Domina la Física de Materia Condensada con Ejercicios Prácticos:

1. Volumen de la celda unitaria — Calcula el volumen de la celda unitaria cúbica usando el parámetro de red $a$.
   $$V_{\text{celda}}=a^3$$
2. Masa de la celda unitaria — Determina la masa de los átomos contenidos en una celda unitaria. Usa la masa molar $M$ y el número de Avogadro $N_A$.
   $$m_{\text{celda}}=\frac{n\cdot M}{N_A}$$
3. Densidad del cristal — La densidad es la masa de la celda unitaria dividida por su volumen. Convierte la masa a kilogramos para obtener la densidad en kg/m^{3} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0.
   $$\rho =\frac{m_{\text{celda}}}{V_{\text{celda}}}$$

$$8960{\text{kg/m}}^3$$

→ La densidad del cristal de cobre es aproximadamente 8960 kg/m^{3} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0.

1. Ley de Bragg — Escribe la ley de Bragg que relaciona la longitud de onda, el ángulo de difracción y la distancia interplanar.
   $$2d\sin \theta =n\lambda$$
2. Despeje de d — Despeja la distancia interplanar $d$ de la ecuación de Bragg.
   $$d=\frac{n\lambda }{2\sin \theta }$$
3. Cálculo numérico — Sustituye los valores numéricos y calcula $d$. Convierte el resultado a nanómetros.
   $$d=\frac{1\times 0.154\text{nm}}{2\times \sin (13.3°)}$$

$$0.335\text{nm}$$

→ La distancia entre planos atómicos en el grafito es aproximadamente 0.335 nm.

1. Densidad de electrones libres — Calcula el número de átomos por unidad de volumen y multiplica por el número de electrones de valencia por átomo.
   $$n=\frac{\rho N_A}{M}\times Z$$
2. Energía de Fermi — Usa la fórmula de la energía de Fermi para metales con gas de electrones libres. Convierte el resultado a eV (1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J).
   $$E_F=\frac{{\hslash }^2}{2m^{\ast }}{(3{\pi }^{2}n)}^{2/3}$$
3. Velocidad de Fermi — Calcula la velocidad de Fermi usando la energía de Fermi y la masa efectiva del electrón.
   $$v_F=\sqrt{\frac{2E_F}{m^{\ast }}}$$

$$E_F=11.7\text{eV},v_F=2.0\times {10}^6\text{m/s}$$

→ La energía de Fermi del aluminio es aproximadamente 11.7 eV y la velocidad de Fermi es aproximadamente 2.0 × 10⁶ m/s.

1. Conversión de temperatura crítica — Convierte la temperatura crítica de superconductividad de Kelvin a Celsius.
   $$T_{\text{critica}}(°C)=T_{\text{critica}}(K)-273.15$$
2. Cálculo del enfriamiento — Determina cuántos grados Celsius debe enfriarse el mercurio desde su punto de fusión hasta la temperatura crítica.
   $$\mathrm{\Delta }T=T_{\text{fusión}}-T_{\text{critica}}(°C)$$
3. Interpretación — Analiza qué significa este resultado para aplicaciones prácticas en la industria minera chilena, considerando la disponibilidad de sistemas de enfriamiento criogénico.

$$316.13\text{°C}$$

→ El mercurio debe enfriarse aproximadamente 316.13 °C desde su punto de fusión para alcanzar la superconductividad a 4.15 K.

1. Cálculo del exponente — Calcula el exponente en la fórmula de concentración de electrones usando la energía de ionización y la temperatura.
   $$\frac{E_d}{k_{B}T}$$
2. Concentración de electrones — Aplica la fórmula para determinar la concentración de electrones libres en el semiconductor dopado.
   $$n_0=N_d\exp (-\frac{E_d}{k_{B}T})$$
3. Interpretación — Explica por qué este resultado es importante para la eficiencia de los paneles solares en el desierto de Atacama, donde la radiación solar es intensa pero las temperaturas extremas afectan el rendimiento.

$$n_0\approx {10}^{16}{\text{cm}}^{-3}$$

→ La concentración de electrones libres en el silicio dopado es aproximadamente ${10}^{16}{\text{ cm}}^{-3}$, casi igual a la concentración de donadores.

1. Masa de la celda unitaria — Calcula la masa de una celda unitaria de NaCl usando la masa molar y el número de Avogadro.
   $$m_{\text{celda}}=\frac{n\cdot M_{\text{NaCl}}}{N_A}$$
2. Volumen de la celda unitaria — Expresa el volumen de la celda unitaria en términos del parámetro de red $a$.
   $$V_{\text{celda}}=a^3$$
3. Despeje del parámetro de red — Usa la fórmula de densidad para despejar $a$. Convierte el resultado a nanómetros.
   $$a={\left(\frac{n\cdot M_{\text{NaCl}}}{N_A\cdot \rho }\right)}^{1/3}$$

$$0.564\text{nm}$$

→ El parámetro de red del cloruro de sodio es aproximadamente 0.564 nm.

1. Variación de temperatura — Calcula la diferencia de temperatura entre el estado final e inicial.
   $$\mathrm{\Delta }T=40\text{°C}-20\text{°C}=20\text{K}$$
2. Alargamiento del cable — Aplica la fórmula de dilatación lineal para calcular el cambio en longitud.
   $$\mathrm{\Delta }L=\alpha L_0\mathrm{\Delta }T$$
3. Conversión de unidades — Convierte el alargamiento de metros a centímetros.

$$3.4\text{cm}$$

→ El cable de cobre se alargará aproximadamente 3.4 cm.

1. Conversión de energía — Convierte la energía de electronvoltios a julios.
   $$E(\text{J})=E(\text{eV})\times e$$
2. Cálculo de la densidad de estados — Aplica la fórmula de densidad de estados para grafeno.
   $$D(E)=\frac{2E}{\pi {(\hslash v_F)}^2}$$
3. Interpretación — Explica por qué esta alta densidad de estados hace que el grafeno sea un material prometedor para aplicaciones en electrónica flexible y sensores, incluso en condiciones extremas como las del desierto de Atacama.

$$2.2\times {10}^{18}{\text{eV}}^{-1}{\text{m}}^{-2}$$

→ La densidad de estados electrónicos en el grafeno para E = 0.1 eV es aproximadamente $2.2\times {10}^{18}{\text{ eV}}^{-1}{\text{m}}^{-2}$.

1. Área de la sección transversal — Calcula el área del lingote cilíndrico usando el diámetro.
   $$A=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2$$
2. Resistencia del silicio puro — Aplica la ley de Ohm en forma de resistencia para calcular $R_1$.
   $$R_1={\rho }_1\frac{L}{A}$$
3. Resistencia del silicio dopado — Calcula la nueva resistencia $R_2$ usando la resistividad reducida por dopaje.
   $$R_2={\rho }_2\frac{L}{A}$$

$$R_1=1.75\text{M}\mathrm{\Omega },R_2=0.75\text{m}\mathrm{\Omega }$$

→ La resistencia del lingote de silicio puro es aproximadamente 1.75 MΩ y la del silicio dopado es aproximadamente 0.75 mΩ.

1. Frecuencia angular — Calcula la frecuencia angular usando la constante de fuerza y la masa reducida.
   $$\omega =\sqrt{\frac{k}{\mu }}$$
2. Frecuencia en hercios — Convierte la frecuencia angular a frecuencia lineal.
   $$f=\frac{\omega }{2\pi }$$
3. Conversión a THz — Expresa la frecuencia en terahercios para facilitar la comparación con datos experimentales.

$$3.1\text{THz}$$

→ La frecuencia de vibración de los fonones en el cuarzo es aproximadamente 3.1 THz.

1. Cálculo del exponente — Determina el valor del exponente en la función de Fermi-Dirac.
   $$\frac{E-E_F}{k_{B}T}=\frac{0.01\text{eV}}{(8.617\times {10}^{-5}\text{eV/K})(300\text{K})}$$
2. Aplicación de la función de Fermi — Sustituye el exponente en la fórmula de Fermi-Dirac para calcular la probabilidad de ocupación.
   $$f(E)=\frac{1}{\exp (3.88)+1}$$
3. Resultado final — Calcula el valor numérico de la probabilidad de ocupación.

$$f(E)\approx 0.48$$

→ La probabilidad de que un estado con energía $E_F+0.01\text{ eV}$ esté ocupado en el cobre a 300 K es aproximadamente 0.48.