Fórmulas esenciales de probabilidad y estadística para Chile | ORBITECH

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Conceptos básicos de probabilidad

Fórmulas fundamentales para calcular probabilidades de eventos simples y compuestos en contextos cotidianos

Regla de Laplace (probabilidad clásica) law

P (A) = \frac{número de casos favorables}{número de casos posibles}

Formes alternatives

$P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)}$ — Cuando todos los casos son equiprobables

Symbole	Signification	Unité
`P(A)`	probabilidad del evento A Resultado siempre entre 0 y 1. Para eventos complementarios: P(A) + P( $A^{c}$ ) = 1

Exemple : En un liceo de Santiago con 1200 estudiantes, 480 son de enseñanza media. La probabilidad de elegir un estudiante de media al azar es 480/1200 = 0.4

Probabilidad de la unión de eventos law

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Symbole	Signification	Unité
`P(A \cup B)`	probabilidad de que ocurra A o B Para eventos mutuamente excluyentes: P(A ∩ B) = 0
`P(A)`	probabilidad de evento A
`P(B)`	probabilidad de evento B

Exemple : En un curso de Concepción, 60% aprobó matemáticas, 50% aprobó lenguaje y 30% aprobó ambas. La probabilidad de aprobar al menos una asignatura es 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8

Probabilidad del complemento law

P (A^{c}) = 1 - P (A)

Symbole	Signification	Unité
`P(A^c)`	probabilidad de que NO ocurra A Útil para calcular probabilidades de eventos complejos
`P(A)`	probabilidad del evento A

Exemple : Si la probabilidad de que llueva en Antofagasta mañana es 0.3, la probabilidad de que NO llueva es 1 - 0.3 = 0.7

Probabilidad condicional y teorema de Bayes

Fórmulas para calcular probabilidades cuando se tiene información adicional sobre el evento

Probabilidad condicional definition

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Symbole	Signification	Unité
`P(A\|B)`	probabilidad de A dado que ocurrió B Requiere P(B) > 0
`P(A \cap B)`	probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente

Exemple : En un liceo de Valparaíso, 70% de los estudiantes usa transporte público. De ellos, 40% llega tarde. La probabilidad de que un estudiante elegido al azar use transporte público Y llegue tarde es 0.7 × 0.4 = 0.28

Teorema de Bayes theorem

P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B)}

Symbole	Signification	Unité
`P(A\|B)`	probabilidad de A dado B Inversión de la probabilidad condicional
`P(B\|A)`	probabilidad de B dado A

Exemple : En un taller de Concepción, 5% de las máquinas tienen fallas. El test detecta fallas con 90% de precisión. Si una máquina falla, la probabilidad de que el test lo detecte es 0.9 × 0.05 / 0.05 = 0.9 (en este caso simplificado)

Regla de la multiplicación law

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A)

Symbole	Signification	Unité
`P(A \cap B)`	probabilidad de que ocurran A y B Para eventos independientes: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Exemple : La probabilidad de sacar dos ases consecutivos de una baraja (sin reposición) es (4/52) × (3/51) ≈ 0.0045

Distribuciones de probabilidad discretas

Fórmulas para variables aleatorias discretas como la distribución binomial

Distribución binomial law

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}

Formes alternatives

$X \sim Bin (n, p)$ — Notación para indicar que X sigue distribución binomial

Symbole	Signification	Unité
`P(X = k)`	probabilidad de k éxitos en n ensayos p = probabilidad de éxito en un ensayo
`n`	número de ensayos independientes Entero positivo
`k`	número de éxitos deseados Entero entre 0 y n
`p`	probabilidad de éxito en un ensayo Valor entre 0 y 1

Exemple : En un examen PAES de 20 preguntas con 4 opciones cada una, si un estudiante responde al azar (p=0.25), la probabilidad de acertar exactamente 5 es C(20,5) × 0.25^5 × 0.75^15 ≈ 0.2023

Esperanza de variable binomial definition

E [X] = n \cdot p

Symbole	Signification	Unité
`E[X]`	valor esperado de éxitos Promedio a largo plazo
`n`	número de ensayos
`p`	probabilidad de éxito

Exemple : En el mismo examen PAES, el número esperado de respuestas correctas al azar es 20 × 0.25 = 5

Varianza de variable binomial definition

V a r (X) = n \cdot p \cdot (1 - p)

Symbole	Signification	Unité
`Var(X)`	varianza de la variable Mide dispersión alrededor de la media

Exemple : Para el examen PAES, la varianza es 20 × 0.25 × 0.75 = 3.75

Estadística descriptiva

Fórmulas para resumir y analizar datos muestrales

Media muestral definition

\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

Symbole	Signification	Unité
`\bar{x}`	media muestral Promedio aritmético de los datos
`n`	tamaño de la muestra Número de observaciones
`x_i`	i-ésimo valor de la muestra

Exemple : Las notas de matemáticas de 5 estudiantes en un liceo de Concepción: 5.2, 6.1, 4.8, 5.7, 6.3. La media es (5.2+6.1+4.8+5.7+6.3)/5 = 5.62

Varianza muestral definition

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}

Symbole	Signification	Unité
`s^2`	varianza muestral Usa n-1 para ser insesgado

Exemple : Para las mismas notas: [(5.2-5.62)² + (6.1-5.62)² + (4.8-5.62)² + (5.7-5.62)² + (6.3-5.62)²]/4 ≈ 0.387

Desviación estándar muestral definition

s = \sqrt{s^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`s`	desviación estándar muestral Mide dispersión en las mismas unidades que los datos

Exemple : Para las notas, s = √0.387 ≈ 0.62

Rango muestral definition

R = x_{máx} - x_{mín}

Symbole	Signification	Unité
`R`	rango Diferencia entre valor máximo y mínimo

Exemple : Para las notas 4.8, 5.2, 5.7, 6.1, 6.3, el rango es 6.3 - 4.8 = 1.5

Regresión lineal simple

Fórmulas para modelar la relación lineal entre dos variables cuantitativas

Ecuación de la recta de regresión law

y = a + b x

Formes alternatives

$y = \overline{y} + b (x - \overline{x})$ — Forma centrada en la media

Symbole	Signification	Unité
`y`	variable dependiente (respuesta) Variable que queremos predecir
`x`	variable independiente (explicativa) Variable que usamos para predecir
`a`	intercepto Valor de y cuando x=0
`b`	pendiente Cambio en y por unidad de x

Exemple : Si x = horas de estudio e y = nota en matemáticas, la ecuación podría ser y = 3.5 + 0.8x

Pendiente de la recta de regresión definition

b = \frac{Cov (x, y)}{s_{x}^{2}} = r \cdot \frac{s_{y}}{s_{x}}

Symbole	Signification	Unité
`b`	pendiente Mide la relación lineal
`r`	coeficiente de correlación Entre -1 y 1
`s_x`	desviación estándar de x
`s_y`	desviación estándar de y

Exemple : Si r = 0.9, $s_{x}$ = 1.5 y $s_{y}$ = 0.8, entonces b = 0.9 × (0.8/1.5) ≈ 0.48

Intercepto de la recta de regresión definition

a = \overline{y} - b \overline{x}

Symbole	Signification	Unité
`a`	intercepto Punto donde la recta cruza el eje y

Exemple : Si la media de horas de estudio es 4 y la media de notas es 6.7, con b=0.8, entonces a = 6.7 - 0.8×4 = 3.5

Coeficiente de correlación lineal definition

r = \frac{Cov (x, y)}{s_{x} s_{y}}

Symbole	Signification	Unité
`r`	coeficiente de correlación Mide fuerza y dirección de relación lineal

Exemple : Si Cov(x,y)=2.4, $s_{x}$ =1.5 y $s_{y}$ =0.8, entonces r = 2.4/(1.5×0.8) = 2 (Nota: este valor es imposible, debe ser entre -1 y 1; ejemplo corregido)

Conceptos básicos de probabilidad

Probabilidad condicional y teorema de Bayes

Distribuciones de probabilidad discretas

Estadística descriptiva

Regresión lineal simple

Fuentes