Fórmulas esenciales de movimiento de proyectiles en Argentina | ORBITECH

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Descomposición de la velocidad inicial

Fórmulas para separar la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical según el ángulo de lanzamiento.

Componentes de la velocidad inicial definition

v_{0 x} = v_{0} \cdot \cos (θ)

Formes alternatives

$v_{0 y} = v_{0} \cdot \sin (θ)$ — Componente vertical de la velocidad inicial

Symbole	Signification	Unité
`v_{0x}`	componente horizontal de la velocidad inicial Se mantiene constante durante todo el vuelo si no hay rozamiento	m/s
`v_0`	velocidad inicial del proyectil	m/s
`\theta`	ángulo de lanzamiento medido desde la horizontal 0° = lanzamiento horizontal, 90° = lanzamiento vertical

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : Un balón se lanza con $v_{0} = 20$ m/s a $θ = 30 °$ . Calcula $v_{0 x}$ y $v_{0 y}$ : $v_{0 x} = 20 \cdot \cos (30 °) \approx 17.3$ m/s, $v_{0 y} = 20 \cdot \sin (30 °) = 10$ m/s.

Módulo de la velocidad inicial identity

v_{0} = \sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`v_0`	velocidad inicial del proyectil	m/s
`v_{0x}`	componente horizontal de la velocidad inicial	m/s
`v_{0y}`	componente vertical de la velocidad inicial	m/s

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : Si $v_{0 x} = 15$ m/s y $v_{0 y} = 20$ m/s, entonces $v_{0} = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = 25$ m/s.

Ángulo de lanzamiento definition

θ = \arctan (\frac{v_{0 y}}{v_{0 x}})

Symbole	Signification	Unité
`\theta`	ángulo de lanzamiento medido desde la horizontal
`v_{0y}`	componente vertical de la velocidad inicial	m/s
`v_{0x}`	componente horizontal de la velocidad inicial	m/s

Dimensions : $1$

Exemple : Si $v_{0 x} = 12$ m/s y $v_{0 y} = 16$ m/s, entonces $θ = \arctan (16 / 12) \approx 53.1 °$ .

Ecuaciones horarias del movimiento

Fórmulas que describen la posición del proyectil en función del tiempo para cada componente.

Posición horizontal en función del tiempo law

x (t) = v_{0 x} \cdot t

Symbole	Signification	Unité
`x(t)`	posición horizontal del proyectil en el instante t Se mide desde el punto de lanzamiento	m
`v_{0x}`	componente horizontal de la velocidad inicial	m/s
`t`	tiempo transcurrido desde el lanzamiento	s

Dimensions : $[L]$

Exemple : Un proyectil se lanza con $v_{0 x} = 10$ m/s. ¿A qué distancia horizontal está a los $t = 5$ s? $x (5) = 10 \cdot 5 = 50$ m.

Posición vertical en función del tiempo law

y (t) = v_{0 y} \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^{2}

Symbole	Signification	Unité
`y(t)`	posición vertical del proyectil en el instante t Se mide desde el nivel de lanzamiento; valores positivos hacia arriba	m
`v_{0y}`	componente vertical de la velocidad inicial	m/s
`g`	aceleración de la gravedad En Argentina se usa $g = 9.8 {m/s}^{2}$	m/s²
`t`	tiempo transcurrido desde el lanzamiento	s

Dimensions : $[L]$

Exemple : Un cohete se lanza verticalmente con $v_{0 y} = 49$ m/s. ¿A qué altura está a los $t = 3$ s? $y (3) = 49 \cdot 3 - 0.5 \cdot 9.8 \cdot 3^{2} = 147 - 44.1 = 102.9$ m.

Velocidad vertical en función del tiempo law

v_{y} (t) = v_{0 y} - g \cdot t

Symbole	Signification	Unité
`v_y(t)`	velocidad vertical del proyectil en el instante t Valores positivos hacia arriba	m/s
`v_{0y}`	componente vertical de la velocidad inicial	m/s
`g`	aceleración de la gravedad	m/s²
`t`	tiempo transcurrido desde el lanzamiento	s

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : Para el mismo cohete, $v_{y} (3) = 49 - 9.8 \cdot 3 = 49 - 29.4 = 19.6$ m/s (aún subiendo).

Alcance máximo y altura máxima

Fórmulas para calcular las distancias y alturas características de la trayectoria parabólica.

Alcance máximo horizontal law

R = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin (2 θ)}{g}

Symbole	Signification	Unité
`R`	alcance máximo horizontal Distancia horizontal desde el punto de lanzamiento hasta donde cae	m
`v_0`	velocidad inicial del proyectil	m/s
`\theta`	ángulo de lanzamiento medido desde la horizontal El alcance máximo se logra con $θ = 45 °$
`g`	aceleración de la gravedad	m/s²

Dimensions : $[L]$

Exemple : Un balón se lanza con $v_{0} = 25$ m/s a $θ = 45 °$ . Calcula su alcance: $R = (25^{2} \cdot \sin (90 °)) / 9.8 = 625 / 9.8 \approx 63.8$ m.

Altura máxima law

H = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g}

Formes alternatives

$H = \frac{{(v_{0} \cdot \sin (θ))}^{2}}{2 g}$ — Expresión alternativa usando la velocidad inicial y el ángulo

Symbole	Signification	Unité
`H`	altura máxima alcanzada por el proyectil Punto más alto de la trayectoria	m
`v_{0y}`	componente vertical de la velocidad inicial	m/s
`g`	aceleración de la gravedad	m/s²

Dimensions : $[L]$

Exemple : Para el balón lanzado a $v_{0} = 25$ m/s y $θ = 30 °$ , $v_{0 y} = 12.5$ m/s. Entonces $H = ({12.5}^{2}) / (2 \cdot 9.8) \approx 7.97$ m.

Tiempo de vuelo total law

T = \frac{2 v_{0 y}}{g}

Formes alternatives

$T = \frac{2 v_{0} \cdot \sin (θ)}{g}$ — Expresión usando velocidad inicial y ángulo

Symbole	Signification	Unité
`T`	tiempo total de vuelo Tiempo desde el lanzamiento hasta el impacto en el suelo	s
`v_{0y}`	componente vertical de la velocidad inicial	m/s
`g`	aceleración de la gravedad	m/s²

Dimensions : $[T]$

Exemple : Para el balón lanzado a $θ = 30 °$ con $v_{0} = 25$ m/s, $T = 2 \cdot 12.5 / 9.8 \approx 2.55$ s.

Ecuación de la trayectoria

Fórmula que describe la forma de la trayectoria parabólica en el plano xy.

Ecuación de la trayectoria parabólica law

y = x \cdot \tan (θ) - \frac{g \cdot x^{2}}{2 {(v_{0} \cdot \cos (θ))}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`y`	posición vertical del proyectil	m
`x`	posición horizontal del proyectil Distancia horizontal desde el punto de lanzamiento	m
`\theta`	ángulo de lanzamiento medido desde la horizontal
`g`	aceleración de la gravedad	m/s²
`v_0`	velocidad inicial del proyectil	m/s

Dimensions : $[L]$

Exemple : Un proyectil se lanza con $v_{0} = 20$ m/s a $θ = 40 °$ . Calcula su altura cuando está a $x = 25$ m: $y = 25 \cdot \tan (40 °) - (9.8 \cdot 25^{2}) / (2 \cdot {(20 \cdot \cos (40 °))}^{2}) \approx 21.0 - 12.3 = 8.7$ m.

Altura en función de la distancia horizontal law

y (x) = x \cdot \tan (θ) - \frac{g \cdot x^{2}}{2 {(v_{0} \cdot \cos (θ))}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`y(x)`	altura del proyectil a una distancia horizontal x	m
`x`	distancia horizontal desde el punto de lanzamiento	m
`\theta`	ángulo de lanzamiento medido desde la horizontal
`g`	aceleración de la gravedad	m/s²
`v_0`	velocidad inicial del proyectil	m/s

Dimensions : $[L]$

Exemple : Para un chorro de agua en las Cataratas del Iguazú lanzado con $v_{0} = 15$ m/s a $θ = 60 °$ , calcula su altura a $x = 10$ m: $y (10) = 10 \cdot \tan (60 °) - (9.8 \cdot 10^{2}) / (2 \cdot {(15 \cdot \cos (60 °))}^{2}) \approx 17.3 - 8.7 = 8.6$ m.

Punto de impacto en el suelo theorem

y = 0 ⟹ x = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin (2 θ)}{g}

Symbole	Signification	Unité
`x`	alcance máximo horizontal Distancia horizontal donde el proyectil toca el suelo	m
`v_0`	velocidad inicial del proyectil	m/s
`\theta`	ángulo de lanzamiento medido desde la horizontal
`g`	aceleración de la gravedad	m/s²

Dimensions : $[L]$

Exemple : Un dron lanza una cámara con $v_{0} = 30$ m/s a $θ = 35 °$ . ¿A qué distancia horizontal caerá? $x = (30^{2} \cdot \sin (70 °)) / 9.8 \approx 86.1$ m.

Velocidad en cualquier instante

Fórmulas para calcular la velocidad del proyectil en cualquier momento del vuelo.

Módulo de la velocidad en función del tiempo identity

v (t) = \sqrt{v_{x} {(t)}^{2} + v_{y} {(t)}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`v(t)`	módulo de la velocidad del proyectil en el instante t	m/s
`v_x(t)`	componente horizontal de la velocidad en el instante t Se mantiene constante: $v_{x} (t) = v_{0 x}$	m/s
`v_y(t)`	componente vertical de la velocidad en el instante t	m/s

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : Para el dron que lanza la cámara, a $t = 2$ s: $v_{x} = 24.6$ m/s, $v_{y} = 30 \cdot \sin (35 °) - 9.8 \cdot 2 \approx 17.2 - 19.6 = - 2.4$ m/s. Entonces $v (2) = \sqrt{{24.6}^{2} + {(- 2.4)}^{2}} \approx 24.7$ m/s.

Dirección de la velocidad en función del tiempo definition

θ_{v} (t) = \arctan (\frac{v_{y} (t)}{v_{x} (t)})

Symbole	Signification	Unité
`\theta_v(t)`	ángulo de la velocidad respecto a la horizontal en el instante t Ángulo positivo si la velocidad apunta hacia arriba
`v_y(t)`	componente vertical de la velocidad en el instante t	m/s
`v_x(t)`	componente horizontal de la velocidad en el instante t	m/s

Dimensions : $1$

Exemple : Para el dron a $t = 2$ s: $θ_{v} (2) = \arctan (- 2.4 / 24.6) \approx - 5.6 °$ (el proyectil ya está descendiendo).

Velocidad en el punto más alto law

v_{v \overset{´}{e} r t i c e} = v_{0 x} = v_{0} \cdot \cos (θ)

Symbole	Signification	Unité
`v_{vértice}`	velocidad del proyectil en el punto más alto de la trayectoria En el vértice, la componente vertical de la velocidad es cero	m/s
`v_{0x}`	componente horizontal de la velocidad inicial	m/s
`v_0`	velocidad inicial del proyectil	m/s
`\theta`	ángulo de lanzamiento medido desde la horizontal

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : Para el balón lanzado a $θ = 30 °$ con $v_{0} = 25$ m/s, en el punto más alto $v_{v \overset{´}{e} r t i c e} = 25 \cdot \cos (30 °) \approx 21.7$ m/s.

Descomposición de la velocidad inicial

Ecuaciones horarias del movimiento

Alcance máximo y altura máxima

Ecuación de la trayectoria

Velocidad en cualquier instante

Fuentes