Física Médica en Chile: Ejercicios para dominar los rayos X

1. Cálculo de la energía en julios — Primero calcula la energía del fotón en unidades del Sistema Internacional usando la fórmula de Planck-Einstein.
   $$E=\frac{h\cdot c}{\lambda }$$
2. Conversión a electronvoltios — Convierte el resultado de julios a electronvoltios usando el factor de conversión proporcionado.
   $$E_{eV}=\frac{E}{1.602\times {10}^{-19}}$$

$$E\approx 99.3\text{keV}$$

→ La energía del fotón es aproximadamente 99,3 keV, correspondiente a rayos X de alta energía.

1. Energía máxima del fotón — Calcula la energía máxima que puede tener un fotón producido en el tubo.
   $$E_{max}=e\cdot V$$
2. Longitud de onda mínima — Despeja la longitud de onda mínima usando la relación energía-longitud de onda.
   $${\lambda }_{min}=\frac{h\cdot c}{E_{max}}$$

$${\lambda }_{min}\approx 15.5\text{pm}$$

→ La longitud de onda mínima es aproximadamente 15,5 pm, correspondiente a rayos X de alta energía.

1. Cálculo de la energía total absorbida — Usa la definición de dosis absorbida para encontrar la energía total en julios.
   $$E_{total}=D\cdot m$$
2. Energía por fotón en julios — Convierte la energía de un fotón de keV a julios.
   $$E_{fot\acute{o}n,J}=60\times {10}^3\times 1.602\times {10}^{-19}$$
3. Número de fotones — Divide la energía total entre la energía de un fotón para obtener el número total.
   $$N=\frac{E_{total}}{E_{fot\acute{o}n,J}}$$

$$E_{total}=6\times {10}^{-4}\text{J},N\approx 6.25\times {10}^{13}$$

→ La energía total absorbida es $6\times {10}^{-4}$ J, equivalente a aproximadamente $6.25\times {10}^{13}$ fotones de 60 keV.

1. Atenuación en el músculo — Aplica la ley de atenuación al músculo para encontrar la intensidad después de atravesarlo.
   $$I_1=I_0\cdot e^{-{\mu }_1{x}_1}$$
2. Atenuación en el hueso — Usa la intensidad después del músculo como entrada para calcular la atenuación en el hueso.
   $$I_2=I_1\cdot e^{-{\mu }_2{x}_2}$$
3. Fracción de intensidad transmitida — Calcula la fracción final de intensidad que llega al detector.
   $$\frac{I_2}{I_0}=e^{-({\mu }_1{x}_1+{\mu }_2{x}_2)}$$

$$\frac{I_2}{I_0}\approx 0.223$$

→ Solo el 22,3% de la intensidad inicial llega al detector después de atravesar músculo y hueso.

1. Tensión del tubo — Para producir fotones con energía media de 40 keV, la tensión del tubo debe ser aproximadamente igual a la energía media en keV.
   $$V\approx 40\text{kV}$$
2. Potencia del tubo — Calcula la potencia usando la corriente y la tensión convertidas a unidades del SI.
   $$P=I\cdot V=(10\times {10}^{-3})\cdot (40\times {10}^3)$$
3. Energía total producida — Multiplica la potencia por el tiempo de exposición para obtener la energía total.
   $$E_{total}=P\cdot t$$

$$P=400\text{W},E_{total}=40\text{J}$$

→ La potencia del tubo es 400 W y la energía total producida en el tiempo de exposición es 40 J.

1. Dosis a 1 m en 5 minutos — Convierte el tiempo a horas y calcula la dosis recibida a 1 m.
   $$D_1(5\text{ min})=10\text{mSv/h}\times \frac{5}{60}\text{ h}=0.833\text{mSv}$$
2. Relación de dosis — Establece la relación entre la dosis a la distancia desconocida y la dosis a 1 m.
   $$\frac{D_2}{D_1}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2$$
3. Distancia mínima segura — Despeja la distancia mínima para que la dosis no supere el límite legal.
   $$r_2=r_1\cdot \sqrt{\frac{D_1}{D_{m\acute{a}x}}}$$

$$r_2\approx 4.1\text{m}$$

→ El técnico debe situarse a una distancia mínima de 4,1 m para no superar el límite legal de dosis.

1. Energía cinética del electrón — Escribe la expresión para la energía cinética máxima de un electrón acelerado por una tensión V.
   $$E_{cin\acute{e}tica}=e\cdot V$$
2. Energía del fotón — Escribe la expresión para la energía de un fotón en términos de su longitud de onda.
   $$E_{fot\acute{o}n}=\frac{h\cdot c}{\lambda }$$
3. Igualar energías — Iguala la energía cinética del electrón con la energía del fotón para obtener la longitud de onda mínima.
   $$e\cdot V=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{min}}$$
4. Despejar λ_min — Despeja la longitud de onda mínima de la ecuación anterior.
   $${\lambda }_{min}=\frac{h\cdot c}{e\cdot V}$$

$${\lambda }_{min}=\frac{h\cdot c}{e\cdot V}$$

→ Se ha demostrado que ${\lambda }_{min}=\frac{h\cdot c}{e\cdot V}$ usando consideraciones energéticas.