Ejercicios: ¿Por qué el cielo es azul? Física atmosférica enChile

1. Explicación conceptual — La luz del Sol contiene todos los colores del espectro visible, desde el rojo (longitudes de onda largas) hasta el violeta (longitudes de onda cortas). Cuando esta luz choca con las moléculas de nitrógeno y oxígeno en la atmósfera, ocurre un fenómeno llamado dispersión de Rayleigh.
   $$I\propto \frac{1}{{\lambda }^4}$$
2. ¿Por qué azul? — La dispersión de Rayleigh es mucho más eficiente para longitudes de onda cortas. El azul (alrededor de 450 nm) se dispersa unas 10 veces más que el rojo (alrededor de 700 nm). Por eso, cuando miras en cualquier dirección que no sea directamente al Sol, ves principalmente luz azul dispersada.
   $${\lambda }_{azul}\approx 450\text{ nm},{\lambda }_{rojo}\approx 700\text{ nm}$$

→ El cielo es azul porque la luz azul (longitudes de onda cortas, alrededor de 450 nm) se dispersa mucho más eficientemente que otros colores debido a la dispersión de Rayleigh en las moléculas de la atmósfera. Esto hace que, al mirar en cualquier dirección excepto directamente al Sol, veamos principalmente luz azul dispersada.

1. Relación de Rayleigh — La intensidad de la luz dispersada sigue la ley de Rayleigh, donde la intensidad es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda.
   $$I\propto \frac{1}{{\lambda }^4}$$
2. Cálculo del máximo — Aunque la dispersión es máxima para longitudes de onda más cortas (violeta, ~400 nm), el ojo humano es más sensible al azul verdoso (~475 nm). Por eso percibimos el cielo como azul en lugar de violeta.
   $${\lambda }_{max}\approx 475\text{ nm}(\text{valor típico para percepción humana})$$
3. Comparación con condiciones locales — En Santiago, con las condiciones atmosféricas dadas, el máximo de dispersión ocurre en longitudes de onda ligeramente más largas que en el vacío debido a la densidad del aire, pero sigue estando en la región azul del espectro.

$${\lambda }_{max}=475\text{ nm}$$

→ El máximo de dispersión de Rayleigh en la atmósfera de Santiago, considerando la percepción humana, ocurre alrededor de 475 nm, que corresponde al color azul que vemos en el cielo.

1. Cálculo de presión a 4500 msnm — Aplicamos la fórmula de disminución exponencial de la presión con la altitud.
   $$P_h=P_0\cdot e^{-\frac{h}{H}}$$
2. Cálculo numérico — Sustituyendo los valores obtenemos la presión a 4500 msnm.
   $$P_h=1013\cdot e^{-\frac{4500}{8500}}\approx 1013\cdot 0.585\approx 593\text{ hPa}$$
3. Intensidad del color azul — La intensidad del cielo azul es proporcional a la densidad del aire, por lo que disminuye con la altitud. En Atacama, aunque la presión es menor, la pureza del aire (poca humedad y partículas) hace que el azul se vea más intenso y puro que en zonas bajas.
   $$I_h=I_0\cdot \frac{P_h}{P_0}=I_0\cdot 0.585$$

$$P_h=593\text{ hPa},\frac{I_h}{I_0}=0.585$$

→ A 4500 msnm en Atacama, la presión atmosférica es de aproximadamente 593 hPa, lo que reduce la intensidad del color azul a un 58.5% comparado con el nivel del mar. Sin embargo, la pureza del aire en el desierto hace que el cielo se vea más intenso y puro.

1. Trayectoria de la luz — Cuando el Sol está cerca del horizonte, la luz solar debe atravesar una capa mucho más gruesa de atmósfera antes de llegar a tus ojos. Esta trayectoria más larga hace que la luz azul (que se dispersa mucho) sea 'filtrada' casi por completo.
2. Dispersión selectiva — La dispersión de Rayleigh elimina preferentemente las longitudes de onda cortas (azul, verde). Las longitudes de onda más largas (rojo, naranja) se dispersan menos y llegan directamente a tus ojos, dando el color característico del atardecer.
   $$I_{rojo}\gg I_{azul}\text{tras trayectoria larga en atmósfera}$$
3. Esquema mental — Imagina un triángulo donde la base es la superficie terrestre y el vértice es el Sol cerca del horizonte. La luz que llega a tus ojos ha recorrido la hipotenusa de este triángulo, atravesando mucha más atmósfera que cuando el Sol está alto.

→ Al atardecer en Concepción, la luz solar recorre una trayectoria mucho más larga a través de la atmósfera. La dispersión de Rayleigh elimina casi por completo las longitudes de onda azules (que se dispersan en todas direcciones), dejando que las longitudes de onda rojas y anaranjadas lleguen directamente a tus ojos, creando el característico color del atardecer.

1. Relación de concentraciones — La concentración de partículas aumenta de 20 a 150 μg/m³, lo que representa un factor de 7.5.
   $$\frac{C_{cont}}{C_{lim}}=\frac{150}{20}=7.5$$
2. Efecto del tamaño de partícula — La intensidad dispersada por cada partícula es proporcional al cuadrado de su radio. Con un radio de 0.15 μm, este factor es constante para ambos casos.
   $$I\propto r^2\times C$$
3. Cálculo final — El aumento total de la intensidad dispersada es proporcional al producto de la relación de concentraciones y el efecto del tamaño (que se cancela al ser igual en ambos casos).
   $$\frac{I_{cont}}{I_{lim}}=\frac{C_{cont}}{C_{lim}}=7.5$$

$$\frac{I_{cont}}{I_{lim}}=7.5$$

→ En un día contaminado en Santiago, la intensidad de la luz dispersada aumenta en un factor de 7.5 comparado con un día limpio, debido al mayor número de partículas en suspensión. Esto hace que el cielo se vea menos azul y más pálido o grisáceo.

1. Efecto de la altitud — A mayor altitud, menor densidad del aire y menor dispersión de Rayleigh. Sin embargo, en Atacama la pureza del aire compensa esta disminución, haciendo que el azul se vea más intenso.
2. Humedad relativa — La baja humedad en Atacama (15%) significa menos vapor de agua y menos formación de aerosoles que dispersen la luz. En Santiago, la mayor humedad (60%) favorece la formación de gotas microscópicas que dispersan la luz en todas direcciones, diluyendo el color azul.
3. Contaminación — Santiago tiene mayor concentración de partículas en suspensión (PM2.5) que Atacama, lo que aumenta la dispersión por Mie y hace que el cielo se vea más pálido o blanquecino.
4. Síntesis — Aunque la presión es menor en Atacama, la combinación de aire más puro, menor humedad y menos contaminación hace que la dispersión de Rayleigh domine, resultando en un azul más intenso y puro.

→ El cielo de Atacama se ve más azul e intenso que el de Santiago debido a tres factores clave: 1) Mayor pureza del aire (menos partículas y aerosoles), 2) Menor humedad relativa que reduce la formación de gotas dispersoras, y 3) Menor contaminación atmosférica. Aunque la altitud reduce ligeramente la densidad del aire, estos factores compensan y dominan, haciendo que la dispersión de Rayleigh produzca un azul más puro y vibrante.

1. Fórmula de energía del fotón — La energía de un fotón está dada por la relación de Planck-Einstein.
   $$E=\frac{h\cdot c}{\lambda }$$
2. Cálculo para luz azul — Sustituyendo los valores para la luz azul (470 nm).
   $$E_{azul}=\frac{6.626\times {10}^{-34}\cdot 3.0\times {10}^8}{470\times {10}^{-9}}\approx 4.23\times {10}^{-19}\text{ J}$$
3. Conversión a eV — Convertimos julios a electronvoltios usando la carga del electrón.
   $$E_{azul}=\frac{4.23\times {10}^{-19}}{1.602\times {10}^{-19}}\approx 2.64\text{ eV}$$
4. Cálculo para luz roja — Repetimos el proceso para la luz roja (700 nm).
   $$E_{rojo}=\frac{6.626\times {10}^{-34}\cdot 3.0\times {10}^8}{700\times {10}^{-9}}\approx 2.84\times {10}^{-19}\text{ J}\approx 1.77\text{ eV}$$
5. Relación de energías — Comparamos las energías de ambos fotones.
   $$\frac{E_{azul}}{E_{rojo}}=\frac{2.64}{1.77}\approx 1.49$$

$$E_{azul}=2.64\text{ eV},E_{rojo}=1.77\text{ eV},\frac{E_{azul}}{E_{rojo}}=1.49$$

→ Un fotón de luz azul en Valparaíso tiene una energía de aproximadamente 2.64 eV, mientras que un fotón de luz roja tiene aproximadamente 1.77 eV. La luz azul tiene casi 1.5 veces más energía que la luz roja debido a su menor longitud de onda.

1. Esquema básico — Dibuja un círculo representando una gota de agua. La luz solar entra por la parte superior, se refracta, se refleja internamente y se refracta nuevamente al salir. Los diferentes colores se separan debido a la dispersión.
2. Separación de colores — El rojo (700 nm) se desvía menos que el azul (470 nm). Esto significa que el rojo forma el arco exterior del arcoíris primario, mientras que el azul forma el arco interior.
   $${\theta }_{rojo}>{\theta }_{azul}$$
3. Ángulo del arcoíris — El arcoíris se observa cuando la luz emerge de las gotas de agua en un ángulo de aproximadamente 42° respecto a la línea que une el Sol con el observador (línea antisolar).

→ El arcoíris en Torres del Paine se forma porque la luz solar se refracta, se refleja internamente y se refracta nuevamente en las gotas de agua. El rojo (700 nm) se desvía menos y forma el arco exterior, mientras que el azul (470 nm) se desvía más y forma el arco interior. El ángulo de observación es de aproximadamente 42° respecto a la línea antisolar.

1. Cálculo del costo diario — El costo por día de alta contaminación es de 50 millones de pesos.
   $$C_{dia}=50000000\text{ CLP}$$
2. Cálculo del costo anual — Multiplicamos el costo diario por el número de días al año con alta contaminación.
   $$C_{anual}=C_{dia}\times N_{dias}=50000000\times 30=1500000000\text{ CLP}$$
3. Expresión en millones — Convertimos el resultado a millones de pesos para facilitar la lectura.
   $$C_{anual}=1500\text{ millones CLP}$$

$$C_{anual}=1500000000\text{ CLP}$$

→ El costo anual de la contaminación atmosférica en Santiago, considerando 30 días al año con alta concentración de PM2.5, asciende a 1 500 millones de pesos chilenos. Este valor refleja solo los costos directos en salud pública, sin considerar otros impactos económicos.