Teoría de Juegos: Estrategias que Dominan el Mercado en Argentina | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

Conceptos Fundamentales de Teoría de Juegos

Definiciones y representaciones matemáticas básicas para modelar interacciones estratégicas

Matriz de pagos definition

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

Symbole	Signification	Unité
`a`	pago del jugador 1 si ambos cooperan Ejemplo: ganancia en millones de $ARS
`b`	pago del jugador 2 si jugador 1 coopera y jugador 2 no Primera fila: estrategias del jugador 1, primera columna: estrategias del jugador 2
`c`	pago del jugador 1 si jugador 2 coopera y jugador 1 no
`d`	pago del jugador 2 si ambos no cooperan

Exemple : En el mercado de gaseosas, si Coca-Cola coopera con Pepsi manteniendo precios altos, ambos ganan $150 M A R S; s i C o c a - C o l a b a j a p r e c i o s, g a n a$ 200M y Pepsi pierde $50M

Utilidad esperada definition

U = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \cdot u_{i}

Formes alternatives

$U = p_{1} \cdot u_{1} + p_{2} \cdot u_{2} + \dots + p_{n} \cdot u_{n}$ — Forma expandida para n=2

Symbole	Signification	Unité
`U`	utilidad esperada Valor numérico sin unidad
`p_i`	probabilidad del estado i Suma de probabilidades = 1
`u_i`	utilidad en el estado i Ejemplo: ganancia en millones de $ARS

Exemple : Un productor de trigo en Pergamino elige sembrar soja (ganancia $80 M A R S c o n p r o b a b i l i d a d 0.7) o m a \overset{´}{ı} z (g a n a n c i a$ 120M ARS con probabilidad 0.3). Su utilidad esperada es $92M ARS

Función de mejor respuesta definition

s_{i}^{*} = \arg \max_{s_{i}} u_{i} (s_{i}, s_{- i})

Symbole	Signification	Unité
`s_i^*`	estrategia óptima del jugador i Puede ser pura o mixta
`u_i`	función de utilidad del jugador i Depende de las estrategias de todos los jugadores
`s_{-i}`	estrategias de los demás jugadores Vector de estrategias de los oponentes

Exemple : En el mercado de telecomunicaciones, Personal elige su plan de datos sabiendo que Movistar mantiene su precio fijo en $8.000 ARS/mes

Estrategias Puras: Dominancia y Equilibrio

Condiciones para que una estrategia sea óptima independientemente de las acciones de los rivales

Estrategia dominante definition

u_{i} (s_{i}^{D}, s_{- i}) \geq u_{i} (s_{i}^{'}, s_{- i}) \forall s_{i}^{'}, s_{- i}

Symbole	Signification	Unité
`s_i^D`	estrategia dominante del jugador i Estrategia que siempre da el mejor pago
`u_i`	utilidad del jugador i En millones de $ARS
`s_{-i}`	estrategias de los oponentes Puede ser cualquier combinación de estrategias rivales

Exemple : En el mercado de delivery de comida, Rappi domina si su ganancia es mayor independientemente de si PedidosYa sube o baja su comisión (ej: $50 M A R S v s$ 40M ARS en ambos casos)

Equilibrio de Nash en estrategias puras definition

u_{i} (s_{i}^{*}, s_{- i}^{*}) \geq u_{i} (s_{i}, s_{- i}^{*}) \forall i, s_{i}

Formes alternatives

$s_{i}^{*} \in \arg \max_{s_{i}} u_{i} (s_{i}, s_{- i}^{*})$ — Condición equivalente para cada jugador

Symbole	Signification	Unité
`s_i^*`	estrategia de equilibrio del jugador i Ningún jugador tiene incentivo para desviarse unilateralmente
`s_{-i}^*`	estrategias de equilibrio de los demás Vector de estrategias óptimas de los oponentes

Exemple : En el duopolio de nafta entre YPF y Shell en Mendoza, el equilibrio se da cuando ambas mantienen precios altos ($1.200 ARS/litro) porque bajar precios solo reduce ganancias

Dilema del prisionero law

(\begin{matrix} (R, R) & (S, T) \\ (T, S) & (P, P) \end{matrix})

Symbole	Signification	Unité
`R`	recompensa por cooperar Ej: $100M ARS para ambas empresas
`T`	tentación de desertar Ej: $150M ARS para quien deserta
`S`	castigo por desertar unilateralmente Ej: $0 ARS para quien coopera
`P`	pago por desertar ambos Ej: $50M ARS para ambas

Exemple : Dos cadenas de electrodomésticos en Córdoba: Frávega y Garbarino. Si cooperan (precios altos), ganan $100 M A R S c a d a u n a . S i u n a b a j a p r e c i o s, g a n a$ 150M ARS y la otra pierde $20M ARS

Juegos No Cooperativos y Competencia en Mercados

Modelos de interacción estratégica donde los jugadores no pueden firmar acuerdos vinculantes

Modelo de Cournot (duopolio) theorem

q_{1}^{*} = \frac{a - c - q_{2}}{2 b}

Formes alternatives

$q_{2}^{*} = \frac{a - c - q_{1}}{2 b}$ — Cantidad óptima simétrica para la empresa 2

Symbole	Signification	Unité
`q_1^*`	cantidad óptima de la empresa 1 Cantidad producida en toneladas por año	<<unit:ton>>
`a`	intercepto de la curva de demanda Ej: 3000 $ARS/ton² para soja en Rosario	<<unit:$ARS/ton^2>>
`b`	pendiente de la curva de demanda Ej: 0.5 $ARS/ton²	<<unit:$ARS/ton^2>>
`c`	costo marginal Ej: 15.000 $ARS/ton para producción de soja	<<unit:$ARS/ton>>
`q_2`	cantidad de la empresa 2 Cantidad fija de la competidora	<<unit:ton>>

Dimensions : $[L^{3}]$

Exemple : En el mercado de soja en el puerto de Rosario, con a=3000, b=0.5, c=15000 y q2=50000 ton, la empresa 1 produce q1*=7500 ton/año

Precio de equilibrio en Bertrand theorem

p^{*} = c

Symbole	Signification	Unité
`p^*`	precio de equilibrio Precio al que ninguna empresa tiene incentivo para bajar	<<unit:$ARS/litro>>
`c`	costo marginal Ej: 800 $ARS/litro para nafta premium	<<unit:$ARS/litro>>

Dimensions : $[M] {[T]}^{- 2}$

Exemple : En el mercado de nafta en Buenos Aires, si el costo marginal de YPF y Shell es 800 $A R S / l i t r o, e l p r e c i o d e e q u i l i b r i o s e r \overset{´}{a} e x a c t a m e n t e 800$ ARS/litro

Ganancia en equilibrio de Cournot definition

π_{i}^{*} = (p^{*} - c) \cdot q_{i}^{*}

Symbole	Signification	Unité
`\pi_i^*`	ganancia de equilibrio de la empresa i Ganancia anual en pesos argentinos	<<unit:$ARS/año>>
`p^*`	precio de mercado Determinado por la curva de demanda inversa	<<unit:$ARS/ton>>
`c`	costo marginal Ej: 15.000 $ARS/ton	<<unit:$ARS/ton>>
`q_i^*`	cantidad producida Cantidad óptima según modelo de Cournot	<<unit:ton>>

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 3}$

Exemple : YPF en Neuquén produce 7500 ton de gas licuado con p*=25.000 $A R S / t o n y c = 18.000$ ARS/ton, obteniendo una ganancia anual de $52.500.000 ARS

Estrategias Mixtas y Probabilidades

Estrategias donde los jugadores randomizan entre acciones puras con ciertas probabilidades

Estrategia mixta de equilibrio definition

p_{i}^{*} = \arg \max_{p_{i}} \sum_{s} p (s) \cdot u_{i} (s)

Formes alternatives

$\sum_{j} p_{j}^{*} \cdot u_{i} (j, p_{- i}^{*}) = \sum_{j} p_{j}^{*} \cdot u_{i} (j^{'}, p_{- i}^{*}) \forall j, j^{'}$ — Condición de indiferencia para estrategias mixtas

Symbole	Signification	Unité
`p_i^*`	probabilidad óptima del jugador i Vector de probabilidades para cada estrategia pura
`p(s)`	probabilidad conjunta de perfil s Producto de probabilidades individuales
`u_i(s)`	utilidad en perfil s Pago según el perfil de estrategias

Exemple : En una subasta de trigo en Bahía Blanca, el comprador randomiza entre ofertas de $24.000 A R S / t o n (p r o b 0.6) y$ 26.000 ARS/ton (prob 0.4) para hacer indiferente al vendedor

Probabilidad de equilibrio en 2x2 theorem

p = \frac{d - b}{(a - b) + (d - c)}

Symbole	Signification	Unité
`p`	probabilidad de jugar la primera estrategia Para el jugador fila en matriz 2x2
`a`	pago si ambos cooperan Esquina superior izquierda
`b`	pago si jugador fila coopera y columna no Esquina superior derecha
`c`	pago si jugador fila no coopera y columna coopera Esquina inferior izquierda
`d`	pago si ambos no cooperan Esquina inferior derecha

Exemple : En el mercado de cervezas artesanales en Bariloche, con a=120, b=180, c=80, d=100 (en miles de $ARS), la probabilidad de que Patagonia Brewery juegue 'premium' es p=0.5

Valor esperado de estrategia mixta theorem

E [U] = p \cdot u_{1} + (1 - p) \cdot u_{2}

Symbole	Signification	Unité
`E[U]`	valor esperado de utilidad Ganancia esperada en pesos argentinos	<<unit:$ARS>>
`p`	probabilidad de elegir estrategia 1 Valor entre 0 y 1
`u_1`	utilidad de estrategia 1 Ej: $150.000 ARS	<<unit:$ARS>>
`u_2`	utilidad de estrategia 2 Ej: $80.000 ARS	<<unit:$ARS>>

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Un productor de vino en Mendoza elige entre vender a granel ( $120 A R S / l i t r o) c o n p r o b a b i l i d a d 0.7 o e m b o t e l l a d o ($ 200 ARS/litro) con probabilidad 0.3. Su ganancia esperada es $144 ARS/litro

Aplicaciones a Sectores Argentinos

Modelos de competencia estratégica adaptados a industrias clave de la economía argentina

Matriz de competencia en telecomunicaciones definition

(\begin{matrix} (500,500) & (700,300) \\ (300,700) & (400,400) \end{matrix})

Symbole	Signification	Unité
`(500,500)`	ganancia si ambas mantienen precios altos Ej: Movistar y Personal en Buenos Aires	<<unit:$M ARS/año>>
`(700,300)`	ganancia si Movistar baja precios y Personal mantiene Movistar gana clientes, Personal pierde	<<unit:$M ARS/año>>
`(300,700)`	ganancia si Personal baja precios y Movistar mantiene Personal gana clientes, Movistar pierde	<<unit:$M ARS/año>>
`(400,400)`	ganancia si ambas bajan precios Guerra de precios reduce ganancias	<<unit:$M ARS/año>>

Exemple : En el mercado de internet fijo en Córdoba, si Movistar y Personal mantienen precios altos, cada una gana $500 M A R S a n u a l e s; s i u n a b a j a p r e c i o s, g a n a$ 700M ARS pero la otra pierde $200M ARS

Punto de equilibrio en retail alimenticio theorem

Q_{B E} = \frac{C F}{p - C V}

Symbole	Signification	Unité
`Q_{BE}`	cantidad de equilibrio (punto de break-even) Cantidad mínima para no tener pérdidas	<<unit:ton>>
`CF`	costos fijos Ej: $500M ARS/año para un supermercado	<<unit:$ARS/año>>
`p`	precio de venta Ej: $1.200 ARS/kg para carne vacuna	<<unit:$ARS/kg>>
`CV`	costo variable unitario Ej: $800 ARS/kg	<<unit:$ARS/kg>>

Dimensions : $[L^{3}]$

Exemple : Un supermercado en Rosario tiene costos fijos de $500 M A R S / a \tilde{n} o, v e n d e c a r n e a$ 1.200 ARS/kg y su costo variable es $800 ARS/kg. Necesita vender 1.250 ton de carne al año para no tener pérdidas

Subasta de soja: Valor esperado del comprador theorem

E [V] = p \cdot v_{H} + (1 - p) \cdot v_{L}

Symbole	Signification	Unité
`E[V]`	valor esperado del comprador Precio máximo que debería pagar	<<unit:$ARS/ton>>
`p`	probabilidad de alta demanda Ej: 0.4 para demanda internacional alta
`v_H`	valor en alta demanda Ej: $28.000 ARS/ton	<<unit:$ARS/ton>>
`v_L`	valor en baja demanda Ej: $22.000 ARS/ton	<<unit:$ARS/ton>>

Dimensions : $[M] {[T]}^{- 2}$

Exemple : Una cooperativa en Pergamino estima 40% de probabilidad de vender soja a $28.000 A R S / t o n (a l t a d e m a n d a c h i n a) y 60$ 22.000 ARS/ton. Su valor esperado es $24.400 ARS/ton

Conceptos Fundamentales de Teoría de Juegos

Estrategias Puras: Dominancia y Equilibrio

Juegos No Cooperativos y Competencia en Mercados

Estrategias Mixtas y Probabilidades

Aplicaciones a Sectores Argentinos

Fuentes