Ejercicios de física de láseres: domina la luz coherente en Chile

1. Datos — Identificamos los datos proporcionados: potencia del láser y tiempo de transmisión.
2. Conversión de unidades — Convertimos la potencia de milivatios a vatios. Sabemos que 1 mW = 0,001 W.
   $$P=5\text{ mW}=5\times {10}^{-3}\text{ W}$$
3. Fórmula de energía — Usamos la relación entre potencia, energía y tiempo para calcular la energía transmitida.
   $$E=P\times t$$
4. Cálculo final — Sustituimos los valores y calculamos la energía transmitida.
   $$E=5\times {10}^{-3}\text{ W}\times 1\text{ s}=5\times {10}^{-3}\text{ J}$$

$$5\times {10}^{-3}\text{ J}$$

→ 5 × 10⁻³ julios

1. Datos — Identificamos la longitud de onda y el ancho de línea del láser.
2. Conversión de unidades — Convertimos el ancho de línea de GHz a Hz. 1 GHz = 10⁹ Hz.
   $$\mathrm{\Delta }\nu =1.5\text{ GHz}=1.5\times {10}^9\text{ Hz}$$
3. Fórmula de longitud de coherencia — Usamos la fórmula que relaciona la longitud de coherencia con el ancho de línea y la velocidad de la luz.
   $$L_c=\frac{c}{\mathrm{\Delta }\nu }$$
4. Cálculo final — Sustituimos los valores y calculamos la longitud de coherencia temporal.
   $$L_c=\frac{3\times {10}^8\text{ m/s}}{1.5\times {10}^9\text{ Hz}}=0.2\text{ m}$$

$$0.2\text{ m}$$

→ 0,2 metros

1. Datos — Identificamos la energía por pulso y la duración del pulso.
2. Conversión de unidades — Convertimos la energía de milijulios a julios. 1 mJ = 0,001 J.
   $$E_{pulso}=1\text{ mJ}=1\times {10}^{-3}\text{ J}$$
3. Conversión de tiempo — Convertimos la duración del pulso de nanosegundos a segundos. 1 ns = 10⁻⁹ s.
   $$\tau =15\text{ ns}=15\times {10}^{-9}\text{ s}$$
4. Fórmula de potencia pico — Usamos la relación entre energía, tiempo y potencia pico.
   $$P_{pico}=\frac{E_{pulso}}{\tau }$$
5. Cálculo final — Sustituimos los valores y calculamos la potencia pico del láser.
   $$P_{pico}=\frac{1\times {10}^{-3}\text{ J}}{15\times {10}^{-9}\text{ s}}=66.67\times {10}^3\text{ W}$$

$$6.67\times {10}^4\text{ W}$$

→ 66,67 kW

1. Datos — Identificamos la longitud de onda, diámetro inicial, divergencia angular y distancia.
2. Conversión de unidades — Convertimos la divergencia angular de milirradianes a radianes. 1 mrad = 10⁻³ rad.
   $$\theta =2\text{ mrad}=2\times {10}^{-3}\text{ rad}$$
3. Fórmula de divergencia — Usamos la fórmula que relaciona el diámetro del haz con la divergencia angular y la distancia.
   $$d=d_0+D\times \theta$$
4. Cálculo final — Sustituimos los valores y calculamos el diámetro del haz a 1 metro.
   $$d=2\text{ mm}+1\text{ m}\times 2\times {10}^{-3}\text{ rad}=2\text{ mm}+2\text{ mm}=4\text{ mm}$$

$$4\text{ mm}$$

→ 4 mm

1. Datos — Identificamos la potencia del láser y el tiempo de emisión.
2. Conversión de tiempo — Convertimos el tiempo de minutos a segundos. 10 minutos = 600 segundos.
   $$t=10\text{ min}=600\text{ s}$$
3. Cálculo de energía en julios — Calculamos la energía total emitida por el láser en julios.
   $$E=P\times t=5\text{ W}\times 600\text{ s}=3.000\text{ J}$$
4. Conversión a kilovatios-hora — Convertimos la energía de julios a kilovatios-hora usando el factor de conversión.
   $$E_{kWh}=\frac{3.000\text{ J}}{3.6\times {10}^6\text{ J/kWh}}=8.33\times {10}^{-4}\text{ kWh}$$

→ 3.000 J (0,000833 kWh)

1. Datos — Identificamos la longitud de onda del láser.
2. Conversión de unidades — Convertimos la longitud de onda de nanómetros a metros. 1 nm = 10⁻⁹ m.
   $$\lambda =1.310\text{ nm}=1.310\times {10}^{-9}\text{ m}$$
3. Cálculo de frecuencia — Usamos la relación entre frecuencia, longitud de onda y velocidad de la luz para calcular la frecuencia del láser.
   $$\nu =\frac{c}{\lambda }=\frac{3\times {10}^8\text{ m/s}}{1.310\times {10}^{-9}\text{ m}}=2.29\times {10}^{14}\text{ Hz}$$
4. Conversión a terahercios — Convertimos la frecuencia de hercios a terahercios. 1 THz = 10¹² Hz.
   $$\nu =2.29\times {10}^{14}\text{ Hz}=229\text{ THz}$$
5. Verificación de ventana de atenuación — Comparamos la longitud de onda del láser con la ventana de mínima atenuación de la fibra óptica.
   $$1.260\text{ nm}<1.310\text{ nm}<1.360\text{ nm}\Rightarrow \text{Sí está en la ventana}$$

→ 229 THz (sí está en la ventana de mínima atenuación)

1. Datos — Identificamos la energía específica de corte, potencia del láser, eficiencia, dimensiones de la plancha y espesor.
2. Cálculo del volumen — Calculamos el volumen de cobre a cortar en milímetros cúbicos.
   $$V=L\times L\times e_c=100\text{ mm}\times 100\text{ mm}\times 5\text{ mm}=50.000{\text{ mm}}^3$$
3. Cálculo de energía total — Calculamos la energía total necesaria para cortar el volumen de cobre.
   $$E_{total}=e\times V=10{\text{ J/mm}}^3\times 50.000{\text{ mm}}^3=500.000\text{ J}$$
4. Cálculo de potencia útil — Calculamos la potencia útil del láser considerando su eficiencia.
   $$P_{util}=P_{laser}\times \eta =1.000\text{ W}\times 0.20=200\text{ W}$$
5. Cálculo del tiempo mínimo — Calculamos el tiempo mínimo requerido para suministrar la energía necesaria.
   $$t_{min}=\frac{E_{total}}{P_{util}}=\frac{500.000\text{ J}}{200\text{ W}}=2.500\text{ s}$$

$$2.500\text{ s}$$

→ 2.500 segundos (41,7 minutos)

1. Datos — Identificamos la potencia del láser, tiempo de operación diario y costo de electricidad.
2. Conversión de potencia — Convertimos la potencia de vatios a kilovatios. 500 W = 0,5 kW.
   $$P=500\text{ W}=0.5\text{ kW}$$
3. Cálculo de energía diaria — Calculamos la energía consumida por el láser en un día de operación.
   $$E=P\times t_{diario}=0.5\text{ kW}\times 8\text{ h}=4\text{ kWh}$$
4. Cálculo del costo diario — Calculamos el costo total de operar el láser durante un día.
   $$cost{o}_{diario}=E\times cost{o}_{kWh}=4\text{ kWh}\times 120\text{ \$CLP/kWh}=480\text{ \$CLP}$$

$$480\text{ \$CLP}$$

→ 480 $CLP

1. Relación ancho de banda-frecuencia — Expresamos el ancho de banda de frecuencia en términos del ancho de banda espectral.
   $$\mathrm{\Delta }\nu =\frac{c\mathrm{\Delta }\lambda }{{\lambda }^2}$$
2. Relación coherencia-ancho de banda — Expresamos la longitud de coherencia en términos del ancho de banda de frecuencia.
   $$L_c=\frac{c}{\mathrm{\Delta }\nu }$$
3. Combinación de relaciones — Sustituimos la expresión de $\mathrm{\Delta }\nu$ en la fórmula de $L_c$ para obtener la expresión deseada.
   $$L_c=\frac{c}{\mathrm{\Delta }\nu }=\frac{c}{\frac{c\mathrm{\Delta }\lambda }{{\lambda }^2}}=\frac{{\lambda }^2}{\mathrm{\Delta }\lambda }$$
4. Cálculo numérico — Convertimos las longitudes de onda a metros y calculamos la longitud de coherencia.
   $$\lambda =850\text{ nm}=850\times {10}^{-9}\text{ m}\mathrm{\Delta }\lambda =1\text{ nm}=1\times {10}^{-9}\text{ m}{L}_c=\frac{{(850\times {10}^{-9})}^2}{1\times {10}^{-9}}=7.23\times {10}^{-4}\text{ m}$$

$$7.23\times {10}^{-4}\text{ m}$$

→ 7,23 × 10⁻⁴ m