¿Por qué tu sombra a veces parece gigante? Descúbrelo con luz y S

1. Esquema inicial — Haz un dibujo rápido de un estudiante parado verticalmente. La luz del sol llega desde un ángulo, creando una sombra en el suelo. Observa que se forman dos triángulos rectángulos: uno con la altura del estudiante y su sombra, y otro con la altura del sol (que es muy grande) y la distancia a la Tierra.
2. Proporción de triángulos — Los triángulos formados por el estudiante-sombra y el sol-sombra son semejantes porque comparten el mismo ángulo de luz solar. Por lo tanto, la proporción entre altura y sombra se mantiene igual.
   $$\frac{h_1}{s_1}=\frac{h_2}{s_2}$$
3. Cálculo de la sombra al mediodía — Al mediodía, el sol está directamente arriba (90°), lo que significa que la sombra debería ser mínima. En teoría, debería ser casi cero porque la luz llega perpendicularmente al suelo. Sin embargo, en la práctica, siempre hay una pequeña sombra debido a la altura del estudiante y la dispersión de la luz.
   $$s_2\approx 0\text{ m}$$

$$s_2\approx 0\text{m}$$

→ La sombra al mediodía sería aproximadamente de 0 metros (o unos pocos centímetros debido a la altura del estudiante).

1. Proporción de sombras — Como ambos objetos (árbol y niño) están bajo la misma fuente de luz (el sol), los triángulos formados son proporcionales. La relación entre altura y sombra se mantiene constante.
   $$\frac{H}{S}=\frac{h}{s}$$
2. Despejar la incógnita — Para encontrar la sombra del niño, multiplicamos en cruz y despejamos s.
   $$s=\frac{h\times S}{H}$$
3. Cálculo final — Sustituye los valores conocidos y calcula la longitud de la sombra del niño.
   $$s=\frac{1.4\times 25}{15}=\frac{35}{15}\approx 2.33\text{ m}$$

$$s=2.33\text{m}$$

→ La sombra del niño medirá aproximadamente 2,3 metros de largo.

1. Relación de proporcionalidad — La relación entre la altura de cualquier objeto y su sombra es constante cuando la luz solar es la misma.
   $$\frac{H_{\text{torre}}}{S_{\text{torre}}}=\frac{h_{\text{bus}}}{s_{\text{bus}}}$$
2. Cálculo de la sombra del bus — Despeja $s_{b}us$ y sustituye los valores conocidos.
   $$s_{\text{bus}}=\frac{h_{\text{bus}}\times S_{\text{torre}}}{H_{\text{torre}}}$$
3. Resultado numérico — Realiza la operación para obtener la longitud de la sombra del bus.
   $$s_{\text{bus}}=\frac{3\times 180}{127}\approx 4.25\text{ m}$$

$$s_{\text{bus}}=4.25\text{m}$$

→ La sombra del bus del Transantiago medirá aproximadamente 4,25 metros de largo.

1. Verificación de la constante — Calcula la relación altura/sombra para Sofía y Matías para confirmar que es constante.
   $$k=\frac{h_1}{s_1}=\frac{1.1}{2.2}=0.5\text{y}k=\frac{h_2}{s_2}=\frac{1.4}{2.8}=0.5$$
2. Cálculo de la altura de Lucas — Como la constante k es la misma, usa la sombra de Lucas para encontrar su altura.
   $$h_3=k\times s_3=0.5\times 3.5$$
3. Resultado final — Multiplica para obtener la altura de Lucas.
   $$h_3=1.75\text{ m}$$

$$h_3=1.75\text{m}$$

→ Lucas mediría aproximadamente 1,75 metros de altura.

1. Relación entre ángulo y sombra — El ángulo de elevación del sol (θ) se relaciona con la altura del objeto y la longitud de su sombra mediante la función tangente.
   $$\tan (\theta )=\frac{H}{s}$$
2. Cálculo para día nublado — Despeja θ para el día nublado usando la tangente inversa.
   $${\theta }_{\text{nublado}}=\arctan \left(\frac{2.5}{1.8}\right)$$
3. Cálculo para día soleado — Realiza el mismo cálculo para el día soleado.
   $${\theta }_{\text{sol}}=\arctan \left(\frac{2.5}{4.2}\right)$$
4. Interpretación de resultados — El ángulo en el día nublado será mayor porque la sombra es más corta, indicando que el sol estaba más alto en el cielo. En el día soleado, el ángulo será menor porque la sombra es más larga, indicando que el sol estaba más bajo.
   $${\theta }_{\text{nublado}}>{\theta }_{\text{sol}}$$

→ En día nublado, el ángulo del sol era aproximadamente 54,2° y en día soleado era aproximadamente 30,9°. La sombra es más larga cuando el sol está bajo en el cielo.

1. Condición para sombra igual a altura — Cuando la sombra es igual a la altura del objeto, el ángulo de elevación del sol es de 45° porque tan(45°) = 1.
   $$\tan (\theta )=\frac{H_{\text{faro}}}{s_{\text{objetivo}}}=\frac{12}{12}=1\Rightarrow \theta =45°$$
2. Hora aproximada en Valparaíso — En Valparaíso, durante el verano, el sol alcanza 45° de elevación aproximadamente a las 9:30 AM y a las 16:30 PM. En invierno, estos horarios cambian.
   $$9:30\text{AM}\le \text{hora}\le 16:30\text{PM}$$
3. Explicación física — Este fenómeno ocurre cuando el sol está a 45° sobre el horizonte, lo que divide el día en dos momentos simétricos: mañana y tarde.

→ La sombra del faro será igual a su altura (12 metros) aproximadamente entre las 9:30 AM y las 4:30 PM, dependiendo de la estación del año.

1. Cálculo del ángulo solar — Primero, calcula el ángulo de elevación del sol usando la sombra inicial.
   $$\tan (\theta )=\frac{h_{\text{jeep}}}{s_{\text{inicial}}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \theta =\arctan \left(\frac{2}{3}\right)$$
2. Orientación y sombra — Cuando el jeep gira 90°, su altura sigue siendo la misma, y el ángulo del sol no cambia. Por lo tanto, la longitud de la sombra seguirá siendo la misma, pero cambiará de dirección.
   $$s_{\text{final}}=s_{\text{inicial}}=3\text{m}$$
3. Explicación física — La longitud de la sombra depende únicamente de la altura del objeto y del ángulo del sol, no de la orientación del objeto. Solo cambia la dirección en la que se proyecta la sombra.

$$s_{\text{final}}=3\text{m}$$

→ La sombra del jeep seguirá midiendo 3 metros de largo, pero ahora apuntará hacia el oeste en lugar de hacia el sur.

1. Diferencia de altura — Calcula la diferencia de altura entre el volcán y el lago, que es la altura efectiva que proyecta la sombra.
   $$h_{\text{efectiva}}=H_{\text{volcán}}-h_{\text{lago}}=2847-1200=1647\text{m}$$
2. Relación de triángulos — La sombra en el lago forma un triángulo rectángulo donde la altura efectiva es un cateto y la longitud de la sombra es el otro cateto. La distancia real del grupo al lago es la hipotenusa de este triángulo.
   $$d=\sqrt{h_{\text{efectiva}}^2+s_{\text{sombra}}^2}$$
3. Cálculo final — Sustituye los valores y calcula la distancia.
   $$d=\sqrt{{1647}^2+{5000}^2}=\sqrt{\mathrm{2,713,609}+\mathrm{25,000,000}}=\sqrt{\mathrm{27,713,609}}\approx 5264\text{m}$$

$$d\approx 5264\text{m}$$

→ El grupo de montañistas se encuentra aproximadamente a 5.264 metros en línea recta del borde del lago Villarrica.

1. Cálculo del ángulo solar — Usa la altura y sombra del poste para encontrar el ángulo de elevación del sol.
   $$\tan (\theta )=\frac{h_{\text{poste}}}{s_{\text{poste}}}=\frac{6}{4}=1.5\Rightarrow \theta =\arctan (1.5)$$
2. Cálculo de la sombra del autobús — Usa el ángulo θ y la altura del autobús para encontrar su sombra.
   $$s_{\text{bus}}=\frac{h_{\text{bus}}}{\tan (\theta )}=\frac{3}{1.5}=2\text{m}$$
3. Explicación del resultado — La sombra del autobús es más corta que su altura porque el sol está alto en el cielo (ángulo mayor a 45°). La longitud del autobús no influye en el tamaño de la sombra, solo su altura.

$$s_{\text{bus}}=2\text{m}$$

→ La sombra del autobús medirá aproximadamente 2 metros de largo en ese instante.