ ) y del té ( $U_{m}^{t}$ ) en cada caso

Cálculo de $U_{m}^{c}$ en (2,3) — Aplicamos la derivada parcial para c=2.
$U_{m}^{c} (2) = 10 - 0.4 (2) = 10 - 0.8 = 9.2$
Cálculo de $U_{m}^{t}$ en (2,3) — Aplicamos la derivada parcial para t=3.
$U_{m}^{t} (3) = 8 - 0.2 (3) = 8 - 0.6 = 7.4$
Cálculo de $U_{m}^{c}$ en (4,1) — Aplicamos la derivada parcial para c=4.
$U_{m}^{c} (4) = 10 - 0.4 (4) = 10 - 1.6 = 8.4$
Cálculo de $U_{m}^{t}$ en (4,1) — Aplicamos la derivada parcial para t=1.
$U_{m}^{t} (1) = 8 - 0.2 (1) = 8 - 0.2 = 7.8$

$U_{m}^{c} (2,3) = 9.2; U_{m}^{t} (2,3) = 7.4; U_{m}^{c} (4,1) = 8.4; U_{m}^{t} (4,1) = 7.8$

→ Para (2,3): U $m_{c}$ =9.2, U $m_{t}$ =7.4; para (4,1): U $m_{c}$ =8.4, U $m_{t}$ =7.8

Rúbrica de evaluación

Cálculo correcto de la utilidad total en ambas combinaciones	2 pts
Cálculo correcto de las utilidades marginales en ambas combinaciones	2 pts

Maximización de utilidad con restricción presupuestaria en Mendoza (3 puntos)

20 minRestricción presupuestariaTasa marginal de sustituciónEquilibrio del consumidor

En un quiosco de Godoy Cruz (Mendoza), María tiene un presupuesto de $300 A R S p a r a g a s t a r e n c a f é y m e d i a l u n a s . E l p r e c i o d e u n c a f é e s$ 120 ARS y el de una medialuna es $60 A R S . L a f u n c i \overset{´}{o} n d e u t i l i d a d d e M a r \overset{´}{ı} a e s$ U(c,m) = 5\ln(c) + 3\ln(m) $, d o n d e$ c $e s l a c a n t i d a d d e c a f é s y$ m$ la cantidad de medialunas. Determina la combinación óptima de consumo que maximiza su utilidad.

Presupuesto: $300 ARS
Precio del café ( $p_{c}$ ): $120 ARS
Precio de la medialuna ( $p_{m}$ ): $60 ARS
Función de utilidad: $U (c, m) = 5 \ln (c) + 3 \ln (m)$

Escribe la restricción presupuestaria de María
Calcula la tasa marginal de sustitución (TMS) entre café y medialunas
Determina la combinación óptima $(c^{*}, m^{*})$ que maximiza su utilidad

Solución completa

Pregunta 1 (1 pts) — Escribe la restricción presupuestaria de María

Ecuación de la restricción — Simplificamos la ecuación dividiendo todo por 60.
$2 c + m = 5$

$2 c + m = 5$

→ 2c + m = 5

Pregunta 2 (1 pts) — Calcula la tasa marginal de sustitución (TMS) entre café y medialunas

Cálculo de TMS — Calculamos las utilidades marginales y su relación.
$U_{m}^{c} = \frac{5}{c}; U_{m}^{m} = \frac{3}{m} \Rightarrow T M S = \frac{5 m}{3 c}$

$T M S = \frac{5 m}{3 c}$

→ TMS = 5m / (3c)

Pregunta 3 (1 pts) — Determina la combinación óptima $(c^{}, m^{})$ que maximiza su utilidad

Igualar TMS a relación de precios — La relación de precios es $p_{c} / p_{m} = 2$ .
$\frac{5 m}{3 c} = 2 \Rightarrow 5 m = 6 c \Rightarrow m = \frac{6 c}{5}$
Sustituir en la restricción — Reemplazamos m en la restricción $2 c + m = 5$ .
$2 c + \frac{6 c}{5} = 5 \Rightarrow \frac{16 c}{5} = 5 \Rightarrow c = \frac{25}{16} = 1.5625$
Calcular m — Usamos la expresión de m en función de c.
$m = \frac{6}{5} \times 1.5625 = 1.875$

$c^{*} = 1.56; m^{*} = 1.88$

→ La combinación óptima es c*=1.56 y m*=1.88 (aproximadamente)

Rúbrica de evaluación

Escritura correcta de la restricción presupuestaria	1 pts
Cálculo correcto de la TMS	1 pts
Determinación correcta de la combinación óptima	1 pts

Efecto de un aumento de precio en las preferencias (Caso Rosario) (5 puntos)

25 minEfecto rentaEfecto sustituciónCurvas de indiferencia

En un bar de Rosario, Lucas consume café y facturas con un presupuesto de $400 A R S . I n i c i a l m e n t e, e l p r e c i o d e l c a f é e s$ 100 ARS y el de la factura es $50 A R S . L a f u n c i \overset{´}{o} n d e u t i l i d a d d e L u c a s e s$ U(c,f) = \sqrt{c} + \sqrt{f} $. D e r e p e n t e, e l p r e c i o d e l c a f é s u b e a$ 150 ARS debido a un aumento en el costo del grano importado. Analiza cómo cambia su combinación óptima de consumo.

Presupuesto inicial: $400 ARS
Precio inicial del café ( $p_{c}^{0}$ ): $100 ARS
Precio inicial de la factura ( $p_{f}^{0}$ ): $50 ARS
Precio nuevo del café ( $p_{c}^{1}$ ): $150 ARS
Precio de la factura se mantiene en $50 ARS
Función de utilidad: $U (c, f) = \sqrt{c} + \sqrt{f}$

Calcula la combinación óptima inicial $(c_{0}^{*}, f_{0}^{*})$
Calcula la nueva combinación óptima $(c_{1}^{*}, f_{1}^{*})$ después del aumento de precio
Explica qué parte del cambio se debe al efecto sustitución y cuál al efecto renta

Solución completa

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la combinación óptima inicial $(c_{0}^{}, f_{0}^{})$

Condición de equilibrio inicial — Simplificamos la relación de utilidades marginales.
$\frac{\sqrt{f}}{\sqrt{c}} = 2 \Rightarrow f = 4 c$
Sustituir en la restricción — Reemplazamos en $2 c + f = 8$ .
$2 c + 4 c = 8 \Rightarrow 6 c = 8 \Rightarrow c_{0}^{*} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
Calcular f — Usamos $f = 4 c$ .
$f_{0}^{*} = 4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33$

$c_{0}^{*} \approx 1.33; f_{0}^{*} \approx 5.33$

→ Combinación inicial: c≈1.33, f≈5.33

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula la nueva combinación óptima $(c_{1}^{}, f_{1}^{})$ después del aumento de precio

Condición de equilibrio nueva — Simplificamos la nueva relación.
$\frac{\sqrt{f}}{\sqrt{c}} = 3 \Rightarrow f = 9 c$
Sustituir en la nueva restricción — Reemplazamos en $3 c + f = 8$ .
$3 c + 9 c = 8 \Rightarrow 12 c = 8 \Rightarrow c_{1}^{*} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
Calcular f — Usamos $f = 9 c$ .
$f_{1}^{*} = 9 \times \frac{2}{3} = 6$

$c_{1}^{*} \approx 0.67; f_{1}^{*} = 6$

→ Nueva combinación: c≈0.67, f=6

Pregunta 3 (1 pts) — Explica qué parte del cambio se debe al efecto sustitución y cuál al efecto renta

Efecto total — El consumo de café disminuyó de 1.33 a 0.67 (disminución de 0.66 unidades).
Efecto sustitución — Mantenemos el poder adquisitivo inicial ajustando el presupuesto para que la utilidad sea la misma que antes. La nueva restricción ajustada es $150 c + 50 f = 100 (4 / 3) + 50 (16 / 3) = 400$ . Espera, mejor usar el método de Slutsky:
$c_{0}^{*} = 1.33 \Rightarrow Utilidad inicial U_{0} = \sqrt{1.33} + \sqrt{5.33} \approx 1.15 + 2.31 = 3.46$
Nueva restricción con poder adquisitivo inicial — Buscamos c y f tales que $150 c + 50 f = 400$ y $U (c, f) = 3.46$ .
$\sqrt{c} + \sqrt{f} = 3.46 y 3 c + f = 8$
Resolución del sistema — De $f = 8 - 3 c$ , sustituimos en la utilidad: $\sqrt{c} + \sqrt{8 - 3 c} = 3.46$ . Resolviendo numéricamente obtenemos $c \approx 0.89$ , $f \approx 5.33$ .
$c_{s u s t}^{*} \approx 0.89; f_{s u s t}^{*} = 5.33$
Cálculo del efecto renta — El efecto renta es la diferencia entre el efecto total y el efecto sustitución: $0.67 - 0.89 = - 0.22$ .

$Efecto total = - 0.66; Efecto sustitución \approx - 0.44; Efecto renta \approx - 0.22$

→ Efecto total: -0.66 unidades de café. Efecto sustitución: -0.44 unidades. Efecto renta: -0.22 unidades.

Rúbrica de evaluación

Cálculo correcto de la combinación óptima inicial	2 pts
Cálculo correcto de la nueva combinación óptima	2 pts
Descomposición correcta en efecto sustitución y efecto renta	1 pts

Comparación de preferencias entre dos consumidores (Buenos Aires vs Córdoba) (4 puntos)

20 minPreferencias del consumidorCurvas de indiferenciaTasa marginal de sustitución

En una encuesta realizada en Buenos Aires y Córdoba, se obtuvieron las siguientes funciones de utilidad para dos consumidores: Ana (Buenos Aires) tiene $U_{A} (c, t) = 4 c + 2 t$ y Bruno (Córdoba) tiene $U_{B} (c, t) = c \cdot t$ . Ambos tienen un presupuesto de $240 A R S, c o n p r e c i o s$ p_c = 80 ARS y $p_t = 40 ARS. Determina qué consumidor tiene una preferencia más fuerte por el café y explica por qué.

Presupuesto: $240 ARS
Precio del café ( $p_{c}$ ): $80 ARS
Precio del té ( $p_{t}$ ): $40 ARS
Función de utilidad de Ana: $U_{A} (c, t) = 4 c + 2 t$
Función de utilidad de Bruno: $U_{B} (c, t) = c \cdot t$

Calcula la combinación óptima de Ana
Calcula la combinación óptima de Bruno
Compara las TMS en el punto óptimo y explica qué consumidor valora más el café

Solución completa

Pregunta 1 (1 pts) — Calcula la combinación óptima de Ana

Utilidad marginal por peso para Ana — Calculamos $U_{m}^{c} / p_{c}$ y $U_{m}^{t} / p_{t}$ .
$\frac{U_{m}^{c}}{p_{c}} = \frac{4}{80} = 0.05; \frac{U_{m}^{t}}{p_{t}} = \frac{2}{40} = 0.05$
Interpretación — Como ambas relaciones son iguales, Ana es indiferente entre cualquier combinación en su restricción. Por ejemplo, puede elegir c=3, t=0 o c=0, t=6.

$A n a : indiferente en la restricción 2 c + t = 6$

→ Ana es indiferente entre cualquier combinación en la restricción (por ejemplo, c=3,t=0 o c=0,t=6)

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula la combinación óptima de Bruno

Condición de equilibrio para Bruno — La TMS debe ser igual a la relación de precios.
$\frac{t}{c} = 2 \Rightarrow t = 2 c$
Sustituir en la restricción — Reemplazamos en $2 c + t = 6$ .
$2 c + 2 c = 6 \Rightarrow 4 c = 6 \Rightarrow c = 1.5$
Calcular t — Usamos $t = 2 c$ .
$t = 2 \times 1.5 = 3$

$c^{*} = 1.5; t^{*} = 3$

→ Combinación óptima de Bruno: c=1.5, t=3

Pregunta 3 (1 pts) — Compara las TMS en el punto óptimo y explica qué consumidor valora más el café

Cálculo de TMS para Bruno en el óptimo — En el punto (1.5,3), la TMS es $t / c = 3 / 1.5 = 2$ .
$T M S_{B r u n o} = \frac{t}{c} = 2$
Comparación con Ana — Ana, al ser indiferente, no tiene una TMS definida en un solo punto, pero su función de utilidad lineal sugiere que no tiene preferencia intrínseca por ninguno de los dos bienes. Bruno, en cambio, tiene una TMS de 2, lo que significa que está dispuesto a renunciar a 2 tés por 1 café en su punto óptimo.
Conclusión — Bruno valora más el café en términos relativos, ya que su TMS es igual a la relación de precios en el óptimo, mostrando una preferencia clara por combinar ambos bienes en esa proporción.

$B r u n o : p r e f e r e n c i a m \overset{´}{a} s f u e r t e p o r c a f é (T M S = 2 e n \overset{´}{o} p t i m o)$

→ Bruno tiene una preferencia más fuerte por el café, ya que su TMS en el óptimo (2) refleja una valoración relativa mayor que la indiferencia de Ana.

Rúbrica de evaluación

Cálculo correcto de la combinación óptima de Ana	1 pts
Cálculo correcto de la combinación óptima de Bruno	2 pts
Comparación correcta de preferencias usando TMS	1 pts

Aplicación a un mercado local: La panadería de San Telmo (4 puntos)

20 minDemanda individualCurvas de demandaElasticidad-precio

En la panadería "El Viejo San Telmo", se observa que los estudiantes universitarios compran café y medialunas según la siguiente función de demanda individual de café: $q_{c} = 10 - 0.05 p_{c} + 0.02 I$ , donde $p_{c}$ es el precio del café en $A R S y$ I $e s e l i n g r e s o m e n s u a l d e l e s t u d i a n t e e n m i l e s d e$ ARS. Si el precio del café sube de $150 A R S a$ 200 ARS y el ingreso promedio de los estudiantes es $20 000 ARS, calcula la cantidad demandada antes y después del aumento de precio. Luego, determina si la demanda es elástica o inelástica al precio en este rango.

Función de demanda: $q_{c} = 10 - 0.05 p_{c} + 0.02 I$
Precio inicial ( $p_{c}^{0}$ ): $150 ARS
Precio nuevo ( $p_{c}^{1}$ ): $200 ARS
Ingreso promedio ( $I$ ): $20000 A R S = 20$ (en miles de $ARS)
Nota: I está en miles de $A R S, p o r l o q u e$ I=20$

Calcula la cantidad demandada de café antes del aumento de precio
Calcula la cantidad demandada de café después del aumento de precio
Determina la elasticidad-precio de la demanda en este rango y clasifícala

Solución completa

Pregunta 1 (1 pts) — Calcula la cantidad demandada de café antes del aumento de precio

Sustitución de valores — Calculamos $q_{c}^{0}$ con $p_{c} = 150$ y $I = 20$ .
$q_{c}^{0} = 10 - 0.05 (150) + 0.02 (20) = 10 - 7.5 + 0.4 = 2.9 tazas de café por mes$

$q_{c}^{0} = 2.9 tazas/mes$

→ Cantidad inicial demandada: 2.9 tazas/mes

Pregunta 2 (1 pts) — Calcula la cantidad demandada de café después del aumento de precio

Sustitución de valores nuevos — Calculamos $q_{c}^{1}$ con $p_{c} = 200$ y $I = 20$ .
$q_{c}^{1} = 10 - 0.05 (200) + 0.02 (20) = 10 - 10 + 0.4 = 0.4 tazas de café por mes$

$q_{c}^{1} = 0.4 tazas/mes$

→ Cantidad nueva demandada: 0.4 tazas/mes

Pregunta 3 (2 pts) — Determina la elasticidad-precio de la demanda en este rango y clasifícala

Cálculo del cambio relativo en cantidad — Calculamos $Δ q / q_{p r o m e d i o}$ .
$\frac{Δ q}{q_{p r o m}} = \frac{0.4 - 2.9}{(2.9 + 0.4) / 2} = \frac{- 2.5}{1.65} \approx - 1.515$
Cálculo del cambio relativo en precio — Calculamos $Δ p / p_{p r o m e d i o}$ .
$\frac{Δ p}{p_{p r o m}} = \frac{200 - 150}{(200 + 150) / 2} = \frac{50}{175} \approx 0.286$
Cálculo de la elasticidad — Dividimos los cambios relativos.
$E_{p} = \frac{- 1.515}{0.286} \approx - 5.3$
Clasificación — Como $| E_{p} | > 1$ , la demanda es elástica al precio en este rango.

$| E_{p} | \approx 5.3 (elástica)$

→ Elasticidad-precio: | $E_{p}$ | ≈ 5.3 (demanda elástica)

Rúbrica de evaluación

Cálculo correcto de la cantidad demandada inicial	1 pts
Cálculo correcto de la cantidad demandada después del aumento de precio	1 pts
Cálculo correcto de la elasticidad-precio y clasificación	2 pts

Cálculo de utilidad total y marginal en un café porteño (4 puntos)

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la utilidad total para cada combinación de consumo

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula la utilidad marginal del café (Umc) y del té (Umt) en cada caso

Rúbrica de evaluación

Maximización de utilidad con restricción presupuestaria en Mendoza (3 puntos)

Pregunta 1 (1 pts) — Escribe la restricción presupuestaria de María

Pregunta 2 (1 pts) — Calcula la tasa marginal de sustitución (TMS) entre café y medialunas

Pregunta 3 (1 pts) — Determina la combinación óptima (c∗,m∗) que maximiza su utilidad

Rúbrica de evaluación

Efecto de un aumento de precio en las preferencias (Caso Rosario) (5 puntos)

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la combinación óptima inicial (c0∗,f0∗)

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula la nueva combinación óptima (c1∗,f1∗) después del aumento de precio

Pregunta 3 (1 pts) — Explica qué parte del cambio se debe al efecto sustitución y cuál al efecto renta

Rúbrica de evaluación

Comparación de preferencias entre dos consumidores (Buenos Aires vs Córdoba) (4 puntos)

Pregunta 1 (1 pts) — Calcula la combinación óptima de Ana

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula la combinación óptima de Bruno

Pregunta 3 (1 pts) — Compara las TMS en el punto óptimo y explica qué consumidor valora más el café

Rúbrica de evaluación

Aplicación a un mercado local: La panadería de San Telmo (4 puntos)

Pregunta 1 (1 pts) — Calcula la cantidad demandada de café antes del aumento de precio

Pregunta 2 (1 pts) — Calcula la cantidad demandada de café después del aumento de precio

Pregunta 3 (2 pts) — Determina la elasticidad-precio de la demanda en este rango y clasifícala

Rúbrica de evaluación

Fuentes

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula la utilidad marginal del café ( $U_{m}^{c}$ ) y del té ( $U_{m}^{t}$ ) en cada caso

Pregunta 3 (1 pts) — Determina la combinación óptima $(c^{}, m^{})$ que maximiza su utilidad

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la combinación óptima inicial $(c_{0}^{}, f_{0}^{})$

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula la nueva combinación óptima $(c_{1}^{}, f_{1}^{})$ después del aumento de precio