Relatividad Especial en Chile: ¿Por qué el tiempo no es absoluto?

1. Postulados de Einstein — Recuerda que el primer postulado establece que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales, y el segundo postulado establece que la velocidad de la luz en el vacío es constante e igual a $c$ para todos los observadores, independientemente de su movimiento o del movimiento de la fuente de luz.
2. Aplicación al bus de Turbus — Según el segundo postulado, la velocidad de la luz medida por el peatón en Curicó será exactamente $c$, sin importar que el bus se mueva a 100 km/h. Esto contradice la intuición clásica donde las velocidades se suman.
   $$c_{\text{medida}}=c=299792458\text{m/s}$$
3. Crítica al éter luminífero — El segundo postulado invalida la necesidad del éter luminífero, un medio hipotético que se creía necesario para la propagación de la luz. Los experimentos como el de Michelson-Morley (que se mencionan en la fuente Wikipedia) ya habían puesto en duda su existencia.

$$c=299792458\text{ m/s}$$

→ La velocidad de la luz medida por el peatón en Curicó es exactamente $c=299792458\text{m/s}$, sin importar el movimiento del bus. Esto se debe al segundo postulado de la relatividad especial que establece la constancia de $c$ para todos los observadores.

1. Factor de Lorentz — El factor de Lorentz $\gamma$ se calcula usando la fórmula $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$. Sustituye $v=0.85c$ para obtener el valor.
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{(0.85)}^2}}$$
2. Tiempo propio — El tiempo propio $\tau$ en el marco del avión se relaciona con el tiempo terrestre $t$ mediante $\tau =\frac{t}{\gamma }$. Calcula este valor usando el $\gamma$ obtenido.
   $$\tau =\frac{t}{\gamma }=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
3. Aplicación agrícola — La dilatación temporal significa que los procesos biológicos en las semillas de quinoa (como la germinación o la deshidratación) ocurren más lentamente desde el punto de vista del avión. Esto ayuda a preservar la frescura durante el transporte.
4. Comparación con bus — Para velocidades no relativistas como las de un bus (unos 100 km/h = $2.8\times {10}^{-5}c$), el factor $\gamma$ es prácticamente 1. Por lo tanto, $\tau \approx t$ y no hay dilatación temporal detectable.
   $$\gamma \approx 1\text{para}v\ll c$$

$$\tau =1897\text{ s}\approx 31.6\text{ min}$$

→ El tiempo propio medido por el reloj del pasajero es $\tau =1897\text{ segundos}\approx 31.6\text{ minutos}$. Las semillas de quinoa experimentan una ralentización de sus procesos biológicos equivalente a este factor de tiempo.

1. Factor de Lorentz para velocidad terrestre — Para velocidades mucho menores que $c$, como la velocidad tangencial terrestre, el factor de Lorentz es extremadamente cercano a 1. Calcula $\gamma$ usando la fórmula estándar.
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{465}{299792458}\right)}^2}}$$
2. Longitud contraída — La longitud contraída $L$ se calcula como $L=\frac{L_0}{\gamma }$. Dado que $\gamma \approx 1$, la contracción será mínima.
   $$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
3. Comparación con precisión de ALMA — Convierte la contracción calculada a unidades angulares para comparar con la precisión de ALMA. La contracción es del orden de ${10}^{-12}\text{ m}$, que es insignificante frente a la precisión de ALMA ($0.01\text{ segundos de arco}\approx 4.8\times {10}^{-8}\text{ radianes}$).
   $$\mathrm{\Delta }L\approx 1.1\times {10}^{-12}\text{ m}\ll 4.8\times {10}^{-8}\text{ m}$$
4. Dirección de la contracción — La contracción de Lorentz solo ocurre en la dirección paralela al movimiento relativo entre marcos de referencia. En direcciones perpendiculares, la longitud se mantiene invariante. Esto se debe a que las transformaciones de Lorentz mezclan espacio y tiempo de manera diferente según la dirección.
   $$L_{\parallel }=\frac{L_0}{\gamma },L_{⟂}=L_0$$

$$\mathrm{\Delta }L=1.1\times {10}^{-12}\text{ m}$$

→ La antena se contrae en $1.1\times {10}^{-12}\text{ metros}$, un efecto indetectable frente a la precisión de ALMA de $4.8\times {10}^{-8}\text{ metros}$. La contracción solo ocurre en la dirección del movimiento terrestre.

1. Coordenadas en marco terrestre — En el marco terrestre, los eventos tienen coordenadas $(x_1,t_1)=(0,0)$ para las luces de la plaza y $(x_2,t_2)=(500,0)$ para el tren en la estación. Ambos ocurren al mismo tiempo ($t_1=t_2=0$).
   $$(x_1,t_1)=(0,0)\text{y}(x_2,t_2)=(500\text{ m},0)$$
2. Transformaciones de Lorentz — Las transformaciones de Lorentz relacionan las coordenadas entre marcos inerciales. Para un marco móvil con velocidad $v$ en la dirección x, las transformaciones son: $t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})$ y $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$. Aplica estas fórmulas a ambos eventos.
   $$t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2}),x^{\prime }=\gamma (x-vt)$$
3. Cálculo de tiempos en marco móvil — Para el evento 1 (luces de la plaza): $t_1^{\prime }=\gamma (0-\frac{v\cdot 0}{c^2})=0$. Para el evento 2 (tren en estación): $t_2^{\prime }=\gamma (0-\frac{v\cdot 500}{c^2})=-\gamma \frac{500v}{c^2}$. Calcula $\gamma$ y sustituye $v=0.6c$.
   $$t_2^{\prime }=-\frac{500\cdot 0.6c}{\sqrt{1-{0.6}^2}\cdot c^2}=-\frac{300}{\sqrt{0.64}\cdot c}=-\frac{300}{0.8c}$$
4. Interpretación física — El resultado negativo para $t_2^{\prime }$ indica que, según el observador en el tren, el evento 2 (el tren pasando por la estación) ocurre ANTES que el evento 1 (las luces encendiéndose en la plaza). La diferencia de tiempo es $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=t_2^{\prime }-t_1^{\prime }=-1.25\times {10}^{-6}\text{ s}$.
   $$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=-1.25\times {10}^{-6}\text{ s}$$
5. Implicaciones para el transporte — En sistemas de transporte rápido como el tren Santiago-Valparaíso o los futuros trenes de alta velocidad en Chile, la relatividad de la simultaneidad significa que los relojes deben sincronizarse cuidadosamente. Un error de sincronización de solo microsegundos puede causar problemas en la coordinación de horarios.

$$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=-1.25\times {10}^{-6}\text{ s}$$

→ Según el observador en el tren, el evento del tren pasando por la estación ocurre primero, con una diferencia de tiempo de $-1.25\times {10}^{-6}$ segundos respecto al encendido de las luces en la plaza. La simultaneidad es relativa y depende del marco de referencia.