Domina las Leyes de Kirchhoff: Análisis de Circuitos para PAES 20

1. Diagrama del circuito — Representa los tres aparatos como resistencias en paralelo conectadas a la misma fuente de 220 V. El nodo principal es donde se unen los cables antes de dividirse.
2. Ley de los Nodos — En cualquier nodo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes. Aquí, la corriente total $I_T$ se divide en $I_1$, $I_2$ e $I_3$.
   $$I_T=I_1+I_2+I_3$$
3. Cálculo — Suma las corrientes de cada aparato para obtener la corriente total en el cable principal.
   $$I_T=1.5\text{A}+2\text{A}+0.5\text{A}=4\text{A}$$

$$I_T=4\text{A}$$

→ La corriente total en el cable principal es de 4 amperios.

1. Diagrama del circuito — Dibuja una batería de 12 V conectada a dos resistencias en serie: R1 = 100 Ω y R2 = 200 Ω.
2. Ley de las Mallas — Recorre la malla en sentido horario. La suma de las caídas de voltaje debe ser igual al voltaje de la batería.
   $$V_{bater\acute{ı}a}=V_{R1}+V_{R2}$$
3. Resistencia total — En serie, las resistencias se suman.
   $$R_T=R_1+R_2=100\mathrm{\Omega }+200\mathrm{\Omega }=300\mathrm{\Omega }$$
4. Corriente total — Aplica la ley de Ohm con la resistencia total.
   $$I=\frac{V_{bater\acute{ı}a}}{R_T}=\frac{12\text{V}}{300\mathrm{\Omega }}=0.04\text{A}$$
5. Voltajes en resistencias — Usa la ley de Ohm en cada resistencia.
   $$V_{R1}=I\times R_1=0.04\text{A}\times 100\mathrm{\Omega }=4\text{V}{V}_{R2}=I\times R_2=0.04\text{A}\times 200\mathrm{\Omega }=8\text{V}$$

$$I=0.04\text{A},V_{R1}=4\text{V},V_{R2}=8\text{V}$$

→ La corriente es 0.04 A, el voltaje en R1 es 4 V y en R2 es 8 V.

1. Diagrama del circuito — Dibuja dos baterías en serie con polaridades opuestas, conectadas a dos resistencias en serie. La malla va de la batería de 12 V, pasa por R1, luego por R2, y regresa por la batería de 6 V.
2. Ley de las Mallas — Recorre la malla en sentido horario. La suma de voltajes debe ser cero, considerando la polaridad.
   $$12\text{V}-I\times 4\mathrm{\Omega }-I\times 6\mathrm{\Omega }-6\text{V}=0$$
3. Resistencia total — Suma las resistencias en serie.
   $$R_T=4\mathrm{\Omega }+6\mathrm{\Omega }=10\mathrm{\Omega }$$
4. Ecuación de la malla — Simplifica la ecuación de la malla para encontrar la corriente.
   $$12\text{V}-6\text{V}=I\times (4\mathrm{\Omega }+6\mathrm{\Omega })6\text{V}=I\times 10\mathrm{\Omega }I=\frac{6\text{V}}{10\mathrm{\Omega }}=0.6\text{A}$$
5. Voltajes en resistencias — Aplica la ley de Ohm a cada resistencia.
   $$V_{R1}=0.6\text{A}\times 4\mathrm{\Omega }=2.4\text{V}{V}_{R2}=0.6\text{A}\times 6\mathrm{\Omega }=3.6\text{V}$$

$$I=0.6\text{A},V_{R1}=2.4\text{V},V_{R2}=3.6\text{V}$$

→ La corriente es 0.6 A, el voltaje en R1 es 2.4 V y en R2 es 3.6 V.

1. Condición de equilibrio — Un puente de Wheatstone está balanceado cuando no circula corriente por el galvanómetro, lo que implica que los voltajes en los puntos A y B son iguales.
   $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_x}$$
2. Cálculo de Rx — Despeja Rx de la condición de equilibrio.
   $$R_x=\frac{R_2\times R_3}{R_1}=\frac{200\mathrm{\Omega }\times 300\mathrm{\Omega }}{100\mathrm{\Omega }}=600\mathrm{\Omega }$$
3. Corriente en el galvanómetro — Cuando el puente está balanceado, la corriente por el galvanómetro es cero porque no hay diferencia de potencial entre los puntos A y B.
   $$I_{galvan\acute{o}metro}=0\text{A}$$
4. Corrientes en las ramas — Calcula las corrientes en las ramas superior e inferior del puente.
   $$I_{superior}=\frac{12\text{V}}{100\mathrm{\Omega }+600\mathrm{\Omega }}=\frac{12}{700}\approx 0.0171\text{A}{I}_{inferior}=\frac{12\text{V}}{200\mathrm{\Omega }+300\mathrm{\Omega }}=\frac{12}{500}=0.024\text{A}$$

$$R_x=600\mathrm{\Omega },I_{galvan\acute{o}metro}=0\text{A}$$

→ La resistencia desconocida Rx es 600 Ω y la corriente en el galvanómetro es 0 A.

1. Constante de tiempo — La constante de tiempo τ determina qué tan rápido se carga o descarga un condensador. Se calcula como el producto de la resistencia por la capacitancia.
   $$\tau =R\times C$$
2. Cálculo de τ — Convierte las unidades a sistema internacional y calcula.
   $$\tau =10\times {10}^3\mathrm{\Omega }\times 100\times {10}^{-6}\text{F}=1\text{s}$$
3. Tiempo al 63% — El condensador alcanza el 63% de su voltaje máximo en un tiempo igual a τ.
   $$t=\tau =1\text{s}$$
4. Voltaje después de 1 segundo — Usa la fórmula de carga del condensador: V(t) = $V_0$ × (1 - e^(-t/τ)).
   $$V(1\text{s})=9\text{V}\times (1-e^{-1/1})=9\text{V}\times (1-0.3679)\approx 5.69\text{V}$$

$$\tau =1\text{s},V(1\text{s})\approx 5.69\text{V}$$

→ La constante de tiempo es 1 s, el voltaje después de 1 s es aproximadamente 5.69 V.

1. Diagrama del circuito — Dibuja tres mallas interconectadas: la malla 1 con V1 y R1, la malla 2 con R2, R3 y R4, y la malla 3 con V2 y R5. Las resistencias compartidas son R2 (entre malla 1 y 2), R3 (entre malla 2 y 3) y R4 (entre malla 1 y 3).
2. Ecuaciones de mallas — Aplica la Ley de las Mallas a cada malla. Para las resistencias compartidas, la corriente es la diferencia entre las corrientes de malla.
   $$Malla1:24\text{V}=I_1(5\mathrm{\Omega }+10\mathrm{\Omega })-I_2(10\mathrm{\Omega })-I_3(20\mathrm{\Omega })Malla2:0=-I_1(10\mathrm{\Omega })+I_2(10\mathrm{\Omega }+15\mathrm{\Omega }+20\mathrm{\Omega })-I_3(15\mathrm{\Omega })Malla3:12\text{V}=-I_1(20\mathrm{\Omega })-I_2(15\mathrm{\Omega })+I_3(25\mathrm{\Omega }+15\mathrm{\Omega }+20\mathrm{\Omega })$$
3. Sistema de ecuaciones — Simplifica las ecuaciones y resuelve el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
   $$24=15I_1-10I_2-20I_{3}0=-10I_1+45I_2-15I_{3}12=-20I_1-15I_2+60I_3$$
4. Solución (usando método de eliminación) — Resuelve el sistema paso a paso. Multiplica la segunda ecuación por 2 y súmala a la primera para eliminar I1.
   $$Multiplicandosegundaecuaci\acute{o}npor2:0=-20I_1+90I_2-30I_{3}Sumandoaprimeraecuaci\acute{o}n:24=80I_2-50I_3(ecuaci\acute{o}nA)Multiplicandosegundaecuaci\acute{o}npor3ytercerapor2:0=-30I_1+135I_2-45I_{3}24=-40I_1-30I_2+120I_{3}Restando:24=-165I_2+165I_3(ecuaci\acute{o}nB)Deecuaci\acute{o}nB:I_3=I_2+\frac{24}{165}=I_2+0.1455\text{A}Sustituyendoenecuaci\acute{o}nA:24=80I_2-50(I_2+0.1455)24=30I_2-7.275I_2=\frac{31.275}{30}=1.0425\text{A}{I}_3=1.0425+0.1455=1.188\text{A}Sustituyendoensegundaecuaci\acute{o}noriginal:0=-10I_1+45(1.0425)-15(1.188)I_1=\frac{46.9125-17.82}{10}=2.909\text{A}$$
5. Corrientes en resistencias — Calcula la corriente en cada resistencia usando las corrientes de malla.
   $$I_{R1}=I_1=2.909\text{A}{I}_{R2}=I_1-I_2=2.909-1.0425=1.8665\text{A}{I}_{R3}=I_2-I_3=1.0425-1.188=-0.1455\text{A}(sentidoopuesto)I_{R4}=I_1-I_3=2.909-1.188=1.721\text{A}{I}_{R5}=I_3=1.188\text{A}$$

$$I_1\approx 2.91\text{A},I_2\approx 1.04\text{A},I_3\approx 1.19\text{A}$$

→ Las corrientes de malla son I1 ≈ 2.91 A, I2 ≈ 1.04 A e I3 ≈ 1.19 A. Las corrientes en las resistencias son: R1=2.91 A, R2=1.87 A, R3=0.15 A (opuesta), R4=1.72 A, R5=1.19 A.