Ejercicios de Mecánica Estadística: Domina el Caos Molecular en

1. Datos iniciales — Identifica las constantes y valores dados en el problema.
2. Conversión de temperatura — Convierte la temperatura de grados Celsius a Kelvin para usar en la fórmula.
   $$T=20\text{°C}+273.15=293.15\text{ K}$$
3. Aplicación de la fórmula de velocidad más probable — Usa la expresión de la distribución de Maxwell-Boltzmann para la velocidad más probable.
   $$v_p=\sqrt{\frac{2k_{B}T}{m}}$$
4. Cálculo numérico — Realiza la sustitución de valores y calcula el resultado final.
   $$v_p=\sqrt{\frac{2\times 1.38\times {10}^{-23}\times 293.15}{5.32\times {10}^{-26}}}\approx 478\text{ m/s}$$

$$478\text{ m/s}$$

→ La velocidad más probable de las moléculas de O₂ en el smog de Santiago es aproximadamente 478 metros por segundo.

1. Entropía inicial — Calcula la entropía del estado inicial ordenado donde todas las moléculas están alineadas ($W_{inicial}=1$).
   $$S_{inicial}=k_B\ln (1)=0$$
2. Entropía final — Calcula la entropía del estado desordenado típico del agua líquida usando el número de microestados dado.
   $$S_{final}=k_B\ln (W)=1.38\times {10}^{-23}\times \ln ({10}^{24})$$
3. Cálculo del cambio de entropía — Resta la entropía inicial de la final para obtener el cambio.
   $$\mathrm{\Delta }S=S_{final}-S_{inicial}=1.38\times {10}^{-23}\times \ln ({10}^{24})\approx 7.64\times {10}^{-22}\text{ J/K}$$

$$7.64\times {10}^{-22}\text{ J/K}$$

→ El cambio de entropía al pasar de un estado ordenado a desordenado es aproximadamente $7.64\times {10}^{-22}$ julios por kelvin.

1. Datos iniciales — Identifica el número de moles y la temperatura en Kelvin.
2. Aplicación del teorema de equipartición — Usa la fórmula para la energía interna de un gas diatómico ideal.
   $$U=\frac{5}{2}nRT$$
3. Sustitución de valores — Calcula la energía interna sustituyendo los valores numéricos.
   $$U=\frac{5}{2}\times 2\times 8.314\times 291=12100.34\text{ J}$$

$$12100\text{ J}$$

→ La energía interna total de 2 moles de aire en Concepción a 18°C es aproximadamente 12100 julios.

1. Cálculo de $\beta$ — Calcula el factor $\beta =1/(k_{B}T)$.
   $$\beta =\frac{1}{k_{B}T}=\frac{1}{1.38\times {10}^{-23}\times 303}\approx 2.40\times {10}^{20}{\text{ J}}^{-1}$$
2. Cálculo del exponente — Determina el valor del exponente $\beta \mathrm{\Delta }E$.
   $$\beta \mathrm{\Delta }E=2.40\times {10}^{20}\times 1.0\times {10}^{-20}=2.40$$
3. Cálculo de la exponencial — Evalúa $e^{-\beta \mathrm{\Delta }E}$ usando el valor del exponente.
   $$e^{-2.40}\approx 0.0907$$
4. Función de partición — Suma los términos para obtener Z.
   $$Z=1+e^{-\beta \mathrm{\Delta }E}=1+0.0907=1.0907$$

$$1.09$$

→ La función de partición para las moléculas de nitrógeno en el desierto de Atacama es aproximadamente 1.09.

1. Distribución de Maxwell-Boltzmann — Escribe la expresión general de la distribución de energía para un gas ideal en equilibrio térmico.
   $$f(E)=C\cdot g(E)\cdot e^{-E/(k_{B}T)}$$
2. Densidad de estados g(E) — Explica que para moléculas en 3D, la densidad de estados es proporcional a $E^{1/2}$.
   $$g(E)\propto E^{1/2}$$
3. Probabilidad de energía E — Combina la densidad de estados con el factor de Boltzmann para obtener la probabilidad.
   $$P(E)\propto E^{1/2}{e}^{-E/(k_{B}T)}$$
4. Interpretación física — Explica por qué las moléculas con mayor energía tienen mayor probabilidad de escapar en un incendio.
   A mayor energía E, el t\text{é}rmino $e^{-E/(k_B T)}$ disminuye más lentamente que $E^{1/2}$ aumenta, pero para energías altas la exponencial domina. Sin embargo, en la cola de la distribución, las mol\text{é}culas más energ\text{é}ticas tienen mayor probabilidad relativa de superar barreras energ\text{é}ticas. ParseError: Can't use function '$' in math mode at position 38: …t\text{é}rmino $̲e^{-E/(k_B T)}$…

→ La probabilidad de que una molécula tenga energía E es proporcional a $e^{-E/(k_{B}T)}$, lo que explica por qué en incendios forestales las moléculas más energéticas escapan más fácilmente de la zona afectada.

1. Grados de libertad — Identifica los grados de libertad para una molécula de CO₂ lineal.
   $$3\text{ traslacionales}+2\text{ rotacionales}=5\text{ grados de libertad activos}$$
2. Energía por grado de libertad — Calcula la energía por cada grado de libertad usando el teorema de equipartición.
   $$U_{porgrado}=\frac{1}{2}RT=\frac{1}{2}\times 8.314\times 278\approx 1153\text{ J/mol}$$
3. Energía interna molar — Multiplica la energía por grado por el número total de grados de libertad.
   $$U_{molar}=5\times \frac{1}{2}RT=5\times 1153=5765\text{ J/mol}$$
4. Energía interna total — Calcula la energía interna para 0.5 moles multiplicando por el número de moles.
   $$U_{total}=n\times U_{molar}=0.5\times 5765=2882.5\text{ J}$$

$$2883\text{ J}$$

→ La energía interna total de 0.5 moles de CO₂ en Torres del Paine a 5°C es aproximadamente 2883 julios.