Por qué el hielo quema: calor y temperatura en Chile

1. Calor necesario para derretir el hielo — El hielo debe primero absorber calor para cambiar de fase de sólido a líquido. Usa la fórmula del calor latente de fusión.
   $$Q_{fusion}=m_{hielo}\cdot L_f$$
2. Calor máximo que puede ceder el agua — El agua líquida puede enfriarse hasta 0°C, liberando calor. Calcula este calor máximo posible.
   $$Q_{cedido}=m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot (T_{agua}-0)$$
3. Comparación inicial — Si el calor necesario para derretir el hielo es mayor que el calor que puede ceder el agua, no todo el hielo se derretirá. Calcula cuánto hielo se derrite realmente.
   $$m_{derretido}=\frac{Q_{cedido}}{L_f}$$
4. Temperatura final de la mezcla — Si todo el hielo se derrite, la temperatura final será la de equilibrio térmico. Si no, la temperatura final será 0°C con hielo restante.
   $$T_{final}=\frac{m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot T_{agua}+m_{derretido}\cdot c_{agua}\cdot 0}{m_{agua}+m_{derretido}}$$

$$T_{final}\approx 12.5\text{°C}$$

→ La temperatura final de la mezcla es aproximadamente 12.5°C

1. Ecuación de equilibrio térmico — La cantidad de calor que pierde el cobre es igual a la cantidad que gana el agua.
   $$m_{cobre}\cdot c_{cobre}\cdot (T_{cobre}-T_{final})=m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot (T_{final}-T_{agua})$$
2. Resolución algebraica — Despeja $T_{f}inal$ de la ecuación de equilibrio térmico.
   $$T_{final}=\frac{m_{cobre}\cdot c_{cobre}\cdot T_{cobre}+m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot T_{agua}}{m_{cobre}\cdot c_{cobre}+m_{agua}\cdot c_{agua}}$$
3. Cálculo numérico — Sustituye los valores y calcula la temperatura final.
   $$T_{final}=\frac{500\cdot 0.385\cdot 200+1000\cdot 4.18\cdot 20}{500\cdot 0.385+1000\cdot 4.18}$$

$$T_{final}\approx 21.8\text{°C}$$

→ La temperatura final de equilibrio es aproximadamente 21.8°C

1. Calor disponible de la roca — La roca de granito puede ceder calor al enfriarse desde 45°C hasta 0°C.
   $$Q_{roca}=m_{roca}\cdot c_{roca}\cdot (T_{roca}-0)$$
2. Masa de hielo que puede derretirse — Con el calor disponible, calcula cuánto hielo puede pasar de sólido a líquido.
   $$m_{derretido}=\frac{Q_{roca}}{L_f}$$
3. Verificación de masa disponible — Compara la masa de hielo derretido calculada con la masa inicial de hielo disponible.
   $$m_{derretido}\le m_{hielo}$$

$$m_{derretido}\approx 212\text{g}$$

→ Se derriten aproximadamente 212 g de hielo

1. Masa de agua — Convierte el volumen de agua a masa usando la densidad del agua.
   $$m_{agua}=V_{agua}\cdot {\rho }_{agua}$$
2. Calor cedido por el agua — El agua cede calor al enfriarse desde 80°C hasta la temperatura final.
   $$Q_{cedido}=m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot (80-T_{final})$$
3. Calor absorbido por la yerba — La yerba absorbe calor al calentarse desde 20°C hasta la temperatura final.
   $$Q_{absorbido}=m_{yerba}\cdot c_{yerba}\cdot (T_{final}-20)$$
4. Ecuación de equilibrio — Iguala el calor cedido por el agua con el calor absorbido por la yerba.
   $$m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot (80-T_{final})=m_{yerba}\cdot c_{yerba}\cdot (T_{final}-20)$$

$$T_{final}\approx 77.2\text{°C}$$

→ La temperatura final de la mezcla es aproximadamente 77.2°C

1. Conversión de unidades — Convierte el área y el espesor a metros cuadrados y metros respectivamente.
   $$A=1{\text{cm}}^2=1\times {10}^{-4}{\text{m}}^2$$
2. Diferencia de temperatura — Calcula la diferencia de temperatura entre la mano y el hielo.
   $$\mathrm{\Delta }T=T_{mano}-T_{hielo}=36-0=36\text{K}$$
3. Aplicación de la ley de Fourier — Usa la fórmula de conducción térmica para calcular la tasa inicial de transferencia de calor.
   $$\frac{dQ}{dt}=k\cdot A\cdot \frac{\mathrm{\Delta }T}{e}$$
4. Cálculo numérico — Sustituye los valores y calcula la tasa de transferencia de calor.
   $$\frac{dQ}{dt}=0.37\cdot (1\times {10}^{-4})\cdot \frac{36}{2\times {10}^{-3}}$$

$$\frac{dQ}{dt}\approx 0.666\text{W}$$

→ La tasa inicial de transferencia de calor es aproximadamente 0.666 W

1. Energía para calentar el agua — Calcula el calor necesario para elevar la temperatura del agua desde 20°C hasta el punto de ebullición en cada ciudad.
   $$Q_{calentar}=m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot (T_{eb}-T_{inicial})$$
2. Energía para vaporizar el agua — Calcula el calor necesario para vaporizar el agua en cada ciudad usando el calor latente correspondiente.
   $$Q_{vaporizar}=m_{agua}\cdot L_v$$
3. Energía total en cada ciudad — Suma el calor para calentar y para vaporizar en cada ciudad.
   $$Q_{total}=Q_{calentar}+Q_{vaporizar}$$
4. Diferencia de energía — Resta la energía total de Concepción menos la energía total de Santiago para encontrar la diferencia.
   $$\mathrm{\Delta }Q=Q_{total,Concepcion}-Q_{total,Santiago}$$

$$\mathrm{\Delta }Q\approx 2000\text{J}$$

→ Se necesita aproximadamente 2000 J más de energía en Concepción que en Santiago para hervir la misma cantidad de agua

1. Ecuación de equilibrio térmico — Escribe la ecuación que iguala el calor cedido por el horno con el calor absorbido por el pan.
   $$m_{horno}\cdot c_{barro}\cdot (T_{horno}-T_{final})=m_{pan}\cdot c_{pan}\cdot (T_{final}-T_{pan})$$
2. Resolución algebraica — Despeja $T_{f}inal$ de la ecuación de equilibrio térmico.
   $$T_{final}=\frac{m_{horno}\cdot c_{barro}\cdot T_{horno}+m_{pan}\cdot c_{pan}\cdot T_{pan}}{m_{horno}\cdot c_{barro}+m_{pan}\cdot c_{pan}}$$
3. Cálculo numérico — Sustituye los valores y calcula la temperatura final de equilibrio.
   $$T_{final}=\frac{10000\cdot 0.84\cdot 200+5000\cdot 3.35\cdot 20}{10000\cdot 0.84+5000\cdot 3.35}$$

$$T_{final}\approx 142.9\text{°C}$$

→ La temperatura final de equilibrio es aproximadamente 142.9°C

1. Masa de agua — Convierte el volumen de agua a masa usando la densidad del agua.
   $$m_{agua}=V_{agua}\cdot {\rho }_{agua}=500\text{g}$$
2. Equilibrio térmico con cobre — Escribe y resuelve la ecuación de equilibrio térmico para la olla de cobre.
   $$m_{cobre}\cdot c_{cobre}\cdot (100-T_{final,cobre})=m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot (T_{final,cobre}-20)$$
3. Equilibrio térmico con aluminio — Escribe y resuelve la ecuación de equilibrio térmico para la olla de aluminio.
   $$m_{aluminio}\cdot c_{aluminio}\cdot (100-T_{final,aluminio})=m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot (T_{final,aluminio}-20)$$
4. Comparación de resultados — Analiza cuál temperatura final es menor y explica por qué.
   $$T_{final,cobre}<T_{final,aluminio}$$

$$T_{final,cobre}\approx 24.8\text{°C},T_{final,aluminio}\approx 27.3\text{°C}$$

→ Con la olla de cobre la temperatura final es aproximadamente 24.8°C, mientras que con la de aluminio es aproximadamente 27.3°C

1. Masa de agua — Convierte el volumen de agua a masa usando la densidad del agua.
   $$m_{agua}=V_{agua}\cdot {\rho }_{agua}=100\text{g}$$
2. Ecuación de equilibrio térmico — El calor cedido por el agua es igual al calor absorbido por el mercurio.
   $$m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot (100-T_{final})=m_{mercurio}\cdot c_{mercurio}\cdot (T_{final}-20)$$
3. Resolución algebraica — Despeja $T_{f}inal$ de la ecuación de equilibrio térmico.
   $$T_{final}=\frac{m_{agua}\cdot c_{agua}\cdot 100+m_{mercurio}\cdot c_{mercurio}\cdot 20}{m_{agua}\cdot c_{agua}+m_{mercurio}\cdot c_{mercurio}}$$
4. Cálculo numérico — Sustituye los valores y calcula la temperatura final del mercurio.
   $$T_{final}=\frac{100\cdot 4.18\cdot 100+20\cdot 0.14\cdot 20}{100\cdot 4.18+20\cdot 0.14}$$

$$T_{final}\approx 98.3\text{°C}$$

→ La temperatura final del mercurio es aproximadamente 98.3°C

1. Energía solar total incidente — Calcula la energía solar total que incide sobre el calentador en 4 horas.
   $$E_{total}=I\cdot A\cdot t=800\cdot 2\cdot (4\times 3600)$$
2. Energía útil convertida en calor — Aplica la eficiencia para encontrar cuánta energía se convierte en calor útil.
   $$Q_{util}=\eta \cdot E_{total}$$
3. Aumento de temperatura — Usa la ecuación del calor para encontrar el aumento de temperatura del calentador.
   $$Q_{util}=m_{acero}\cdot c_{acero}\cdot \mathrm{\Delta }T$$
4. Cálculo numérico — Despeja ΔT y calcula el aumento de temperatura.
   $$\mathrm{\Delta }T=\frac{Q_{util}}{m_{acero}\cdot c_{acero}}$$

$$\mathrm{\Delta }T\approx 29.8\text{°C}$$

→ La temperatura del calentador aumenta aproximadamente 29.8°C

1. Calor total perdido por la nevera — Calcula la energía total que pierde la nevera en 2 horas debido a la diferencia de temperatura con el exterior.
   $$Q_{perdido}=P\cdot t=50\cdot (2\times 3600)$$
2. Masa de hielo derretido — Usa el calor latente de fusión para calcular cuánto hielo se derrite con esa energía.
   $$m_{derretido}=\frac{Q_{perdido}}{L_f}$$

$$m_{derretido}\approx 1072\text{g}$$

→ Se derriten aproximadamente 1072 g de hielo en las primeras 2 horas