¿Por qué elegís café en vez de té? Teoría de la utilidad en la U

1. Datos iniciales — Tenemos las cantidades consumidas y la función de utilidad.
2. Cálculo de la utilidad total — Sustituimos $c=2$ y $t=3$ en la función $U(c,t)$.
   $$U(\mathrm{2,3})=3\cdot 2+2\cdot 3=6+6$$
3. Cálculo de la utilidad marginal del café — La utilidad marginal es la derivada parcial de $U$ con respecto a $c$.
   $$UM{g}_c=\frac{\partial U}{\partial c}=3$$
4. Nuevo consumo de café — Si Lucía toma una taza más de café ($c=3$), la nueva utilidad total es $U(\mathrm{3,3})$. Calculá la diferencia con la utilidad anterior.
   $$U(\mathrm{3,3})=3\cdot 3+2\cdot 3=9+6$$

$$U_{\text{total}}=12;U(\mathrm{3,3})=15;UM{g}_c=3$$

→ Utilidad total inicial: 12. Utilidad total con una taza más de café: 15. Utilidad marginal del café: 3.

1. Datos de las opciones — Tenemos las cantidades de medialunas y cafés en cada opción.
2. Cálculo de utilidad para Opción A — Sustituimos los valores en $U(m,c)=m+4c$.
   $$U_A=4+4\cdot 1=4+4$$
3. Cálculo de utilidad para Opción B — Sustituimos los valores en la misma función.
   $$U_B=2+4\cdot 3=2+12$$
4. Comparación de utilidades — Julián prefiere la opción con mayor utilidad.
   $$U_B>U_A\Rightarrow \text{Prefiere la Opción B}$$

$$U_A=8;U_B=14;\text{Opción preferida: B}$$

→ Utilidad de Opción A: 8. Utilidad de Opción B: 14. Julián prefiere la Opción B.

1. Definición de utilidad esperada — La utilidad esperada pondera cada resultado por su probabilidad.
   $$U{E}_{caf\acute{e}}=p_{bueno}\cdot U_{bueno}+p_{malo}\cdot U_{malo}$$
2. Cálculo para el café — Sustituimos los valores en la fórmula.
   $$U{E}_{caf\acute{e}}=0.7\cdot 5+0.3\cdot 1=3.5+0.3$$
3. Utilidad esperada del té — Como el té siempre está bueno, su utilidad esperada es igual a su utilidad segura.
   $$U{E}_{t\acute{e}}=3$$
4. Comparación y decisión — Elegimos la opción con mayor utilidad esperada.
   $$U{E}_{caf\acute{e}}>U{E}_{t\acute{e}}\Rightarrow \text{Elegir café}$$

$$U{E}_{\text{café}}=3.8;U{E}_{\text{té}}=3;\text{Elección: café}$$

→ Utilidad esperada del café: 3.8. Utilidad esperada del té: 3. Deberías elegir café.

1. Restricción presupuestaria simplificada — Dividimos la ecuación por 100 para facilitar los cálculos.
   $$3c+2t=12$$
2. Cálculo de utilidades marginales — Derivamos $U(c,t)$ respecto a $c$ y $t$.
   $$UM{g}_c=\frac{\partial U}{\partial c}=\frac{1}{2}{c}^{-1/2}{t}^{1/2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t}{c}}$$
3. Condición de tangencia — Igualamos las razones de utilidad marginal a precios.
   $$\frac{UM{g}_c}{p_c}=\frac{UM{g}_t}{p_t}\Rightarrow \frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t}{c}}}{300}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{c}{t}}}{200}$$
4. Simplificación de la condición — Resolvemos la ecuación para encontrar la relación entre $c$ y $t$.
   $$\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{c}}\cdot \frac{1}{300}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{t}}\cdot \frac{1}{200}\Rightarrow \frac{t}{c}=\frac{3}{2}$$
5. Sustitución en la restricción — Usamos $t=\frac{3}{2}c$ en la restricción simplificada.
   $$3c+2\left(\frac{3}{2}c\right)=12\Rightarrow 3c+3c=12\Rightarrow 6c=12$$
6. Solución final — Calculamos $c$ y luego $t$.
   $$c^{\ast }=2;t^{\ast }=3$$

$$c^{\ast }=2;t^{\ast }=3$$

→ La combinación óptima es 2 cafés y 3 tazas de té.

1. Cambio porcentual en el precio — Calculamos cuánto aumentó el precio en porcentaje.
   $$\frac{\mathrm{\Delta }p}{p_c^i}=\frac{360-300}{300}=\frac{60}{300}=0.20(20\%)$$
2. Aplicación de la elasticidad — Usamos la fórmula de elasticidad para encontrar el cambio porcentual en la cantidad demandada.
   $$e_c=\frac{\mathrm{\Delta }c/c^i}{\mathrm{\Delta }p/p_c^i}\Rightarrow -0.8=\frac{\mathrm{\Delta }c/2}{0.20}$$
3. Cálculo del cambio en cantidad — Despejamos $\mathrm{\Delta }c$ y luego calculamos $c^f$.
   $$\mathrm{\Delta }c=-0.8\cdot 2\cdot 0.20=-0.32$$
4. Cantidad final de café — Restamos el cambio a la cantidad inicial.
   $$c^f=c^i+\mathrm{\Delta }c=2-0.32=1.68$$

$$c^f=1.68\text{ tazas de café}$$

→ Julián demandará aproximadamente 1.68 tazas de café después del aumento de precio.

1. Condición de primer orden — En el óptimo, la utilidad marginal iguala al precio multiplicado por el multiplicador de Lagrange.
   $$U^{\prime }(c)=\lambda p$$
2. Restricción presupuestaria — La restricción es $p\cdot c+p_t\cdot t=I$. En el óptimo, $\lambda$ también satisface la derivada de la restricción.
   $$\lambda =\frac{1}{p_t}\text{(asumiendo que el té es el bien numerario)}$$
3. Derivación implícita respecto a $p$ — Derivamos la condición $U^{\prime }(c)=\lambda p$ respecto a $p$, usando la regla de la cadena.
   $$U^{\prime \prime }(c)\cdot \frac{dc}{dp}=\frac{d\lambda }{dp}p+\lambda$$
4. Simplificación usando $\lambda$ — Como $\lambda =1/p_t$ (constante), $\frac{d\lambda }{dp}=0$.
   $$U^{\prime \prime }(c)\cdot \frac{dc}{dp}=\lambda =\frac{1}{p_t}$$
5. Despeje de $\frac{dc}{dp}$ — Resolvemos para la derivada de la demanda.
   $$\frac{dc}{dp}=\frac{1}{p_t\cdot U^{\prime \prime }(c)}$$
6. Conclusión — Como $U^{\prime \prime }(c)<0$ (utilidad marginal decreciente) y $p_t>0$, entonces $\frac{dc}{dp}<0$. Por lo tanto, la demanda es decreciente en el precio.
   $$\frac{dc}{dp}<0\Rightarrow \text{curva de demanda decreciente}$$

$$\frac{dc}{dp}<0$$

→ Se demostró que si $U^{\prime \prime }(c)<0$, entonces $\frac{dc}{dp}<0$, es decir, la curva de demanda es decreciente.