Cómo viaja el sonido: ejercicios con ejemplos de Chile

1. Velocidad del sonido a 20 °C — Primero calculamos la velocidad del sonido en aire a 20 °C usando la fórmula que relaciona la temperatura con la velocidad.
   $$v=v_0+k\cdot T=331\text{ m/s}+0.6\text{ m/s}\cdot °\text{C}\times 20°\text{C}$$
2. Cálculo de la velocidad — Sustituimos los valores y calculamos la velocidad exacta del sonido en esas condiciones.
   $$v=331+0.6\times 20=331+12=343\text{ m/s}$$
3. Distancia a la tormenta — Ahora usamos la velocidad calculada para encontrar la distancia a la que se encuentra la tormenta.
   $$d=v\times t=343\text{ m/s}\times 5\text{ s}$$
4. Resultado final — Multiplicamos para obtener la distancia en metros y luego la convertimos a kilómetros.
   $$d=1715\text{ m}=1.715\text{ km}$$

$$1.715\text{ km}$$

→ La tormenta se encuentra a 1.715 kilómetros de distancia.

1. Tiempo de ida y vuelta — El tiempo de 4 segundos incluye el viaje de ida a la pared y el regreso del sonido.
   $$t_{total}=4\text{ s}$$
2. Distancia total recorrida — Calculamos la distancia total que recorre el sonido en esos 4 segundos.
   $$d_{total}=v\times t_{total}=340\text{ m/s}\times 4\text{ s}$$
3. Distancia real a la pared — Como el sonido viajó ida y vuelta, dividimos entre 2 para obtener la distancia a la pared.
   $$d=\frac{d_{total}}{2}=\frac{1360}{2}=680\text{ m}$$

$$680\text{ m}$$

→ La pared de roca se encuentra a 680 metros de distancia.

1. Relación entre magnitudes — Usamos la fórmula que relaciona velocidad, longitud de onda y frecuencia del sonido.
   $$v=\lambda \cdot f$$
2. Despeje de la longitud de onda — Despejamos λ para calcularla directamente.
   $$\lambda =\frac{v}{f}$$
3. Sustitución de valores — Reemplazamos los valores conocidos en la fórmula.
   $$\lambda =\frac{343\text{ m/s}}{250\text{ Hz}}$$
4. Cálculo final — Realizamos la división para obtener la longitud de onda.
   $$\lambda =1.372\text{ m}$$

$$1.372\text{ m}$$

→ La longitud de onda de la voz es de 1.372 metros.

1. Velocidad a 10 °C — Calculamos la velocidad del sonido a la nueva temperatura.
   $$v_{10}=v_{20}-k\cdot (T_{20}-T_{10})=343-0.6\times (20-10)$$
2. Cálculo de $v_{1}0$ — Realizamos la operación para obtener la velocidad exacta.
   $$v_{10}=343-0.6\times 10=343-6=337\text{ m/s}$$
3. Relación velocidad-frecuencia — Como la longitud de onda λ es constante (el bombo no cambia), usamos $v=\lambda \cdot f$. Despejamos la nueva frecuencia.
   $$f_{10}=f_{20}\times \frac{v_{10}}{v_{20}}$$
4. Cálculo de la frecuencia — Sustituimos los valores para encontrar la frecuencia a 10 °C.
   $$f_{10}=80\times \frac{337}{343}=80\times 0.9825=78.6\text{ Hz}$$

$$78.6\text{ Hz}$$

→ El bombo mapuche sonará a 78.6 Hz, es decir, más grave que a 20 °C.

1. Distancia total recorrida — Calculamos la distancia total que recorre el sonido en el agua.
   $$d_{total}=v_{agua}\times t_{eco}=1500\text{ m/s}\times 0.4\text{ s}$$
2. Cálculo de distancia total — Realizamos la multiplicación para obtener la distancia total.
   $$d_{total}=600\text{ m}$$
3. Profundidad real — Como el sonido viajó al fondo y volvió, dividimos entre 2 para obtener la profundidad.
   $$h=\frac{d_{total}}{2}=\frac{600}{2}=300\text{ m}$$

$$300\text{ m}$$

→ La profundidad del mar es de 300 metros.

1. Conversión de unidades — Convertimos la velocidad del jugador de km/h a m/s para que sea compatible con las unidades de la velocidad del sonido.
   $$v_j=10\text{ km/h}=10\times \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}}=2.778\text{ m/s}$$
2. Aplicación del efecto Doppler — Usamos la fórmula del efecto Doppler para un receptor que se acerca a la fuente.
   $$f^{\prime }=f_0\times \frac{v}{v-v_j}$$
3. Sustitución de valores — Reemplazamos los valores conocidos en la fórmula.
   $$f^{\prime }=220\times \frac{343}{343-2.778}$$
4. Cálculo final — Realizamos la operación para obtener la frecuencia percibida por el jugador.
   $$f^{\prime }=220\times \frac{343}{340.222}=220\times 1.0082=221.8\text{ Hz}$$

$$221.8\text{ Hz}$$

→ El jugador percibirá una frecuencia de 221.8 Hz, ligeramente más aguda que el sonido original.

1. Tiempo entre ecos — Calculamos el tiempo entre cada eco, asumiendo que son iguales.
   $$t_{entre}=\frac{t_{total}}{n}=\frac{0.5}{3}=0.1667\text{ s}$$
2. Tiempo acumulado para cada eco — El primer eco se escucha después de $t_1=2\times d_1/v$, el segundo después de $t_2=2\times d_2/v$, etc.
   $$t_1=0.1667\text{ s},t_2=0.3333\text{ s},t_3=0.5\text{ s}$$
3. Cálculo de distancias — Usamos la fórmula $d=(v\times t)/2$ para cada tiempo de eco.
   $$d_1=\frac{340\times 0.1667}{2}=28.33\text{ m}$$
4. Distancias restantes — Calculamos las distancias para los otros dos ecos.
   $$d_2=\frac{340\times 0.3333}{2}=56.66\text{ m},d_3=\frac{340\times 0.5}{2}=85\text{ m}$$

$$d_1=28.33\text{ m},d_2=56.66\text{ m},d_3=85\text{ m}$$

→ Las paredes se encuentran a 28.33 m, 56.66 m y 85 m de distancia respectivamente.

1. Conversión de unidades — Convertimos la distancia de kilómetros a metros.
   $$d=12\text{ km}=12\times 1000=12000\text{ m}$$
2. Cálculo del tiempo — Aplicamos la fórmula del tiempo usando la velocidad del sonido.
   $$t=\frac{d}{v}=\frac{12000}{340}$$
3. Resultado final — Realizamos la división para obtener el tiempo en segundos.
   $$t=35.29\text{ s}$$

$$35.3\text{ s}$$

→ El sonido tardará aproximadamente 35.3 segundos en llegar de Valparaíso a Viña del Mar.

1. Fórmula de velocidad-temperatura — Aplicamos la relación entre velocidad del sonido y temperatura.
   $$v=v_0+k\cdot T$$
2. Sustitución de valores — Reemplazamos los valores conocidos en la fórmula.
   $$v=331+0.6\times 40$$
3. Cálculo final — Realizamos la operación para obtener la velocidad exacta.
   $$v=331+24=355\text{ m/s}$$

$$355\text{ m/s}$$

→ La velocidad del sonido en el desierto de Atacama a 40 °C es de 355 m/s.

1. Conversión de unidades — Convertimos el espesor de centímetros a metros.
   $$d=10\text{ cm}=0.1\text{ m}$$
2. Tiempo en acero — Calculamos el tiempo que tarda el sonido en atravesar la pared de acero.
   $$t_{acero}=\frac{d}{v_{acero}}=\frac{0.1}{5100}$$
3. Cálculo de $t_{a}cero$ — Realizamos la división para obtener el tiempo exacto.
   $$t_{acero}=0.0000196\text{ s}$$
4. Tiempo en hormigón — Calculamos el tiempo que tarda el sonido en atravesar la pared de hormigón.
   $$t_{hormigon}=\frac{d}{v_{hormigon}}=\frac{0.1}{3600}$$
5. Cálculo de $t_{h}ormigon$ — Realizamos la división para obtener el tiempo exacto.
   $$t_{hormigon}=0.0000278\text{ s}$$
6. Comparación con el tiempo mínimo — Verificamos cuál material cumple con el requisito de tiempo mínimo.
   $$t_{acero}=0.0000196<0.01\text{ s},t_{hormigon}=0.0000278<0.01\text{ s}$$

$$\text{Acero: }0.0000196\text{ s},\text{Hormigón: }0.0000278\text{ s}$$

→ Ambos materiales cumplen el requisito, pero el acero es más eficiente. El tiempo en acero es 0.0000196 s y en hormigón es 0.0000278 s.

1. Relación velocidad-longitud de onda — Aplicamos la fórmula que relaciona velocidad, longitud de onda y frecuencia.
   $$v=\lambda \cdot f$$
2. Despeje de la longitud de onda — Despejamos λ para calcularla directamente.
   $$\lambda =\frac{v}{f}$$
3. Sustitución de valores — Reemplazamos los valores conocidos en la fórmula.
   $$\lambda =\frac{340}{300}$$
4. Cálculo final — Realizamos la división para obtener la longitud de onda.
   $$\lambda =1.133\text{ m}$$

$$1.133\text{ m}$$

→ La longitud de onda de la voz es de 1.133 metros.