¿Por qué te cansas al subir escaleras? Descubre el trabajo y la

1. Identificar dirección de fuerzas — La fuerza gravitatoria ($F_g=m\cdot g$) siempre apunta hacia el centro de la Tierra (hacia abajo). Tu desplazamiento al subir es hacia arriba. Por lo tanto, la gravedad realiza trabajo negativo porque su dirección es opuesta al movimiento.
2. Calcular altura total — La altura total es el número de escalones multiplicado por la altura de cada uno.
   $$h=120\times 0.18\text{m}=21.6\text{m}$$
3. Aplicar fórmula de trabajo — El trabajo realizado por la gravedad se calcula con $W=F\cdot d\cdot \cos (\theta )$. Aquí $F=m\cdot g$, $d=h$, y $\theta =180°$ porque la fuerza y el desplazamiento son opuestos.
   $$W=m\cdot g\cdot h\cdot \cos (180°)=55\text{kg}\times 9.81{\text{m/s}}^2\times 21.6\text{m}\times (-1)$$
4. Resultado final — Sustituye los valores y calcula el trabajo. Recuerda que el resultado será negativo porque la gravedad "frena" tu subida.
   $$W=-11653.92\text{J}\approx -11.7\text{kJ}$$

$$W=-1.17\times {10}^4\text{J}$$

→ El trabajo realizado por la gravedad es aproximadamente -11 700 J (negativo porque se opone al movimiento).

1. Altura total — Multiplica el número de pisos subidos por la altura de cada piso.
   $$h=49\times 3.5\text{m}=171.5\text{m}$$
2. Fórmula de energía potencial — La energía potencial gravitatoria depende de la masa, la gravedad y la altura.
   $$E_p=m\cdot g\cdot h$$
3. Sustituir valores — Usa los datos dados para calcular el valor numérico.
   $$E_p=70\text{kg}\times 9.81{\text{m/s}}^2\times 171.5\text{m}$$
4. Resultado — Realiza la multiplicación final.
   $$E_p=117644.55\text{J}\approx 1.18\times {10}^5\text{J}$$

$$E_p=1.18\times {10}^5\text{J}$$

→ Ganas aproximadamente 118 000 J de energía potencial al llegar al piso 50.

1. Altura vertical — Calcula la altura ganada usando trigonometría.
   $$h=d\cdot \sin (\theta )=120\text{m}\times \sin (30°)=60\text{m}$$
2. Trabajo de la gravedad — El trabajo realizado por la gravedad es negativo porque se opone al movimiento.
   $$W_g=-m\cdot g\cdot h=-65\text{kg}\times 9.81{\text{m/s}}^2\times 60\text{m}=-38259\text{J}$$
3. Variación de energía cinética — Como parte del reposo, la energía cinética inicial es cero. La final es $\frac{1}{2}m{v}_f^2$.
   $$\mathrm{\Delta }{E}_c=E_{c,f}-E_{c,0}=\frac{1}{2}m{v}_f^2-0=\frac{1}{2}m{v}_f^2$$
4. Aplicar teorema trabajo-energía — El trabajo neto es igual a la variación de energía cinética.
   $$W_{neto}=\mathrm{\Delta }{E}_c\Rightarrow -38259\text{J}=\frac{1}{2}\times 65\text{kg}\times v_f^2$$
5. Resolver para velocidad final — Despeja $v_f$ de la ecuación anterior.
   $$v_f=\sqrt{\frac{2\times |W_g|}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 38259}{65}}\approx 34.3\text{m/s}$$

$$v_f\approx 34.3\text{m/s}$$

→ La velocidad final del funicular al llegar arriba sería aproximadamente 34 m/s (122 km/h), pero en la realidad el rozamiento reduce esta velocidad drásticamente.

1. Trabajo al subir — El estudiante gana altura, así que la gravedad realiza trabajo negativo.
   $$W_{subir}=-m\cdot g\cdot h=-60\text{kg}\times 9.81{\text{m/s}}^2\times 15\text{m}=-8829\text{J}$$
2. Trabajo al bajar — Al bajar, el desplazamiento es hacia abajo y la gravedad hacia abajo, así que el trabajo es positivo.
   $$W_{bajar}=m\cdot g\cdot h=60\text{kg}\times 9.81{\text{m/s}}^2\times 15\text{m}=8829\text{J}$$
3. Trabajo neto total — Suma los trabajos de subir y bajar.
   $$W_{total}=W_{subir}+W_{bajar}=-8829\text{J}+8829\text{J}=0\text{J}$$
4. Potencia media — La potencia es el trabajo total dividido por el tiempo total. Como el trabajo neto es cero, la potencia neta también lo es. Pero si consideramos solo el esfuerzo muscular (trabajo positivo al subir), ¿qué valor obtienes?
   $$P_{media}=\frac{|W_{subir}|}{t_{total}}=\frac{8829\text{J}}{60\text{s}}=147.15\text{W}$$

$$W_{subir}=-8.83\text{kJ},W_{bajar}=+8.83\text{kJ},P_{media}=147\text{W}$$

→ a) Trabajo al subir: -8 829 J, b) Trabajo al bajar: +8 829 J, c) Potencia media desarrollada: 147 W (considerando solo el esfuerzo al subir).

1. Masa total por persona — Suma la masa del cuerpo y la mochila para cada persona.
   $$m_{total}=70\text{kg}+8\text{kg}=78\text{kg}$$
2. Trabajo total del grupo — El trabajo es la fuerza (peso total) por la altura. Multiplica por el número de personas.
   $$W_{total}=n_{personas}\times m_{total}\times g\times h=4\times 78\text{kg}\times 9.81{\text{m/s}}^2\times 90\text{m}=274687.2\text{J}$$
3. Fuerza media por persona — La fuerza media se calcula como trabajo dividido por distancia (no por altura).
   $$F_{media}=\frac{W_{total}}{d\times n_{personas}}=\frac{274687.2\text{J}}{450\text{m}\times 4}=152.6\text{N}$$
4. Conversión a kcal — Convierte el trabajo total a kilocalorías usando la equivalencia dada.
   $$E_{kcal}=\frac{W_{total}}{conversio{n}_{kcal\_J}}=\frac{274687.2\text{J}}{4200\text{J/kcal}}=65.4\text{kcal}$$
5. Costo en $CLP — Convierte las kcal a kWh y multiplica por el precio de la energía. 1 kWh = 860 kcal.
   E_{kWh} = \frac{65.4\ \text{kcal}}{860\ \text{kcal/kWh}} = 0.076\ \text{kWh} \\ costo = 0.076\ \text{kWh} \times 120\ \text{$CLP/kWh} = 9.12\ \text{$CLP} ParseError: Expected '$', got 'EOF' at position 133: … \text{$CLP/kWh}̲ = 9.12\ \text{…

\boxed{W_{total} = 2.75 \times 10^5\ \text{J},\ F_{media} = 153\ \text{N},\ costo = 9\ \text{$CLP}} ParseError: Expected '$', got 'EOF' at position 98: …= 9\ \text{$CLP}̲}

→ a) Trabajo total del grupo: 275 000 J, b) Fuerza media por persona: 153 N, c) Costo en energía: aproximadamente 9 $CLP (¡menos que un café en Puerto Natales!).

1. Energía cinética constante — Como la velocidad es constante, la energía cinética inicial y final son iguales: $\mathrm{\Delta }{E}_c=0$.
   $$\mathrm{\Delta }{E}_c=\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2=0$$
2. Teorema trabajo-energía — El trabajo neto realizado sobre el sistema es igual a la suma de las variaciones de energía cinética y potencial.
   $$W_{neto}=\mathrm{\Delta }{E}_c+\mathrm{\Delta }{E}_p$$
3. Sustituir valores — Como $\mathrm{\Delta }{E}_c=0$, el trabajo neto es igual a la variación de energía potencial.
   $$W_{neto}=0+\mathrm{\Delta }{E}_p=\mathrm{\Delta }{E}_p$$
4. Trabajo del motor — El motor del ascensor realiza trabajo positivo para aumentar la energía potencial del sistema. Como no hay rozamiento, este trabajo es igual al aumento de energía potencial.
   $$W_{motor}=\mathrm{\Delta }{E}_p=m\cdot g\cdot \mathrm{\Delta }h$$
5. Conclusión — Por lo tanto, en un ascensor que sube con velocidad constante (sin rozamiento), el trabajo del motor es igual al aumento de energía potencial gravitatoria del sistema.
   $$W_{motor}=m\cdot g\cdot \mathrm{\Delta }h$$

→ El trabajo realizado por el motor del ascensor es igual al aumento de energía potencial gravitatoria del sistema, ya que la energía cinética no cambia (velocidad constante) y no hay rozamiento.