¿Por qué tu teléfono no se derrite? Física de los sólidos en el C

1. Cambio de temperatura — Calcula la diferencia entre la temperatura de fusión y la temperatura ambiente. Este es el ΔT que experimentará el material.
   $$\mathrm{\Delta }T=T_{\text{fus}}-T_{\text{amb}}=130\text{°C}-45\text{°C}=85\text{K}$$
2. Aplicación de la fórmula — Usa la relación entre calor, masa y cambio de temperatura. Como queremos el calor por kilogramo, divide ambos lados por la masa m.
   $$\frac{Q}{m}=c\cdot \mathrm{\Delta }T$$
3. Cálculo final — Sustituye los valores conocidos en la fórmula para obtener el calor específico por kilogramo.
   $$\frac{Q}{m}=1700\text{J/(kg·K)}\times 85\text{K}=144500\text{J/kg}$$

$$144500\text{J/kg}$$

→ El teléfono necesita absorber 144 500 julios por cada kilogramo de plástico para alcanzar su punto de fusión.

1. Cambio de temperatura requerido — Ambos materiales necesitan aumentar su temperatura desde 20 °C hasta 180 °C.
   $$\mathrm{\Delta }T=180\text{°C}-20\text{°C}=160\text{K}$$
2. Análisis de propiedades térmicas — El cobre tiene mayor conductividad térmica pero menor calor específico por unidad de volumen. Calcula la capacidad térmica volumétrica para cada material: ρ·c.
   $${(\rho \cdot c)}_{\text{Cu}}=8960{\text{kg/m}}^3\times 385\text{J/(kg·K)}=3449600{\text{J/(m}}^3\text{·K)}n{(\rho \cdot c)}_{\text{Al}}=2700{\text{kg/m}}^3\times 900\text{J/(kg·K)}=2430000{\text{J/(m}}^3\text{·K)}$$
3. Conclusión comparativa — Aunque el cobre conduce mejor el calor, el aluminio tiene menor capacidad térmica volumétrica. Por lo tanto, para la misma cantidad de calor aplicado, el aluminio aumentará más su temperatura.

→ El cable de aluminio alcanzará primero la temperatura peligrosa de 180 °C.

1. Energía térmica necesaria — Calcula cuánta energía se requiere para elevar la temperatura del procesador desde 25 °C hasta 90 °C.
   $$Q=m\cdot c\cdot \mathrm{\Delta }T=0.050\text{kg}\times 700\text{J/(kg·K)}\times (90-25)\text{K}=2275\text{J}$$
2. Relación con la potencia — La potencia es energía por unidad de tiempo. Despeja el tiempo de la ecuación P = Q/t.
   $$t=\frac{Q}{P}=\frac{2275\text{J}}{20\text{W}}=113.75\text{s}$$
3. Conversión a minutos — Convierte el tiempo a minutos para que sea más comprensible en la vida real.
   $$t=113.75\text{s}\times \frac{1\text{min}}{60\text{s}}\approx 1.89\text{min}$$

$$114\text{s}$$

→ El procesador tardará aproximadamente 1 minuto y 53 segundos en alcanzar la temperatura segura máxima.

1. Cambio de temperatura — Calcula la diferencia de temperatura entre el exterior y el interior de la caja térmica.
   $$\mathrm{\Delta }T=T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}=30\text{°C}-4\text{°C}=26\text{K}$$
2. Conversión de unidades — Convierte el espesor de centímetros a metros y el tiempo de horas a segundos para mantener las unidades consistentes.
   $$e=5\text{cm}=0.05\text{m}nt=1\text{h}=3600\text{s}$$
3. Aplicación de la ley de Fourier — Sustituye los valores en la fórmula de transferencia de calor por conducción.
   $$Q=\frac{k\cdot A\cdot \mathrm{\Delta }T\cdot t}{e}=\frac{0.04\text{W/(m·K)}\times 0.5{\text{m}}^2\times 26\text{K}\times 3600\text{s}}{0.05\text{m}}$$
4. Cálculo final — Realiza el cálculo para obtener la cantidad total de calor que entra a la caja en una hora.
   $$Q=374400\text{J}$$

$$374400\text{J}$$

→ Entran 374 400 julios de calor a la caja térmica cada hora.

1. Cambio de temperatura — Calcula la diferencia entre la temperatura del transistor y la ambiente.
   $$\mathrm{\Delta }T=T_{\text{transistor}}-T_{\text{amb}}=85\text{°C}-50\text{°C}=35\text{K}$$
2. Conversión de unidades — Convierte el área de cm² a m² y el espesor de mm a m.
   $$A=2{\text{cm}}^2=2\times {10}^{-4}{\text{m}}^{2}e=3\text{mm}=0.003\text{m}$$
3. Despeje de conductividad térmica — Reordena la ley de Fourier para despejar k.
   $$P=\frac{k\cdot A\cdot \mathrm{\Delta }T}{e}\Rightarrow k=\frac{P\cdot e}{A\cdot \mathrm{\Delta }T}$$
4. Cálculo final — Sustituye los valores para encontrar la conductividad térmica mínima requerida.
   $$k_{\text{min}}=\frac{5\text{W}\times 0.003\text{m}}{2\times {10}^{-4}{\text{m}}^2\times 35\text{K}}=2.14\text{W/(m·K)}$$

$$2.14\text{W/(m·K)}$$

→ El material del disipador debe tener una conductividad térmica mínima de 2.14 W/(m·K).

1. Calor necesario para fundir — Calcula la energía requerida para fundir completamente el cubo de hielo.
   $$Q=m\cdot L_f=1\text{kg}\times 334000\text{J/kg}=334000\text{J}$$
2. Temperatura de fusión a diferentes alturas — Calcula la temperatura de fusión en la cima y en la base del cerro San Cristóbal (altura ≈ 800 m).
   $$T_{\text{fus, cima}}=0\text{°C}-(0.0065\text{°C/100 m}\times 800\text{m})=-0.052\text{°C}{T}_{\text{fus, base}}=0\text{°C}$$
3. Gradiente térmico con el ambiente — Asume que la temperatura ambiente es la misma en ambos lugares (10 °C). Calcula el gradiente térmico para la transferencia de calor.
   $$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{cima}}=10\text{°C}-(-0.052\text{°C})=10.052\text{K}n\mathrm{\Delta }{T}_{\text{base}}=10\text{°C}-0\text{°C}=10\text{K}$$
4. Conclusión sobre el tiempo de fusión — Aunque el gradiente térmico es ligeramente mayor en la cima, la diferencia es mínima. Sin embargo, la presión reducida disminuye la conductividad térmica del aire, reduciendo la transferencia de calor por convección. Por lo tanto, el hielo tarda más en fundirse en la cima.

→ El hielo tarda más en fundirse en la cima del cerro San Cristóbal debido a la menor presión atmosférica y su efecto en la conductividad térmica del aire.

1. Cálculo de la resistencia — Usa la resistividad del cobre y las dimensiones del cable para calcular su resistencia total.
   $$R=\rho \cdot \frac{L}{A}=0.0172{\text{Ω·mm}}^2\text{/m}\times \frac{10000\text{m}}{\pi {(10\text{mm})}^2}=0.547\text{Ω}$$
2. Potencia disipada por efecto Joule — Calcula la potencia disipada usando la fórmula P = R·I².
   $$P=R\cdot I^2=0.547\text{Ω}\times {(1000\text{A})}^2=547000\text{W}$$
3. Masa del cable — Calcula la masa del cable usando su volumen y densidad.
   $$m=\rho \cdot V=\rho \cdot A\cdot L=8960{\text{kg/m}}^3\times \pi {(0.01\text{m})}^2\times 10000\text{m}=28147\text{kg}$$
4. Aumento de temperatura — Asume que toda la energía disipada se convierte en calor que eleva la temperatura del cable. Usa Q = m·c·ΔT.
   $$\mathrm{\Delta }T=\frac{P\cdot t}{m\cdot c}=\frac{547000\text{W}\times 1\text{s}}{28147\text{kg}\times 385\text{J/(kg·K)}}=0.050\text{K}$$

$$P=547000\text{W},\mathrm{\Delta }T=0.05\text{K/s}$$

→ La potencia disipada es de 547 000 vatios y el aumento de temperatura sería de solo 0.05 °C por segundo si no hubiera disipación de calor.

1. Energía necesaria — Calcula la energía requerida para elevar la temperatura del espejo en 1 °C.
   $$Q=m\cdot c\cdot \mathrm{\Delta }T=100\text{kg}\times 1820\text{J/(kg·K)}\times 1\text{K}=182000\text{J}$$
2. Tiempo de operación — Usa la potencia radiante para determinar cuánto tiempo puede operar el espejo antes de recibir esa cantidad de energía.
   $$t=\frac{Q}{P_{\text{rad}}}=\frac{182000\text{J}}{500\text{W}}=364\text{s}$$
3. Conversión a minutos — Convierte el tiempo a minutos para facilitar la comprensión.
   $$t=364\text{s}\times \frac{1\text{min}}{60\text{s}}\approx 6.07\text{min}$$

$$364\text{s}$$

→ El espejo puede operar aproximadamente 6 minutos antes de que su temperatura aumente 1 °C.

1. Diseño del disipador multicapa — Propón un diseño con tres capas: cobre-grafeno-aluminio. El cobre en contacto con el procesador para maximizar la transferencia de calor, el grafeno para alta conductividad y baja resistencia, y el aluminio para disipar el calor al ambiente.
2. Conversión de unidades — Convierte el espesor a metros y el área a metros cuadrados.
   $$e=2\text{mm}=0.002\text{m}nA=100{\text{cm}}^2=0.01{\text{m}}^2$$
3. Cálculo de resistencias individuales — Calcula la resistencia térmica de cada capa usando R = e/(k·A).
   $$R_{\text{Cu}}=\frac{0.002}{385\times 0.01}=0.000519\text{K/W}n{R}_{\text{grapheno}}=\frac{0.002}{5000\times 0.01}=0.00004\text{K/W}n{R}_{\text{Al}}=\frac{0.002}{205\times 0.01}=0.000976\text{K/W}$$
4. Resistencia térmica total — Suma las resistencias de todas las capas para obtener la resistencia térmica total del sistema.
   $$R_{\text{total}}=R_{\text{Cu}}+R_{\text{grapheno}}+R_{\text{Al}}=0.000519+0.00004+0.000976=0.001535\text{K/W}$$

$$0.001535\text{K/W}$$

→ La resistencia térmica total del disipador multicapa es de 0.001535 K/W.