¿Por qué se derrite el helado? Termodinámica en Chile

1. Datos — Tenemos la masa del helado, las temperaturas inicial y final, y las propiedades térmicas del agua.
2. Cálculo del calentamiento — Primero determinamos cuánta energía se necesita para elevar la temperatura del helado desde $-18\text{°C}$ hasta $0\text{°C}$. Usamos la fórmula del calor sensible.
   $$Q_1=m\cdot c\cdot \mathrm{\Delta }T=0.1\text{ kg}\cdot 4.18\text{ kJ/(kg·K)}\cdot (0-(-18))\text{ K}$$
3. Cálculo de la fusión — Luego calculamos la energía requerida para cambiar de fase sólida a líquida sin cambiar la temperatura.
   $$Q_2=m\cdot L_f=0.1\text{ kg}\cdot 334\text{ kJ/kg}$$
4. Energía total — Sumamos ambas contribuciones para obtener la energía total necesaria.
   $$Q=Q_1+Q_2$$

$$70.24\text{kJ}$$

→ La energía total necesaria es aproximadamente $70.24\text{kJ}$.

1. Diferencia de temperatura — Calcula la diferencia entre la temperatura ambiente y la temperatura de fusión ($0\text{°C}$) en cada ciudad.
   $$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{Antofagasta}}=28-0=28\text{ K},\mathrm{\Delta }{T}_{\text{Puerto Montt}}=14-0=14\text{ K}$$
2. Razón de transferencia — Como la transferencia de calor es proporcional a $\mathrm{\Delta }T$, el helado en Antofagasta recibirá el doble de calor por unidad de tiempo que en Puerto Montt.
   $$r_{\text{transferencia}}\propto \mathrm{\Delta }T\Rightarrow r_{\text{Antofagasta}}=2\cdot r_{\text{Puerto Montt}}$$
3. Conclusión — Por lo tanto, el helado se derretirá aproximadamente el doble de rápido en Antofagasta que en Puerto Montt bajo las mismas condiciones.
   $$t_{\text{derretimiento, Antofagasta}}\approx \frac{1}{2}{t}_{\text{derretimiento, Puerto Montt}}$$

$$\text{Antofagasta: }2\times \text{ más rápido que Puerto Montt}$$

→ El helado se derrite aproximadamente el doble de rápido en Antofagasta que en Puerto Montt.

1. Ecuación de Newton — Escribimos la expresión de la ley de enfriamiento de Newton para este caso.
   $$T(t)=T_{\text{ambiente}}+(T_{\text{inicial}}-T_{\text{ambiente}})e^{-kt}$$
2. Sustitución de valores — Reemplazamos los valores conocidos en la ecuación.
   $$10=25+(-18-25)e^{-0.12t}$$
3. Simplificación — Resolvemos algebraicamente para aislar el término exponencial.
   $$-15=-43e^{-0.12t}\Rightarrow e^{-0.12t}=\frac{15}{43}$$
4. Aplicación de logaritmo — Tomamos logaritmo natural a ambos lados para despejar $t$.
   $$-0.12t=\ln \left(\frac{15}{43}\right)\Rightarrow t=-\frac{1}{0.12}\ln \left(\frac{15}{43}\right)$$
5. Cálculo final — Evaluamos la expresión para obtener el tiempo en minutos.
   $$t\approx 8.64\text{min}$$

$$8.6\text{min}$$

→ El helado tardará aproximadamente $8.6\text{minutos}$ en alcanzar los $10\text{°C}$.

1. Ecuación de conservación — Escribimos que el calor perdido por el agua es igual al calor ganado por el hielo.
   $$m_{\text{agua}}\cdot c_{\text{agua}}\cdot (T_{\text{inicial}}-T_{\text{final}})=m_{\text{hielo}}\cdot L_f+m_{\text{hielo}}\cdot c_{\text{agua}}\cdot (T_{\text{final}}-0)$$
2. Sustitución de valores — Reemplazamos los valores numéricos en la ecuación.
   $$200\cdot 4.18\cdot (20-T_f)=50\cdot 334+50\cdot 4.18\cdot T_f$$
3. Simplificación — Resolvemos la ecuación lineal para $T_f$.
   $$1672(20-T_f)=16700+209T_f$$
4. Cálculo final — Despejamos $T_f$ y calculamos su valor.
   $$33440-1672T_f=16700+209T_f\Rightarrow 16740=1881T_f\Rightarrow T_f\approx 8.9\text{°C}$$

$$8.9\text{°C}$$

→ La temperatura final de la mezcla será aproximadamente $8.9\text{°C}$.

1. Conversión de temperatura — Convertimos la temperatura de Celsius a Kelvin.
   $$T=0+273.15=273.15\text{K}$$
2. Cálculo del calor transferido — Determinamos la cantidad de calor necesaria para fundir el helado.
   $$Q=m\cdot L_f=100\text{g}\cdot 334\text{J/g}=33400\text{J}$$
3. Cálculo de la entropía — Aplicamos la fórmula del cambio de entropía para un proceso isotérmico.
   $$\mathrm{\Delta }S=\frac{Q}{T}=\frac{33400\text{J}}{273.15\text{K}}$$
4. Resultado numérico — Evaluamos la expresión para obtener el valor del cambio de entropía.
   $$\mathrm{\Delta }S\approx 122.3\text{J/K}$$

$$122.3\text{J/K}$$

→ El cambio de entropía es aproximadamente $122.3\text{J/K}$, lo que refleja un aumento del desorden en el sistema.

1. Constante de tiempo — Identificamos la constante de tiempo a partir de la ecuación diferencial subyacente.
   $$\tau =\frac{1}{0.08}=12.5\text{min}$$
2. Ecuación para $T=15\text{°C}$ — Sustituimos $T(t)=15$ en la ecuación dada.
   $$15=22-22e^{-0.08t}$$
3. Simplificación — Resolvemos para el término exponencial.
   $$22e^{-0.08t}=7\Rightarrow e^{-0.08t}=\frac{7}{22}$$
4. Aplicación de logaritmo — Tomamos logaritmo natural para despejar $t$.
   $$-0.08t=\ln \left(\frac{7}{22}\right)\Rightarrow t=-\frac{1}{0.08}\ln \left(\frac{7}{22}\right)$$
5. Cálculo final — Evaluamos la expresión numéricamente.
   $$t\approx 14.2\text{min}$$

$$t=14.2\text{min},\tau =12.5\text{min}$$

→ El helado alcanzará los $15\text{°C}$ en aproximadamente $14.2\text{minutos}$, con una constante de tiempo de $12.5\text{minutos}$.

1. Cálculo de la presión total — Determinamos la presión total ejercida sobre el helado.
   $$P=P_0+\frac{F}{A}=1\text{atm}+\frac{10\text{N}}{5{\text{cm}}^2}$$
2. Conversión de unidades — Convertimos la presión a pascales para trabajar en unidades del SI.
   $$1\text{atm}=101325\text{Pa},\frac{10}{5\times {10}^{-4}}=20000\text{Pa}\Rightarrow P=121325\text{Pa}$$
3. Cambio de volumen — Calculamos el cambio de volumen al pasar de hielo a agua líquida.
   $$V_s=100\text{g}\cdot 1.09{\text{cm}}^3/\text{g}=109{\text{cm}}^3,V_l=100{\text{cm}}^3\Rightarrow \mathrm{\Delta }V=V_l-V_s=-9{\text{cm}}^3=-9\times {10}^{-6}{\text{m}}^3$$
4. Cálculo del trabajo — Aplicamos la fórmula del trabajo para un proceso a presión constante.
   $$W=P\cdot \mathrm{\Delta }V=121325\text{Pa}\cdot (-9\times {10}^{-6}{\text{m}}^3)$$
5. Resultado — Evaluamos la expresión para obtener el valor del trabajo.
   $$W\approx -1.09\text{J}$$

$$-1.09\text{J}$$

→ El sistema realiza un trabajo de aproximadamente $-1.09\text{J}$, lo que significa que el entorno ejerce trabajo sobre el helado al comprimirlo.