¿Por qué los imanes se atraen? Descúbrelo con ejercicios en Chile

1. Observación inicial — Sofía tiene dos imanes sin marcar. Al acercarlos entre sí, nota que a veces se atraen y otras veces se rechazan. Esto indica que tienen polos magnéticos opuestos o iguales.
2. Uso del campo magnético terrestre — Suspende uno de los imanes de un hilo fino (puede ser un hilo de coser) y déjalo colgar libremente. El imán se alineará con el campo magnético terrestre, apuntando aproximadamente hacia el norte geográfico.
   $$N_{\text{imán}}\to \text{Norte geográfico}(polosurmagn\text{é}ticoterrestre)$$
3. Identificación de polos — Marca el extremo del imán que apunta al norte como polo sur magnético (porque atrae al polo norte geográfico). El otro extremo será el polo norte magnético.
4. Verificación con el segundo imán — Acerca el segundo imán al primero. Si se atraen, los polos enfrentados son opuestos. Si se repelen, son del mismo tipo.
   $$F_{\text{atracción}}>0\text{si polos opuestos}$$

→ Marca el extremo que apunta al norte geográfico como polo sur magnético del imán. Usa esta referencia para identificar los polos del segundo imán por atracción o repulsión.

1. Campo magnético de un conductor rectilíneo — Los rieles del Metro transportan corriente eléctrica. Un conductor rectilíneo genera un campo magnético circular alrededor de él.
   $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$
2. Cálculo en el punto medio — Para encontrar el campo magnético en el punto medio entre los dos rieles (donde está la brújula de Benjamín), considera la contribución de ambos rieles.
   $$B_{\text{total}}=B_1+B_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi (d/2)}+\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi (d/2)}=\frac{2{\mu }_{0}I}{\pi d}$$
3. Sustitución de valores — Usa la constante de permeabilidad magnética μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A y sustituye los valores conocidos.
   $$B_{\text{total}}=\frac{2\times 4\pi \times {10}^{-7}\times 1000}{\pi \times 1.6}=5\times {10}^{-4}\text{ T}$$
4. Comparación con el campo terrestre — El campo magnético generado por los rieles (5 × 10⁻⁴ T) es aproximadamente 10 veces mayor que el campo magnético terrestre (5 × 10⁻⁵ T).
   $$B_{\text{riel}}\gg B_{\text{tierra}}$$

$$B_{\text{riel}}=5\times {10}^{-4}\text{ T}$$

→ El campo magnético generado por los rieles del Metro (5 × 10⁻⁴ teslas) es mucho más intenso que el campo magnético terrestre, haciendo que la brújula de Benjamín se desvíe.

1. Cálculo del peso del bloque — El peso del bloque de hierro es la fuerza que el imán debe superar para levantarlo.
   $$P=m_{\text{bloque}}\times g$$
2. Sustitución de valores — Multiplica la masa del bloque por la aceleración gravitatoria para obtener su peso.
   $$P=150\text{ kg}\times 9.8{\text{ m/s}}^2=1470\text{ N}$$
3. Fuerza magnética mínima — Para que el bloque comience a levantarse, la fuerza magnética debe ser al menos igual al peso del bloque.
   $$F_{\text{mínima}}=P=1470\text{ N}$$
4. Verificación con capacidad del imán — El imán puede levantar hasta 200 kg, lo que equivale a una fuerza de 200 × 9.8 = 1960 N. Como 1470 N < 1960 N, el imán puede levantar el bloque de 150 kg.
   $$F_{\text{máxima}}=200\times 9.8=1960\text{ N}>F_{\text{mínima}}$$

$$F_{\text{mínima}}=1470\text{ N}$$

→ El imán debe ejercer una fuerza magnética mínima de 1470 newtons para levantar el bloque de hierro de 150 kg.

1. Fórmula del campo magnético — El campo magnético generado por un cable rectilíneo por el que circula una corriente I a una distancia r está dado por la ley de Ampère.
   $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$
2. Cálculo a 1 metro — Sustituye los valores conocidos para encontrar el campo magnético a 1 metro de distancia.
   $$B=\frac{4\pi \times {10}^{-7}\times 10}{2\pi \times 1}=2\times {10}^{-6}\text{ T}$$
3. Cálculo a 2 metros — Ahora calcula el campo magnético a 2 metros de distancia. Observa cómo cambia el valor.
   $$B^{\prime }=\frac{4\pi \times {10}^{-7}\times 10}{2\pi \times 2}=1\times {10}^{-6}\text{ T}$$
4. Relación entre distancia y campo — El campo magnético es inversamente proporcional a la distancia. Al duplicar la distancia, el campo se reduce a la mitad.
   $$B^{\prime }=\frac{B}{2}$$

$$B=2\times {10}^{-6}\text{ T},B^{\prime }=1\times {10}^{-6}\text{ T}$$

→ A 1 metro de distancia, el campo magnético es 2 × 10⁻⁶ teslas. A 2 metros, es 1 × 10⁻⁶ teslas. El campo magnético disminuye a la mitad cuando se duplica la distancia.

1. Relación de fuerzas — La fuerza magnética entre dos polos es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
   $$F\propto \frac{1}{r^2}$$
2. Expresión de la fuerza — Escribe la relación entre las fuerzas en términos de las distancias.
   $$\frac{F_2}{F_1}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2$$
3. Sustitución de valores — Sustituye los valores conocidos y resuelve para F₂.
   $$F_2=F_1\times {\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2=2\times {\left(\frac{5}{2}\right)}^2=2\times \frac{25}{4}=12.5\text{ N}$$
4. Verificación de unidades — Asegúrate de que todas las distancias estén en las mismas unidades (aquí usamos cm, pero como es una razón, no afecta el resultado).

$$F_2=12.5\text{ N}$$

→ La fuerza magnética entre los dos imanes será de 12.5 newtons cuando estén separados por 2 cm.

1. Cálculo del momento magnético total — Primero, calcula el momento magnético total de la partícula usando su masa y el momento magnético específico de la magnetita.
   $$m_{\text{total}}=0.02{\text{ A·m}}^2\text{/kg}\times 0.5\times {10}^{-3}\text{ kg}=1\times {10}^{-5}{\text{ A·m}}^2$$
2. Fuerza magnética — La fuerza magnética sobre la partícula en un campo magnético uniforme es el producto del momento magnético y el campo magnético.
   $$F_{\text{mag}}=m_{\text{total}}\times B$$
3. Sustitución de valores — Multiplica el momento magnético total por el campo magnético para obtener la fuerza.
   $$F_{\text{mag}}=1\times {10}^{-5}\times 0.8=8\times {10}^{-6}\text{ N}$$
4. Fuerza peso — Calcula el peso de la partícula para comparar con la fuerza magnética.
   $$F_{\text{peso}}=m\times g=0.5\times {10}^{-3}\times 9.8=4.9\times {10}^{-3}\text{ N}$$
5. Comparación de fuerzas — La fuerza magnética (8 × 10⁻⁶ N) es mucho menor que el peso de la partícula (4.9 × 10⁻³ N). Por lo tanto, la partícula no se moverá significativamente.
   $$F_{\text{mag}}\ll F_{\text{peso}}$$

$$F_{\text{mag}}=8\times {10}^{-6}\text{ N},F_{\text{peso}}=4.9\times {10}^{-3}\text{ N}$$

→ La fuerza magnética sobre la partícula de magnetita es de 8 × 10⁻⁶ newtons, que es mucho menor que su peso (4.9 × 10⁻³ newtons), por lo que no se moverá significativamente.

1. Fuerza neta y aceleración — La fuerza magnética proporciona la aceleración necesaria para desviar la lata. Usa la segunda ley de Newton: F = m × a.
   $$a=\frac{F_{\text{máx}}}{m}$$
2. Cálculo de la aceleración — Convierte la masa a kilogramos y calcula la aceleración.
   $$a=\frac{0.1}{20\times {10}^{-3}}=5{\text{ m/s}}^2$$
3. Tiempo de interacción — La lata debe recorrer la distancia de 5 cm (0.05 m) mientras está bajo la influencia del imán. Usa la ecuación de movimiento para encontrar el tiempo.
   $$d=v_{\text{mínima}}\times t\Rightarrow t=\frac{d}{v_{\text{mínima}}}$$
4. Desviación necesaria — Para que la lata sea desviada, debe adquirir una velocidad perpendicular a su trayectoria inicial. La desviación mínima es aproximadamente igual a la distancia al imán (5 cm).
   $$v_{\text{perpendicular}}=a\times t$$
5. Cálculo de la velocidad mínima — Iguala la desviación a la distancia al imán y resuelve para vₘᵢₙ.
   $$d=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}a{\left(\frac{d}{v_{\text{mínima}}}\right)}^2$$
6. Resolución de la ecuación — Despeja vₘᵢₙ de la ecuación anterior.
   $$v_{\text{mínima}}=\sqrt{\frac{a\times d}{2}}=\sqrt{\frac{5\times 0.05}{2}}=\sqrt{0.125}\approx 0.35\text{ m/s}$$

$$v_{\text{mínima}}\approx 0.35\text{ m/s}$$

→ La lata de acero debe caer con una velocidad mínima de aproximadamente 0.35 metros por segundo para ser desviada por el imán.

1. Campo magnético resultante — El campo magnético total es la suma vectorial del campo terrestre y el campo de la roca. Si ambos tienen la misma magnitud y son perpendiculares, el campo resultante forma un ángulo de 45° con la dirección original.
   $$B_{\text{total}}=\sqrt{B_{\text{tierra}}^2+B_{\text{roca}}^2}=\sqrt{{(5\times {10}^{-5})}^2+{(5\times {10}^{-5})}^2}=5\sqrt{2}\times {10}^{-5}\text{ T}$$
2. Ángulo de desviación — El ángulo θ entre el campo terrestre original y el campo resultante se calcula usando la tangente inversa.
   $$\theta =\arctan \left(\frac{B_{\text{roca}}}{B_{\text{tierra}}}\right)$$
3. Sustitución de valores — Como ambos campos tienen la misma magnitud, el ángulo es de 45 grados.
   $$\theta =\arctan (1)=45°$$
4. Verificación — Si los campos no son perpendiculares, la desviación será menor. Pero en el peor caso, la brújula se desvía 45° de su orientación original.

$$\theta =45°$$

→ La brújula se desviará 45 grados de su orientación original debido al campo magnético de la roca volcánica, que tiene la misma magnitud que el campo magnético terrestre en esa zona.