¿Sabías que el Sol pierde 4 millones de toneladas cada segundo? F

1. Conversión directa — Sabemos que 1 tonelada = 1000 kg. Por lo tanto, multiplicamos la pérdida de masa por el factor de conversión.
   $${\dot{m}}_{SI}=\dot{m}\times 1000$$
2. Cálculo final — Sustituimos el valor y realizamos la multiplicación para obtener la pérdida de masa en unidades del SI.
   $${\dot{m}}_{SI}=4\times {10}^6\text{ t/s}\times 1000\text{ kg/t}=4\times {10}^9\text{ kg/s}$$

$$\dot{m}=4\times {10}^9\text{ kg/s}$$

→ El Sol pierde 4 000 000 000 kg (4 mil millones de kilogramos) cada segundo.

1. Cálculo de la energía — Aplicamos directamente la fórmula de Einstein usando la pérdida de masa en kg/s y la velocidad de la luz.
   $$E=\dot{m}\times c^2$$
2. Sustitución de valores — Reemplazamos los valores conocidos y calculamos paso a paso.
   $$E=(4\times {10}^9\text{ kg/s})\times {(3\times {10}^8\text{ m/s})}^2$$
3. Cálculo final de energía — Realizamos la multiplicación para obtener la energía en joules por segundo.
   $$E=4\times {10}^9\times 9\times {10}^{16}=3.6\times {10}^{26}\text{ J/s}$$
4. Comparación con Chile — Dividimos la energía solar entre el consumo eléctrico diario de Chile para ver cuántas veces lo cubre.
   $$n=\frac{3.6\times {10}^{26}\text{ J}}{2\times {10}^{14}\text{ J/día}}=1.8\times {10}^{12}$$

→ El Sol libera 3.6×10²⁶ joules cada segundo, lo que equivale a 1.8 billones de veces el consumo eléctrico diario de Chile (70 TWh).

1. Luminosidad como energía por segundo — La luminosidad es exactamente la energía liberada por segundo, que ya calculamos.
   $$L=E=\dot{m}\times c^2$$
2. Sustitución de valores — Usamos los valores conocidos para calcular la luminosidad en watts.
   $$L=(4\times {10}^9\text{ kg/s})\times {(3\times {10}^8\text{ m/s})}^2=3.6\times {10}^{26}\text{ W}$$
3. Comparación con Chile — Dividimos la luminosidad solar entre la potencia instalada de Chile para ver cuántas veces es mayor.
   $$n_p=\frac{3.6\times {10}^{26}\text{ W}}{25\times {10}^9\text{ W}}=1.44\times {10}^{16}$$

→ La luminosidad del Sol es 3.6×10²⁶ W, lo que equivale a 14 mil billones de veces la potencia eléctrica instalada en Chile (25 GW).

1. Cálculo de la masa a perder — Calculamos el 10% de la masa del Sol para saber cuánto perderá.
   $$M_{perder}=0.10\times M_{Sol}$$
2. Sustitución de valores — Reemplazamos la masa del Sol y calculamos la masa a perder.
   $$M_{perder}=0.10\times 1.989\times {10}^{30}\text{ kg}=1.989\times {10}^{29}\text{ kg}$$
3. Tiempo en segundos — Dividimos la masa a perder entre la tasa de pérdida para obtener el tiempo en segundos.
   $$t=\frac{M_{perder}}{\dot{m}}=\frac{1.989\times {10}^{29}\text{ kg}}{4\times {10}^9\text{ kg/s}}$$
4. Cálculo final en segundos — Realizamos la división para obtener el tiempo en segundos.
   $$t=4.9725\times {10}^{19}\text{ s}$$
5. Conversión a años — Convertimos los segundos a años usando el factor de conversión.
   $$t_{a\tilde{n}os}=\frac{4.9725\times {10}^{19}\text{ s}}{3.154\times {10}^7\text{ s/año}}$$
6. Resultado final — Obtenemos el tiempo en años y lo comparamos con la edad del Sol.
   $$t_{a\tilde{n}os}=1.577\times {10}^{12}\text{ años}$$

$$t=1.58\times {10}^{12}\text{ años}$$

→ El Sol tardaría aproximadamente 1.58 billones de años en perder el 10% de su masa actual. ¡Eso es 350 veces más que su edad actual!

1. Ley de Kepler inicial — Escribimos la tercera ley de Kepler para la órbita terrestre inicial.
   $$T^2=\frac{4{\pi }^2}{G{M}_{Sol}}{r}^3$$
2. Ley de Kepler después de perder masa — Después de perder masa ΔM, la nueva masa del Sol es $M_{S}ol$ - ΔM, y el nuevo radio es r + Δr.
   $$T^2=\frac{4{\pi }^2}{G(M_{Sol}-\mathrm{\Delta }M)}{(r+\mathrm{\Delta }r)}^3$$
3. Igualando períodos — Como el período T no cambia significativamente en un siglo, igualamos ambas expresiones.
   $$\frac{4{\pi }^2}{G{M}_{Sol}}{r}^3=\frac{4{\pi }^2}{G(M_{Sol}-\mathrm{\Delta }M)}{(r+\mathrm{\Delta }r)}^3$$
4. Simplificación — Simplificamos la ecuación cancelando términos comunes.
   $$M_{Sol}{r}^3=(M_{Sol}-\mathrm{\Delta }M){(r+\mathrm{\Delta }r)}^3$$
5. Aproximación para Δr pequeño — Como Δr es muy pequeño comparado con r, usamos la aproximación ${(r+\mathrm{\Delta }r)}^3\approx r^3+3r^2\mathrm{\Delta }r$.
   $$M_{Sol}{r}^3\approx (M_{Sol}-\mathrm{\Delta }M)(r^3+3r^2\mathrm{\Delta }r)$$
6. Desarrollo y simplificación — Expandimos y simplificamos para aislar Δr.
   $$M_{Sol}{r}^3\approx M_{Sol}{r}^3+3M_{Sol}{r}^2\mathrm{\Delta }r-\mathrm{\Delta }M{r}^3-3\mathrm{\Delta }M{r}^2\mathrm{\Delta }r$$
7. Ignorando términos pequeños — Ignoramos el término $3\mathrm{\Delta }M{r}^2\mathrm{\Delta }r$ por ser muy pequeño y despejamos Δr.
   $$0\approx 3M_{Sol}{r}^2\mathrm{\Delta }r-\mathrm{\Delta }M{r}^3$$
8. Fórmula final para Δr — Obtenemos la expresión para el cambio en el radio orbital.
   $$\mathrm{\Delta }r\approx \frac{\mathrm{\Delta }M}{3M_{Sol}}r$$
9. Cálculo de ΔM en 100 años — Calculamos la masa perdida por el Sol en 100 años.
   $$\mathrm{\Delta }M=\dot{m}\times t=4\times {10}^9\text{ kg/s}\times (100\times 3.154\times {10}^7\text{ s})$$
10. Cálculo numérico de ΔM — Realizamos la multiplicación para obtener la masa perdida en 100 años.
    $$\mathrm{\Delta }M=1.2616\times {10}^{19}\text{ kg}$$
11. Sustitución en la fórmula de Δr — Reemplazamos los valores en la fórmula obtenida para calcular el aumento del radio.
    $$\mathrm{\Delta }r=\frac{1.2616\times {10}^{19}}{3\times 1.989\times {10}^{30}}\times 1.496\times {10}^{11}\text{ m}$$
12. Resultado final — Realizamos el cálculo para obtener el aumento del radio orbital.
    $$\mathrm{\Delta }r=3.17\times {10}^5\text{ m}=317\text{ km}$$

$$\mathrm{\Delta }r=317\text{ km}$$

→ En 100 años, el radio orbital de la Tierra aumentará aproximadamente 317 kilómetros debido a la pérdida de masa del Sol.

1. Definición de luminosidad — La luminosidad es la energía liberada por unidad de tiempo.
   $$L=\frac{dE}{dt}$$
2. Equivalencia masa-energía — La energía liberada por la pérdida de masa está dada por la famosa fórmula de Einstein.
   $$dE=dm\times c^2$$
3. Derivada de la energía — Sustituimos la energía en la expresión de la luminosidad.
   $$L=\frac{dE}{dt}=\frac{dm}{dt}\times c^2=\dot{m}\times c^2$$
4. Interpretación física — Esta relación muestra que la energía radiante del Sol proviene directamente de su pérdida de masa. Cada segundo, el Sol convierte 4 millones de toneladas de masa en energía pura según $E=m{c}^2$.
5. Verificación numérica — Usamos los valores conocidos para verificar que la fórmula es correcta.
   $$L=(4\times {10}^9\text{ kg/s})\times {(3\times {10}^8\text{ m/s})}^2=3.6\times {10}^{26}\text{ W}$$

$$L=\dot{m}{c}^2$$

→ La luminosidad del Sol se calcula directamente como $L=\dot{m}{c}^2$, donde $\dot{m}$ es la tasa de pérdida de masa (4×10⁹ kg/s) y $c$ es la velocidad de la luz. Esta relación fundamental explica por qué el Sol brilla: convierte masa en energía según la ecuación de Einstein.

1. Cálculo de la pérdida de masa del Sol — Usamos la luminosidad del Sol para calcular su tasa de pérdida de masa.
   $${\dot{m}}_{Sol}=\frac{L_{Sol}}{c^2}$$
2. Sustitución de valores para el Sol — Reemplazamos la luminosidad y la velocidad de la luz.
   $${\dot{m}}_{Sol}=\frac{3.828\times {10}^{26}\text{ W}}{{(3\times {10}^8\text{ m/s})}^2}=4.253\times {10}^9\text{ kg/s}$$
3. Conversión a toneladas — Convertimos la pérdida de masa del Sol a toneladas por segundo.
   $${\dot{m}}_{Sol}=4.253\times {10}^9\text{ kg/s}\times \frac{1\text{ t}}{1000\text{ kg}}=4.253\times {10}^6\text{ t/s}$$
4. Cálculo de la pérdida de masa de Sirio — Usamos la luminosidad relativa de Sirio para calcular su pérdida de masa.
   $${\dot{m}}_{Sirio}=\frac{L_{Sirio}}{c^2}=\frac{25.4\times L_{Sol}}{c^2}=25.4\times {\dot{m}}_{Sol}$$
5. Sustitución del valor — Multiplicamos la pérdida de masa del Sol por 25.4.
   $${\dot{m}}_{Sirio}=25.4\times 4.253\times {10}^9\text{ kg/s}=1.08\times {10}^{11}\text{ kg/s}$$
6. Conversión a toneladas — Convertimos la pérdida de masa de Sirio a toneladas por segundo.
   $${\dot{m}}_{Sirio}=1.08\times {10}^{11}\text{ kg/s}\times \frac{1\text{ t}}{1000\text{ kg}}=1.08\times {10}^8\text{ t/s}$$
7. Cálculo de eficiencia — La eficiencia es la misma para todas las estrellas: $c^2$. Calculamos el valor.
   $$eficiencia=\frac{L}{\dot{m}}=c^2={(3\times {10}^8)}^2=9\times {10}^{16}\text{ J/kg}$$

→ Sirio pierde masa a un ritmo de 108 millones de toneladas por segundo, mientras que el Sol pierde 4.25 millones de toneladas por segundo. Ambas estrellas tienen la misma eficiencia (9×10¹⁶ J/kg), pero Sirio es mucho más luminosa y por lo tanto pierde masa más rápidamente.

1. Cálculo de la masa perdida total — Multiplicamos la tasa de pérdida de masa por el tiempo total en segundos.
   $$\mathrm{\Delta }{M}_{total}=\dot{m}\times t=4.25\times {10}^9\text{ kg/s}\times (5\times {10}^9\text{ años}\times 3.154\times {10}^7\text{ s/año})$$
2. Cálculo numérico — Realizamos la multiplicación para obtener la masa total perdida.
   $$\mathrm{\Delta }{M}_{total}=4.25\times {10}^9\times 1.577\times {10}^{17}=6.702\times {10}^{26}\text{ kg}$$
3. Masa final del Sol — Restamos la masa perdida de la masa inicial para obtener la masa final.
   $$M_{Sol,final}=M_{Sol,inicial}-\mathrm{\Delta }{M}_{total}=1.989\times {10}^{30}-6.702\times {10}^{26}\text{ kg}$$
4. Aproximación — Como la masa perdida es pequeña comparada con la masa inicial, la masa final es aproximadamente igual a la inicial.
   $$M_{Sol,final}\approx 1.989\times {10}^{30}\text{ kg}$$
5. Nuevo radio orbital (simplificado) — Usamos la tercera ley de Kepler para encontrar el nuevo radio orbital. Como la masa no cambia significativamente, el radio orbital tampoco cambiará mucho.
   $$r_{Tierra,final}\approx r_{Tierra,inicial}=1.496\times {10}^{11}\text{ m}$$
6. Comparación con el radio del Sol — El radio del Sol como gigante roja será de 1 UA (149,6 millones de km), igual al radio orbital actual de la Tierra.
   $$R_{Sol,final}=1.496\times {10}^{11}\text{ m}=r_{Tierra,inicial}$$
7. Conclusión sobre supervivencia — Como el nuevo radio orbital de la Tierra será aproximadamente igual al radio del Sol en fase de gigante roja, la Tierra será tragada por el Sol.

→ En 5.000 millones de años, el Sol habrá perdido 6.7×10²⁶ kg de masa (solo el 0.034% de su masa actual). La Tierra orbitará a la misma distancia (1 UA), pero como el Sol se expandirá hasta 1 UA de radio, la Tierra será tragada por nuestra estrella.

1. Energía a igualar — La energía que queremos igualar es la que el Sol pierde en 1 segundo.
   $$E_{igualar}=3.6\times {10}^{26}\text{ J}$$
2. Energía de un bombillo en un año — Calculamos cuánta energía produce un bombillo de 10 W en un año.
   $$E_{bombillo}=P\times t=10\text{ W}\times 3.154\times {10}^7\text{ s}=3.154\times {10}^8\text{ J}$$
3. Número de bombillos necesarios — Dividimos la energía del Sol entre la energía de un bombillo.
   $$n_{bombillos}=\frac{E_{igualar}}{E_{bombillo}}=\frac{3.6\times {10}^{26}}{3.154\times {10}^8}$$
4. Cálculo final — Realizamos la división para obtener el número de bombillos.
   $$n_{bombillos}=1.14\times {10}^{18}$$

$$n=1.14\times {10}^{18}$$

→ Necesitarías 1.14×10¹⁸ bombillos LED de 10 W encendidos durante un año para igualar la energía que el Sol pierde en solo 1 segundo.

1. Fuente de energía del Sol — El Sol obtiene su energía de la fusión nuclear de hidrógeno en helio en su núcleo.
   $$4{}^{1}H\to {}^{4}He+2e^{+}+2{\nu }_e+2\gamma +26.7\text{ MeV}$$
2. Relación masa-energía — Cada reacción de fusión convierte una pequeña cantidad de masa en energía según $E=m{c}^2$.
   $$E=\mathrm{\Delta }m{c}^2$$
3. Pérdida de masa como efecto — La pérdida de masa que medimos (4 millones de toneladas por segundo) es el resultado de convertir masa en energía, no la causa de que el Sol se apague.
4. Reserva de combustible — El Sol tiene suficiente hidrógeno para seguir brillando durante otros 5.000 millones de años. La masa perdida hasta ahora es insignificante comparada con su masa total.
   $$Masaperdidaen5.000millonesdea\tilde{n}os=6.7\times {10}^{26}\text{ kg}\ll 1.989\times {10}^{30}\text{ kg}$$
5. Conclusión — La pérdida de masa es un síntoma de que el Sol está funcionando, no de que se está agotando. Es como decir que una central eléctrica se está quedando sin electricidad porque está encendida.

→ La pérdida de masa del Sol es el RESULTADO de su actividad energética (fusión nuclear), no la CAUSA de que se apague. El Sol convierte masa en energía, pero su reserva de hidrógeno es tan grande que seguirá brillando durante miles de millones de años más. ¡La masa perdida hasta ahora es solo el 0.034% de su masa total!