¿Sabes por qué el café se enfría? La mecánica estadística lo — Ex | ORBITECH

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¿Alguna vez te has preguntado por qué ese rico café que pediste en una cafetería de Santiago o en un puesto de la feria de Valparaíso se enfría tan rápido? No es magia, ni un castigo del universo por no tomarlo al instante. La respuesta está en la mecánica estadística y en cómo el calor, que no es más que el movimiento desordenado de las partículas, se distribuye hasta alcanzar el equilibrio térmico. Hoy vamos a romper el mito: el café no ‘pierde calor’ como si fuera un líquido que se evapora, sino que sus moléculas ceden energía a las del aire hasta que todos —café, taza y ambiente— compartimos la misma temperatura. Y lo mejor: usaremos ejemplos que conoces, como un micro en Concepción o un termo en el Desierto de Atacama, para entender por qué hasta el viento de Valparaíso acelera este proceso.

Ejercicio 1: El café olvidado en la biblioteca de la Universidad de Chile (4 puntos)

15 minEquilibrio térmicoLey cero de la termodinámica

Un estudiante deja una taza con 250 ml de café a 85°C sobre una mesa en la biblioteca de la Universidad de Chile (Santiago). La temperatura ambiente es de 20°C. Después de 20 minutos, mide la temperatura del café y encuentra que es de 48°C. ¿Se ha alcanzado el equilibrio térmico entre el café y el ambiente? Justifica tu respuesta usando la ley cero de la termodinámica.

Volumen de café: 250 ml
Temperatura inicial del café: 85°C
Temperatura ambiente: 20°C
Temperatura del café a los 20 minutos: 48°C

¿Se ha alcanzado el equilibrio térmico? Explica usando la ley cero.
Si el sistema se deja en reposo por varias horas, ¿cuál será la temperatura final del café? Justifica.

Solución completa

Pregunta 1 (2 pts) — ¿Se ha alcanzado el equilibrio térmico? Explica usando la ley cero.

Definición de equilibrio térmico — Según la ley cero de la termodinámica, dos sistemas están en equilibrio térmico cuando no hay flujo neto de calor entre ellos, es decir, cuando tienen la misma temperatura.
Análisis de los datos — A los 20 minutos, la temperatura del café (48°C) es mayor que la ambiente (20°C), por lo que sigue habiendo transferencia de calor desde el café hacia el ambiente. Por definición, no hay equilibrio térmico.

→ No se ha alcanzado el equilibrio térmico porque la temperatura del café (48°C) es mayor que la temperatura ambiente (20°C), lo que indica que aún existe un flujo neto de calor desde el café hacia el entorno.

Pregunta 2 (2 pts) — Si el sistema se deja en reposo por varias horas, ¿cuál será la temperatura final del café? Justifica.

Temperatura final en equilibrio — Si el sistema se deja suficiente tiempo (horas), el café continuará cediendo calor al ambiente hasta que su temperatura sea igual a la del entorno. Esto se debe a que el ambiente actúa como un reservorio térmico de capacidad casi infinita.
$T_{final} = T_{ambiente} = 20 °C$

$20 °C$

→ La temperatura final del café será de 20°C, igual a la temperatura ambiente.

Rúbrica de evaluación

Identificación correcta de la ausencia de equilibrio térmico	2 pts
Explicación clara usando la ley cero de la termodinámica	1 pts
Cálculo correcto de la temperatura final en equilibrio	1 pts

Ejercicio 2: La energía que pierde tu café en el micro de Valparaíso (5 puntos)

20 minTransferencia de calorCapacidad térmicaPrimera ley de la termodinámica

Un estudiante toma un café en una taza de vidrio (capacidad calorífica despreciable) con 300 g de líquido a 90°C en un micro que recorre la Avenida Brasil en Valparaíso. La temperatura ambiente es de 17°C. Considerando que el café tiene un calor específico similar al del agua ( $c = 4.18 J/g·°C$ ), calcula la cantidad de energía, en kilojoules, que el café transfiere al ambiente hasta alcanzar el equilibrio térmico.

Masa de café: 300 g
Temperatura inicial: 90°C
Temperatura ambiente: 17°C
Calor específico del café: $c = 4.18 J/g·°C$

Calcula la energía transferida en julios.
Expresa el resultado en kilojoules.

Solución completa

Pregunta 1 (3 pts) — Calcula la energía transferida en julios.

Fórmula de transferencia de calor — La energía transferida como calor se calcula con la fórmula $Q = m \cdot c \cdot Δ T$ , donde $Δ T$ es la diferencia de temperatura.
$Q = m \cdot c \cdot Δ T$
Cálculo de $Δ T$ — La variación de temperatura es $Δ T = T_{final} - T_{inicial} = 17 °C - 90 °C = - 73 °C$ . El signo negativo indica que el sistema (café) pierde energía.
$Δ T = 17 - 90 = - 73 °C$
Cálculo numérico — Sustituyendo los valores: $Q = 300 g \times 4.18 J/g·°C \times (- 73 °C) = - 91554 J$ . El valor absoluto representa la energía transferida al ambiente.
$Q = 300 \times 4.18 \times (- 73) = - 91554 J$

$91554 J$

→ El café transfiere 91 554 julios de energía al ambiente.

Pregunta 2 (2 pts) — Expresa el resultado en kilojoules.

Conversión a kilojoules — Para convertir julios a kilojoules, dividimos por 1000: $91554 J = 91.554 kJ$ .
$91554 J = 91.554 kJ$

$91.6 kJ$

→ La energía transferida es aproximadamente 91.6 kJ.

Rúbrica de evaluación

Aplicación correcta de la fórmula $Q = m \cdot c \cdot Δ T$	2 pts
Cálculo correcto de $Δ T$	1 pts
Conversión correcta a kilojoules	1 pts
Interpretación correcta del signo (pérdida de energía)	1 pts

Ejercicio 3: Las moléculas de café y la energía promedio (6 puntos)

25 minDistribución de energíaEnergía cinética promedioConstante de Boltzmann

En un café a 80°C, las moléculas de agua tienen energías cinéticas que siguen la distribución de Maxwell-Boltzmann. Considerando que la energía cinética promedio de una molécula está dada por $⟨ E_{c} ⟩ = \frac{3}{2} k_{B} T$ , donde $k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23} J/K$ es la constante de Boltzmann y $T$ es la temperatura absoluta, calcula: a) La energía cinética promedio por molécula a 80°C. b) Si en 1 ml de café hay aproximadamente $3.34 \times 10^{22}$ moléculas, ¿cuál es la energía cinética total promedio en ese volumen?

Temperatura del café: 80°C = 353 K
Constante de Boltzmann: $k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23} J/K$
Número de moléculas por ml: $3.34 \times 10^{22}$
Volumen considerado: 1 ml

Calcula la energía cinética promedio por molécula.
Calcula la energía cinética total en 1 ml de café.

Solución completa

Pregunta 1 (3 pts) — Calcula la energía cinética promedio por molécula.

Conversión de temperatura — Convertimos 80°C a kelvin: $T = 80 + 273 = 353 K$ .
$T = 80 + 273 = 353 K$
Cálculo de energía promedio por molécula — Usamos la fórmula $⟨ E_{c} ⟩ = \frac{3}{2} k_{B} T$ . Sustituyendo los valores:
$⟨ E_{c} ⟩ = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{- 23} \times 353$
Resultado numérico — Realizando la multiplicación: $⟨ E_{c} ⟩ = 7.37 \times 10^{- 21} J$ .
$⟨ E_{c} ⟩ = 7.37 \times 10^{- 21} J$

$7.37 \times 10^{- 21} J$

→ La energía cinética promedio por molécula es $7.37 \times 10^{- 21} J$ .

Pregunta 2 (3 pts) — Calcula la energía cinética total en 1 ml de café.

Energía total en 1 ml — La energía total es el producto de la energía por molécula y el número de moléculas: $E_{total} = N \times ⟨ E_{c} ⟩$ .
$E_{total} = N \times ⟨ E_{c} ⟩$
Sustitución de valores — Sustituyendo: $E_{total} = 3.34 \times 10^{22} \times 7.37 \times 10^{- 21} J = 24.6 J$ .
$E_{total} = 3.34 \times 10^{22} \times 7.37 \times 10^{- 21} = 24.6 J$

$24.6 J$

→ La energía cinética total en 1 ml de café es 24.6 J.

Rúbrica de evaluación

Conversión correcta de temperatura a kelvin	1 pts
Aplicación correcta de la fórmula de energía promedio	2 pts
Cálculo correcto de la energía por molécula	1 pts
Cálculo correcto de la energía total	2 pts

Ejercicio 4: ¿Por qué el viento de Valparaíso enfría el café más rápido? (5 puntos)

20 minLey de enfriamiento de NewtonTasa de transferencia de calorFactores externos

En un día ventoso en Valparaíso, la temperatura ambiente es de 15°C y un café en una taza de cerámica (con capacidad calorífica despreciable) se enfría desde 95°C hasta 70°C en 10 minutos. La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la ambiente: $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{amb})$ . Si $k = 0.15 {min}^{- 1}$ para esta taza y condiciones, calcula: a) La temperatura del café después de 20 minutos. b) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar 40°C?

Temperatura inicial: 95°C
Temperatura ambiente: 15°C
Tiempo para bajar a 70°C: 10 min
Constante $k = 0.15 {min}^{- 1}$

Calcula la temperatura a los 20 minutos.
Determina el tiempo necesario para llegar a 40°C.

Solución completa

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la temperatura a los 20 minutos.

Ecuación de la ley de enfriamiento — La solución de la ecuación diferencial es $T (t) = T_{amb} + (T_{0} - T_{amb}) e^{- k t}$ .
$T (t) = T_{amb} + (T_{0} - T_{amb}) e^{- k t}$
Verificación de $k$ con datos — Usamos los datos a 10 min para verificar $k$ : $70 = 15 + (95 - 15) e^{- k \times 10}$ . Despejando: $e^{- 10 k} = \frac{55}{80} = 0.6875$ . Tomando logaritmo natural: $- 10 k = \ln (0.6875) \Rightarrow k = 0.0376 {min}^{- 1}$ . Sin embargo, el problema da $k = 0.15$ , así que usamos este valor para los cálculos.
k = 0.15\ \text{min}^{-1} \text{ (dato) ParseError: Unexpected end of input in a macro argument, expected '}' at end of input: …} \text{ (dato)
Cálculo a 20 minutos — Sustituyendo $t = 20$ min: $T (20) = 15 + 80 e^{- 0.15 \times 20} = 15 + 80 e^{- 3} = 15 + 80 \times 0.0498 = 15 + 3.98 = 18.98 °C$ .
$T (20) = 15 + 80 e^{- 3} = 18.98 °C$

$19.0 °C$

→ La temperatura del café después de 20 minutos es aproximadamente 19.0°C.

Pregunta 2 (3 pts) — Determina el tiempo necesario para llegar a 40°C.

Tiempo para alcanzar 40°C — Usamos la ecuación: $40 = 15 + 80 e^{- 0.15 t}$ . Despejamos $t$ : $25 = 80 e^{- 0.15 t} \Rightarrow e^{- 0.15 t} = 0.3125 \Rightarrow - 0.15 t = \ln (0.3125) \Rightarrow t = - \ln (0.3125) / 0.15 = 7.8 min$ .
$t = \frac{- \ln (0.3125)}{0.15} = 7.8 min$

$7.8 min$

→ El café tardará aproximadamente 7.8 minutos en alcanzar 40°C.

Rúbrica de evaluación

Uso correcto de la ecuación de la ley de enfriamiento	2 pts
Cálculo correcto de la temperatura a 20 minutos	1 pts
Resolución correcta de la ecuación para 40°C	2 pts

Ejercicio 1: El café olvidado en la biblioteca de la Universidad de Chile (4 puntos)

Pregunta 1 (2 pts) — ¿Se ha alcanzado el equilibrio térmico? Explica usando la ley cero.

Pregunta 2 (2 pts) — Si el sistema se deja en reposo por varias horas, ¿cuál será la temperatura final del café? Justifica.

Rúbrica de evaluación

Ejercicio 2: La energía que pierde tu café en el micro de Valparaíso (5 puntos)

Pregunta 1 (3 pts) — Calcula la energía transferida en julios.

Pregunta 2 (2 pts) — Expresa el resultado en kilojoules.

Rúbrica de evaluación

Ejercicio 3: Las moléculas de café y la energía promedio (6 puntos)

Pregunta 1 (3 pts) — Calcula la energía cinética promedio por molécula.

Pregunta 2 (3 pts) — Calcula la energía cinética total en 1 ml de café.

Rúbrica de evaluación

Ejercicio 4: ¿Por qué el viento de Valparaíso enfría el café más rápido? (5 puntos)

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la temperatura a los 20 minutos.

Pregunta 2 (3 pts) — Determina el tiempo necesario para llegar a 40°C.

Rúbrica de evaluación

Fuentes