Descubre el poder invisible de los átomos en Chile

1. Configuración electrónica — El número atómico $Z=29$ indica que el cobre tiene 29 protones y, en estado neutro, 29 electrones. Según el modelo de Bohr, los electrones se distribuyen en capas: $2n^2$ electrones por nivel, donde $n$ es el número cuántico principal.
   $$1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}4s^{1}3d^{10}$$
2. Diagrama de niveles de energía — Dibuja un diagrama con niveles de energía etiquetados $n=1$ a $n=4$. Coloca 2 electrones en $n=1$, 8 en $n=2$, 18 en $n=3$ y 1 en $n=4$ (el último electrón del orbital 4s).
3. Cálculo de energía del fotón — La energía del fotón emitido se calcula con la fórmula $\mathrm{\Delta }E=h\cdot \nu =h\cdot \frac{c}{\lambda }$. Primero, usa la diferencia de energía entre niveles: $E_n=-13.6\text{eV}\cdot \frac{Z^2}{n^2}$. Para $n=4$ a $n=3$: $\mathrm{\Delta }E=E_4-E_3$ (en valor absoluto). Luego convierte a eV.
   $$\mathrm{\Delta }E=h\cdot \frac{c}{\lambda }=E_4-E_3=-13.6\text{eV}(\frac{{29}^2}{4^2}-\frac{{29}^2}{3^2})=0.66\text{eV}$$
4. Conductividad del cobre — El cobre tiene un solo electrón en el orbital 4s, que puede moverse fácilmente entre átomos. Esto permite el flujo de corriente eléctrica. Además, su estructura cristalina compacta facilita el movimiento de electrones.

$$0.66\text{ eV}$$

→ Configuración electrónica: $1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}4s^{1}3d^{10}$. Energía del fotón: $0.66\text{eV}$. El cobre conduce electricidad por su electrón 4s libre.

1. Cálculo de masa atómica promedio — La masa atómica promedio es la suma de (masa del isótopo × abundancia en decimal).
   $$M_{prom}=(0.076\times 6.015)+(0.924\times 7.016)=6.941\text{ u}$$
2. Cantidad de átomos de ${}^7\text{Li}$ — Primero, calcula los moles de litio en 10 g usando la masa atómica promedio. Luego multiplica por la fracción de ${}^7\text{Li}$ y el número de Avogadro.
   $$n_{Li}=\frac{10\text{ g}}{6.941\text{ g/mol}}=1.44\text{ mol}{N}_{{}^{7}Li}=1.44\times 0.924\times 6.022\times {10}^{23}=8.06\times {10}^{23}\text{ átomos}$$
3. Ventajas del litio en baterías — El litio tiene solo 3 electrones (configuración $1s^{2}2s^1$), lo que permite una fácil pérdida del electrón 2s para formar iones $L{i}^{+}$. Su baja densidad (0.534 g/cm³) lo hace ligero, y su alto potencial electroquímico (+3.04 V) proporciona mucha energía por unidad de masa.

→ Masa atómica promedio: 6.941 u. Átomos de ${}^7\text{Li}$: $8.06\times {10}^{23}$. El litio es ideal por su electrón 2s fácil de perder y baja densidad.

1. Cálculo de masa en defecto — La masa en defecto es la diferencia entre la masa de los nucleones libres y la masa del núcleo. $\mathrm{\Delta }m=(Z\cdot m_p+N\cdot m_n)-m_{n\acute{u}cleo}$.
   $$\mathrm{\Delta }m=(29\times 1.00728+34\times 1.00866)-62.92960=0.59198\text{ u}$$
2. Energía de enlace nuclear total — Convierte la masa en defecto a energía usando $E=\mathrm{\Delta }m\cdot c^2$. Usa $1\text{ u}=931.5{\text{ MeV/c}}^2$.
   $$E_{enlace}=0.59198\times 931.5=551.4\text{ MeV}$$
3. Energía por nucleón — Divide la energía total entre el número de nucleones ($A=63$).
   $$E_{pornucle\acute{o}n}=\frac{551.4}{63}=8.75\text{ MeV/nucleón}$$
4. Comparación con el hierro — El cobre tiene 8.75 MeV/nucleón, ligeramente menor que el hierro (8.8 MeV/nucleón). Esto explica por qué el hierro es más estable y no se fusiona fácilmente en estrellas.

$$8.75\text{ MeV/nucleón}$$

→ Masa en defecto: 0.592 u. Energía total: 551.4 MeV. Energía por nucleón: 8.75 MeV. Menos estable que el hierro.

1. Cantidad residual de yodo — Usa la fórmula de decaimiento exponencial: $N=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/t_{1/2}}$. Como $t=4\cdot t_{1/2}$, queda $1/16$ de la cantidad inicial.
   $$m=10\text{ mg}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=0.625\text{ mg}$$
2. Número de átomos iniciales — Convierte la masa a moles y luego a átomos usando el número de Avogadro.
   $$n=\frac{0.01\text{ g}}{127\text{ g/mol}}=7.87\times {10}^{-5}\text{ mol}{N}_0=7.87\times {10}^{-5}\times 6.022\times {10}^{23}=4.74\times {10}^{19}\text{ átomos}$$
3. Actividad inicial — La actividad $A=\lambda \cdot N_0$. Primero calcula $\lambda =\frac{\ln 2}{8\text{ días}}=\frac{0.693}{8\times 86400\text{ s}}=1.00\times {10}^{-6}{\text{ s}}^{-1}$. Luego $A=\lambda \cdot N_0$.
   $$A=1.00\times {10}^{-6}\times 4.74\times {10}^{19}=4.74\times {10}^{13}\text{ Bq}$$

→ Yodo residual: 0.625 mg. Átomos iniciales: $4.74\times {10}^{19}$. Actividad inicial: $4.74\times {10}^{13}$ Bq.

1. Volumen de un átomo de oxígeno — Usa la fórmula del volumen de una esfera con el radio dado.
   $$V_{\acute{a}tomo}=\frac{4}{3}\pi {(6.6\times {10}^{-11})}^3=1.20\times {10}^{-30}{\text{m}}^3$$
2. Volumen del grano de arena — Convierte el diámetro a radio y calcula el volumen.
   $$V_{arena}=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{5.0\times {10}^{-4}}{2}\right)}^3=6.54\times {10}^{-11}{\text{m}}^3$$
3. Número de átomos en el grano — Divide el volumen del grano entre el volumen de un átomo. Asume empaquetamiento compacto (74% del volumen ocupado).
   $$N=\frac{V_{arena}}{V_{\acute{a}tomo}}\times 0.74=\frac{6.54\times {10}^{-11}}{1.20\times {10}^{-30}}\times 0.74=4.05\times {10}^{19}\text{ átomos}$$

$$4.05\times {10}^{19}\text{ átomos}$$

→ Volumen atómico: $1.20\times {10}^{-30}{\text{m}}^3$. Volumen del grano: $6.54\times {10}^{-11}{\text{m}}^3$. Átomos en el grano: $4.05\times {10}^{19}$.

1. Energía del fotón — Usa $E=h\cdot \frac{c}{\lambda }$ para calcular la energía del fotón.
   $$E=4.14\times {10}^{-15}\times \frac{3.00\times {10}^8}{656.3\times {10}^{-9}}=1.89\text{eV}$$
2. Niveles energéticos — La energía del fotón es igual a la diferencia entre niveles: $E=E_i-E_f$. Usa $E_n=-13.6/n^2$ para encontrar $n_i$ y $n_f$. La transición $n=3$ a $n=2$ da $E=-13.6(1/9-1/4)=1.89\text{eV}$.
   $$n_i=3,n_f=2$$
3. Importancia en astronomía — Esta línea espectral (llamada H-alfa) es una de las más intensas en el espectro del hidrógeno. Permite a los astrónomos detectar hidrógeno en galaxias distantes y medir su velocidad mediante el efecto Doppler. Es clave para estudiar la estructura del universo.

$$1.89\text{ eV}$$

→ Energía del fotón: 1.89 eV. Transición: $n=3$ a $n=2$. Importante para detectar hidrógeno en galaxias.