Fórmulas de teoría de juegos: estrategias en Argentina | ORBITECH

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Conceptos básicos y matrices de pagos

Definiciones fundamentales y representación matemática de juegos estratégicos mediante matrices de pagos.

Matriz de pagos de un juego 2x2 definition

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})

Formes alternatives

$G = (S_{1}, S_{2}, u_{1}, u_{2})$ — Representación general de un juego en forma normal con conjuntos de estrategias y funciones de utilidad

Symbole	Signification	Unité
`A`	matriz de pagos del jugador 1 Elementos $a_{i j}$ representan la utilidad del jugador 1 cuando elige fila i y el jugador 2 elige columna j
`B`	matriz de pagos del jugador 2 Elementos $b_{i j}$ representan la utilidad del jugador 2 en la misma situación

Exemple : En un duopolio entre dos panaderías en Córdoba, la matriz A muestra las ganancias (en miles de ARS) según si ambas bajan precios o no: A = [[50, 70], [80, 40]]

Estrategia pura definition

s_{i} \in S_{i}

Symbole	Signification	Unité
`s_i`	estrategia pura del jugador i Elección específica dentro del conjunto de estrategias disponibles $S_{i}$
`S_i`	conjunto de estrategias puras del jugador i Conjunto finito de acciones posibles para el jugador i

Exemple : En el juego del alquiler en Palermo, una estrategia pura para un inquilino es 'pagar 70 000 ARS/mes' o 'pagar 65 000 ARS/mes con garantía de 6 meses'

Juego de suma cero definition

a_{i j} + b_{i j} = 0, \forall i, j

Symbole	Signification	Unité
`a_{ij}`	pago del jugador 1 Ganancia del jugador 1 cuando el jugador 2 pierde exactamente lo mismo
`b_{ij}`	pago del jugador 2 Pérdida del jugador 2 (igual a - $a_{i j}$ )

Exemple : En el mercado de pasajes de micros entre Buenos Aires y Rosario, si una empresa gana 1 000 000 ARS, la otra pierde exactamente esa cantidad

Estrategias dominantes y dominadas

Criterios para comparar estrategias según su rendimiento independiente de las acciones del rival.

Estrategia dominante definition

u_{i} (s_{i}^{*}, s_{- i}) \geq u_{i} (s_{i}, s_{- i}), \forall s_{i} \in S_{i}, \forall s_{- i} \in S_{- i}

Symbole	Signification	Unité
`s_i^*`	estrategia dominante del jugador i Estrategia que siempre da al menos el mismo pago que cualquier otra estrategia, independientemente de lo que hagan los demás
`u_i`	función de utilidad del jugador i Mide la satisfacción o ganancia del jugador i
`s_{-i}`	estrategias de los demás jugadores Conjunto de estrategias de todos los jugadores excepto i

Exemple : En el mercado de delivery en Mendoza, 'entregar en menos de 30 minutos' es una estrategia dominante si siempre genera más ganancias que 'entregar en 45 minutos', sin importar lo que haga la competencia

Estrategia dominada definition

\exists s_{i}^{'} \in S_{i} | u_{i} (s_{i}^{'}, s_{- i}) > u_{i} (s_{i}, s_{- i}), \forall s_{- i} \in S_{- i}

Symbole	Signification	Unité
`s_i`	estrategia dominada Estrategia que siempre da menor utilidad que otra estrategia, sin importar las acciones de los demás
`s_i'`	estrategia que domina Estrategia que siempre es mejor que $s_{i}$

Exemple : En el mercado de alquileres en Buenos Aires, 'alquilar sin garantía' es una estrategia dominada si siempre genera menos ingresos que 'alquilar con garantía de 6 meses'

Eliminación iterativa de estrategias dominadas approximation

S_{i}^{(k + 1)} = S_{i}^{(k)} ∖ {s_{i} \in S_{i}^{(k)} | s_{i} es dominada en S_{i}^{(k)}}

Symbole	Signification	Unité
`S_i^{(k)}`	conjunto de estrategias en la iteración k Conjunto de estrategias disponibles para el jugador i en el paso k de eliminación
`s_i`	estrategia a eliminar Estrategia identificada como dominada en la iteración actual

Exemple : En un juego entre dos supermercados en Rosario, primero se elimina 'precios altos' porque siempre es peor que 'precios bajos', luego se analiza el juego reducido

Equilibrio de Nash en estrategias puras

Situaciones donde ningún jugador puede beneficiarse cambiando unilateralmente su estrategia.

Equilibrio de Nash (estrategias puras) definition

u_{i} (s_{i}^{*}, s_{- i}^{*}) \geq u_{i} (s_{i}, s_{- i}^{*}), \forall s_{i} \in S_{i}, \forall i

Symbole	Signification	Unité
`s_i^*`	estrategia de equilibrio del jugador i Estrategia que forma parte de un equilibrio de Nash
`s_{-i}^*`	estrategias de equilibrio de los demás Conjunto de estrategias de equilibrio de todos los jugadores excepto i

Exemple : En un duopolio de heladerías en Mar del Plata, el equilibrio es que ambas bajen precios a 300 ARS el cucurucho porque ninguna puede aumentar sus ganancias cambiando sola su estrategia

Criterio de mejor respuesta definition

s_{i}^{*} = \arg \max_{s_{i} \in S_{i}} u_{i} (s_{i}, s_{- i}^{*})

Symbole	Signification	Unité
`s_i^*`	mejor respuesta del jugador i Estrategia que maximiza la utilidad del jugador i dado las estrategias de los demás
`s_{-i}^*`	estrategias fijas de los demás Conjunto de estrategias de los otros jugadores que se toman como dadas

Exemple : Dado que la competencia en Córdoba mantiene sus precios fijos, la mejor respuesta de un kiosco es bajar sus precios a 200 ARS para maximizar ventas

Juego de Cournot (duopolio) theorem

q_{1}^{*} = q_{2}^{*} = \frac{a - c}{3 b}

Formes alternatives

$p^{*} = a - b (q_{1}^{*} + q_{2}^{*})$ — Precio de equilibrio en el mercado

Symbole	Signification	Unité
`q_i^*`	cantidad de equilibrio del jugador i Cantidad producida por cada empresa en equilibrio	<<unit:unidades>>
`a`	intercepto de la curva de demanda Precio máximo que los consumidores están dispuestos a pagar (ej: 1000 ARS)	<<unit:ARS/unidad>>
`c`	costo marginal Costo por unidad producida (ej: 200 ARS)	<<unit:ARS/unidad>>
`b`	pendiente de la curva de demanda Inversa de la elasticidad-precio (ej: 0.5 ARS/unidad²)	<<unit:ARS/unidad²>>

Dimensions : $[L]$

Exemple : En el mercado de panificados en Mendoza, con a = 800 ARS, c = 150 ARS y b = 0.4 ARS/unidad², cada panadería produce q* = (800-150)/(3×0.4) ≈ 583 unidades/semana

Estrategias mixtas y equilibrio de Nash

Estrategias donde los jugadores eligen probabilísticamente entre sus opciones disponibles.

Estrategia mixta definition

σ_{i} = (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n_{i}}) | \sum_{k = 1}^{n_{i}} p_{k} = 1, p_{k} \geq 0

Symbole	Signification	Unité
`\sigma_i`	estrategia mixta del jugador i Distribución de probabilidad sobre el conjunto de estrategias puras $S_{i}$
`p_k`	probabilidad de elegir la estrategia k $p_{k}$ ∈ [0,1] y suma a 1

Exemple : Un remís en Buenos Aires puede elegir entre 'tarifa fija' (prob 0.6) y 'tarifa variable' (prob 0.4) para maximizar sus ingresos esperados

Equilibrio de Nash en estrategias mixtas definition

u_{i} (σ_{i}^{*}, σ_{- i}^{*}) \geq u_{i} (σ_{i}, σ_{- i}^{*}), \forall σ_{i}

Symbole	Signification	Unité
`\sigma_i^*`	estrategia mixta de equilibrio Distribución de probabilidad que forma parte de un equilibrio de Nash
`u_i`	utilidad esperada Valor esperado de la función de utilidad bajo las estrategias mixtas

Exemple : En el juego de 'piedra, papel o tijera' entre dos kioscos de Once, el equilibrio es jugar cada opción con probabilidad 1/3

Indiferencia en equilibrio mixto (2x2) law

p_{1} a_{11} + (1 - p_{1}) a_{21} = p_{1} a_{12} + (1 - p_{1}) a_{22}

Symbole	Signification	Unité
`p_1`	probabilidad de elegir la primera estrategia Probabilidad con la que el jugador 1 elige su primera estrategia pura	<<unit:fracción>>
`a_{ij}`	pago del jugador 1 Pago en la celda (i,j) de la matriz de pagos	<<unit:ARS>>

Exemple : En un duopolio de delivery en Córdoba con matriz A = [[50, 70], [80, 40]], la probabilidad de elegir 'entrega rápida' es p = (80-40)/(50+80-70-40) = 40/20 = 0.67

Juegos de suma no cero y aplicaciones de mercado

Interacciones donde la suma de pagos no es constante, común en mercados con cooperación posible.

Matriz de pagos en juego cooperativo definition

V = (\begin{matrix} v_{11} & v_{12} & v_{13} \\ v_{21} & v_{22} & v_{23} \end{matrix})

Formes alternatives

$v (S) = \sum_{i \in S} x_{i}$ — Función característica que asigna valor a cada coalición S

Symbole	Signification	Unité
`V`	matriz de pagos cooperativos Muestra pagos cuando los jugadores pueden formar coaliciones
`v_{ij}`	pago de la coalición (i,j) Ganancia total cuando los jugadores i y j cooperan	<<unit:ARS>>

Exemple : Dos panaderías en Rosario pueden formar coalición para compartir costos de delivery: V = [[120 000, 150 000], [0, 130 000]] donde 120 000 ARS es la ganancia si cooperan

Solución de Nash bargaining (negociación) theorem

(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}) = \arg \max_{x_{1}, x_{2}} (x_{1} - d_{1}) (x_{2} - d_{2}) | x_{1} + x_{2} = v (N)

Formes alternatives

$x_{1}^{*} = d_{1} + \frac{v (N) - d_{1} - d_{2}}{2}$ — Fórmula simplificada cuando $d_{1}$ = $d_{2}$

Symbole	Signification	Unité
`x_i^*`	asignación de equilibrio para el jugador i Cantidad que recibe cada jugador en la negociación	<<unit:ARS>>
`d_i`	punto de desacuerdo del jugador i Pago mínimo que aceptaría el jugador i si no hay acuerdo (ej: 50 000 ARS)	<<unit:ARS>>
`v(N)`	valor total de la coalición Ganancia total disponible si cooperan (ej: 200 000 ARS)	<<unit:ARS>>

Dimensions : $[M]$

Exemple : Dos empresas de software en Buenos Aires negocian un contrato de 300 000 ARS. Si el punto de desacuerdo es 80 000 ARS para ambas, cada una recibe 80 000 + (300 000 - 160 000)/2 = 150 000 ARS

Índice de poder de Shapley theorem

ϕ_{i} (v) = \sum_{S \subseteq N ∖ {i}} \frac{| S |! (n - | S | - 1)!}{n!} [v (S \cup {i}) - v (S)]

Symbole	Signification	Unité
`\phi_i`	poder de Shapley del jugador i Probabilidad de que el jugador i sea el decisivo en una coalición aleatoria	<<unit:fracción>>
`v(S)`	valor de la coalición S Ganancia total cuando los jugadores en S cooperan	<<unit:ARS>>
`n`	número total de jugadores Cantidad de empresas o agentes en el mercado
`N`	conjunto de todos los jugadores Todos los participantes en el juego cooperativo

Exemple : En un mercado con 3 cadenas de supermercados en La Plata (n=3), el índice de Shapley para cada una es 1/3 si todas son simétricas en poder de negociación

Aplicaciones a estrategias de mercado en Argentina

Fórmulas específicas para analizar competencias en mercados locales argentinos.

Punto de equilibrio en competencia monopolística theorem

q^{*} = \frac{a - c}{2 b}

Formes alternatives

$p^{*} = a - b q^{*}$ — Precio de equilibrio en el mercado

Symbole	Signification	Unité
`q^*`	cantidad de equilibrio Cantidad que maximiza beneficios en competencia monopolística	<<unit:unidades/semana>>
`a`	intercepto de demanda Precio máximo que los consumidores pagan (ej: 1200 ARS)	<<unit:ARS/unidad>>
`c`	costo marginal Costo por unidad (ej: 300 ARS)	<<unit:ARS/unidad>>
`b`	pendiente de demanda Inversa de la elasticidad-precio (ej: 0.6 ARS/unidad²)	<<unit:ARS/unidad²>>

Dimensions : $[L]$

Exemple : Una pizzería en Palermo con a = 1000 ARS, c = 250 ARS y b = 0.5 ARS/unidad² produce q* = (1000-250)/(2×0.5) = 750 pizzas/semana y vende a p* = 1000 - 0.5×750 = 625 ARS

Margen de ganancia en oligopolio definition

m = \frac{p - c}{p} \times 100 %

Symbole	Signification	Unité
`m`	margen de ganancia Porcentaje de ganancia sobre el precio de venta	<<unit:%>>
`p`	precio de venta Precio al que se vende el producto (ej: 500 ARS)	<<unit:ARS>>
`c`	costo unitario Costo por unidad producida (ej: 200 ARS)	<<unit:ARS>>

Exemple : Un local de empanadas en Córdoba vende cada empanada a 400 ARS con un costo de 180 ARS. Su margen es m = (400-180)/400 × 100% = 55%

Elasticidad-precio de la demanda local definition

E_{d} = \frac{Δ Q / Q}{Δ P / P} = \frac{Δ Q}{Δ P} \cdot \frac{P}{Q}

Symbole	Signification	Unité
`E_d`	elasticidad-precio de la demanda Mide la sensibilidad de la cantidad demandada a cambios en el precio	<<unit:fracción>>
`Q`	cantidad demandada inicial Cantidad vendida antes del cambio de precio (ej: 1000 unidades)	<<unit:unidades>>
`P`	precio inicial Precio antes del cambio (ej: 500 ARS)	<<unit:ARS>>
`\Delta Q`	cambio en cantidad Variación en la cantidad demandada	<<unit:unidades>>
`\Delta P`	cambio en precio Variación en el precio	<<unit:ARS>>

Exemple : Si en Mendoza el precio de la cerveza artesanal sube de 600 ARS a 720 ARS (+20%) y las ventas caen de 800 a 640 unidades (-20%), la elasticidad es $E_{d}$ = (-20%)/(+20%) = -1 (demanda unitaria)

Conceptos básicos y matrices de pagos

Estrategias dominantes y dominadas

Equilibrio de Nash en estrategias puras

Estrategias mixtas y equilibrio de Nash

Juegos de suma no cero y aplicaciones de mercado

Aplicaciones a estrategias de mercado en Argentina

Fuentes