Descubre los secretos de la mecánica cuántica con ejercicios en

1. Convertir longitud de onda a metros — La longitud de onda está dada en nanómetros. Convierte 632.8 nm a metros multiplicando por ${10}^{-9}$.
   $$\lambda =632.8\times {10}^{-9}\text{ m}$$
2. Calcular frecuencia — Usa la relación $c=\lambda \nu$ para encontrar la frecuencia del fotón.
   $$\nu =\frac{c}{\lambda }=\frac{3.00\times {10}^8\text{ m/s}}{632.8\times {10}^{-9}\text{ m}}$$
3. Calcular energía en julios — Aplica la fórmula $E=h\nu$ para obtener la energía del fotón en unidades del Sistema Internacional.
   $$E=h\nu =(6.626\times {10}^{-34}\text{ J·s})\times (4.74\times {10}^{14}\text{ Hz})$$
4. Convertir a electronvoltios — Divide la energía en julios entre la carga elemental para obtener el valor en eV.
   $$E=\frac{3.14\times {10}^{-19}\text{ J}}{1.602\times {10}^{-19}\text{ J/eV}}$$

$$E\approx 1.96\text{ eV}$$

→ La energía de cada fotón emitido es aproximadamente 1.96 eV.

1. Energías de los niveles — Calcula la energía del nivel $n=3$ y $n=2$ usando $E_n=-13.6/n^2$ eV.
   $$E_3=-\frac{13.6}{3^2}=-1.51\text{ eV},E_2=-\frac{13.6}{2^2}=-3.40\text{ eV}$$
2. Energía del fotón — La energía del fotón es la diferencia entre el nivel inicial y final (el electrón pierde energía).
   $$E_{\text{fotón}}=E_3-E_2=(-1.51)-(-3.40)=1.89\text{ eV}$$
3. Longitud de onda — Convierte la energía del fotón a longitud de onda usando $E=hc/\lambda$.
   $$\lambda =\frac{hc}{E}=\frac{(4.136\times {10}^{-15}\text{ eV·s})(3.00\times {10}^8\text{ m/s})}{1.89\text{ eV}}$$
4. Color de la luz — Compara la longitud de onda calculada con el espectro visible para identificar el color.
   $$\lambda \approx 656\text{ nm}\text{(luz roja)}$$

$$E_{\text{fotón}}=1.89\text{ eV},\lambda =656\text{ nm}$$

→ El fotón emitido tiene una energía de 1.89 eV y corresponde a luz roja con longitud de onda de 656 nm.

1. Expresión del principio de incertidumbre — Escribe la desigualdad con $\mathrm{\Delta }p=m\mathrm{\Delta }v$.
   $$\mathrm{\Delta }x\cdot (m\mathrm{\Delta }v)\ge \frac{\hslash }{2}$$
2. Despejar $\mathrm{\Delta }v$ — Resuelve para $\mathrm{\Delta }v$ usando el valor mínimo (igualdad).
   $$\mathrm{\Delta }v\ge \frac{\hslash }{2m\mathrm{\Delta }x}$$
3. Sustituir valores — Inserta los valores numéricos en la expresión.
   $$\mathrm{\Delta }v\ge \frac{1.055\times {10}^{-34}}{2\times 12000\text{ kg}\times 1\text{ m}}$$
4. Calcular y convertir unidades — Realiza el cálculo y convierte el resultado a mm/s.
   $$\mathrm{\Delta }v\ge 4.40\times {10}^{-39}\text{ m/s}=4.40\times {10}^{-36}\text{ mm/s}$$

$$\mathrm{\Delta }v\ge 4.4\times {10}^{-36}\text{ mm/s}$$

→ La incertidumbre mínima en la velocidad del bus es aproximadamente $4.4\times {10}^{-36}$ mm/s, un valor despreciable en la práctica.

1. Convertir energías a julios — Convierte las energías de eV a J para trabajar en unidades del SI.
   $$E=5.0\times 1.602\times {10}^{-19}=8.01\times {10}^{-19}\text{ J},V_0=7.0\times 1.602\times {10}^{-19}=1.12\times {10}^{-18}\text{ J}$$
2. Calcular $\kappa$ — Usa la fórmula $\kappa =\sqrt{2m_e(V_0-E)/{\hslash }^2}$ para encontrar el parámetro de decaimiento.
   $$\kappa =\sqrt{\frac{2\times 9.11\times {10}^{-31}\times (1.12\times {10}^{-18}-8.01\times {10}^{-19})}{{(1.055\times {10}^{-34})}^2}}$$
3. Calcular exponente — Multiplica $\kappa$ por el ancho de la barrera $a$ y multiplica por 2.
   $$2\kappa a=2\times 1.02\times {10}^{10}{\text{ m}}^{-1}\times 0.5\times {10}^{-9}\text{ m}=10.2$$
4. Probabilidad de transmisión — Calcula $T\approx e^{-2\kappa a}$ para obtener la probabilidad.
   $$T\approx e^{-10.2}\approx 3.6\times {10}^{-5}$$

$$T\approx 3.6\times {10}^{-5}$$

→ La probabilidad de que el electrón atraviese la barrera por efecto túnel es aproximadamente $3.6\times {10}^{-5}$ (0.0036%).

1. Expresión de probabilidad — Escribe la integral de probabilidad usando la función de onda dada.
   $$P={\int }_0^{a_0}|R_{10}(r){|}^{2}4\pi r^{2}dr={\int }_0^{a_0}{\left(2a_0^{-3/2}{e}^{-r/a_0}\right)}^{2}4\pi r^{2}dr$$
2. Simplificar integrando — Simplifica la expresión dentro de la integral.
   $$P=16\pi a_0^{-3}{\int }_0^{a_0}{r}^2{e}^{-2r/a_0}dr$$
3. Cambio de variable — Haz el cambio de variable $t=2r/a_0$ para simplificar la integral.
   $$P=16\pi a_0^{-3}{\left(\frac{a_0}{2}\right)}^3{\int }_0^2{t}^2{e}^{-t}dt=\pi {\int }_0^2{t}^2{e}^{-t}dt$$
4. Calcular integral — Usa la fórmula $\int t^2{e}^{-t}dt=-e^{-t}(t^2+2t+2)+C$ para evaluar entre 0 y 2.
   $$P=\pi [-e^{-2}(4+4+2)+e^0(0+0+2)]=\pi (2-10e^{-2})$$
5. Resultado numérico — Calcula el valor numérico de la probabilidad.
   $$P\approx \pi (2-10\times 0.1353)=\pi (2-1.353)=0.647\pi \approx 0.306$$

$$P\approx 0.306$$

→ La probabilidad de encontrar el electrón dentro de una esfera de radio $a_0$ es aproximadamente 30.6%.

1. Energía cinética — Calcula la energía cinética del electrón acelerado por la diferencia de potencial.
   $$E_c=eV=(1.602\times {10}^{-19}\text{ C})(100\text{ V})=1.602\times {10}^{-17}\text{ J}$$
2. Velocidad del electrón — Despeja la velocidad de la ecuación de energía cinética.
   $$v=\sqrt{\frac{2E_c}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\times 1.602\times {10}^{-17}}{9.11\times {10}^{-31}}}$$
3. Longitud de onda de De Broglie — Aplica la fórmula ${\lambda }_D=h/(mv)$ para obtener la longitud de onda.
   $${\lambda }_D=\frac{h}{m_{e}v}=\frac{6.626\times {10}^{-34}}{(9.11\times {10}^{-31})(5.93\times {10}^6)}$$
4. Convertir a nanómetros — Expresa el resultado en nanómetros para comparar con escalas atómicas.
   $${\lambda }_D\approx 1.23\times {10}^{-10}\text{ m}=0.123\text{ nm}$$

$${\lambda }_D\approx 0.123\text{ nm}$$

→ La longitud de onda de De Broglie del electrón acelerado es aproximadamente 0.123 nm.

1. Estado entrelazado inicial — Escribe el estado cuántico de los dos fotones entrelazados.
   $$|\mathrm{\Psi }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H{⟩}_A|V{⟩}_B-|V{⟩}_A|H{⟩}_B)$$
2. Medición en Santiago — Si el fotón en Santiago (A) se mide en el estado $|V⟩$, el estado colapsa según las reglas de la mecánica cuántica.
   $$|\mathrm{\Psi }⟩\to |V{⟩}_A|H{⟩}_B$$
3. Estado del fotón en Antofagasta — El fotón en Antofagasta (B) debe estar en el estado $|H⟩$ para conservar la normalización del estado cuántico.
   $$|{\psi }_B⟩=|H⟩$$
4. Aplicación en comunicaciones — Explica cómo este fenómeno permite la distribución de claves cuánticas: cualquier intento de interceptar los fotones rompe el entrelazamiento y es detectable.

$$|{\psi }_{\text{Antofagasta}}⟩=|H⟩$$

→ Si el fotón en Santiago se mide con polarización vertical, el fotón en Antofagasta tendrá polarización horizontal. Este entrelazamiento permite crear claves de cifrado cuántico donde cualquier intrusión es detectable.

1. Desigualdad para probabilidad — Escribe la condición $T>0.01$ usando la fórmula de efecto túnel.
   $$e^{-2\kappa a}>0.01\Rightarrow -2\kappa a>\ln (0.01)$$
2. Despejar $\kappa$ — Resuelve la desigualdad para $\kappa$.
   $$\kappa <-\frac{\ln (0.01)}{2a}=\frac{4.605}{2\times 0.3\times {10}^{-9}}=7.675\times {10}^9{\text{ m}}^{-1}$$
3. Expresión de $\kappa$ — Usa $\kappa =\sqrt{2m_e(V_0-E)/{\hslash }^2}$ y despeja $E$.
   $$V_0-E<\frac{{\hslash }^2{\kappa }^2}{2m_e}\Rightarrow E>V_0-\frac{{\hslash }^2{\kappa }^2}{2m_e}$$
4. Sustituir valores — Convierte todas las unidades a SI y calcula $E_{\text{min}}$.
   $$E_{\text{min}}>4.5\times 1.602\times {10}^{-19}-\frac{{(1.055\times {10}^{-34})}^2{(7.675\times {10}^9)}^2}{2\times 9.11\times {10}^{-31}}$$
5. Resultado en eV — Calcula el valor numérico y exprésalo en eV.
   $$E_{\text{min}}>7.21\times {10}^{-19}-3.47\times {10}^{-19}=3.74\times {10}^{-19}\text{ J}=2.34\text{ eV}$$

$$E_{\text{min}}\approx 2.34\text{ eV}$$

→ La energía mínima que debe tener el electrón para que la probabilidad de efecto túnel sea mayor al 1% es aproximadamente 2.34 eV.

1. Longitud de onda de la pelota — Aplica la fórmula de De Broglie a la pelota de tenis de mesa.
   $${\lambda }_{\text{pelota}}=\frac{h}{mv}=\frac{6.626\times {10}^{-34}}{(2.7\times {10}^{-3})(5)}$$
2. Energía cinética del electrón — Calcula la energía cinética del electrón acelerado por 100 V.
   $$E_c=eV=(1.602\times {10}^{-19})(100)=1.602\times {10}^{-17}\text{ J}$$
3. Velocidad del electrón — Encuentra la velocidad del electrón usando $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$.
   $$v=\sqrt{\frac{2E_c}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\times 1.602\times {10}^{-17}}{9.11\times {10}^{-31}}}$$
4. Longitud de onda del electrón — Calcula la longitud de onda de De Broglie para el electrón.
   $${\lambda }_{\text{electrón}}=\frac{h}{m_{e}v}=\frac{6.626\times {10}^{-34}}{(9.11\times {10}^{-31})(5.93\times {10}^6)}$$
5. Comparación — Discute por qué la longitud de onda de la pelota es demasiado pequeña para observar interferencia, mientras que la del electrón es comparable al tamaño atómico.
   $${\lambda }_{\text{pelota}}\approx 4.9\times {10}^{-32}\text{ m},{\lambda }_{\text{electrón}}\approx 0.123\text{ nm}$$

$${\lambda }_{\text{pelota}}\approx 4.9\times {10}^{-32}\text{ m},{\lambda }_{\text{electrón}}\approx 0.123\text{ nm}$$

→ La longitud de onda de De Broglie de la pelota es $4.9\times {10}^{-32}$ m (no observable), mientras que la del electrón es 0.123 nm (observable). Solo el electrón mostraría un patrón de interferencia en un experimento de doble rendija.