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Semiconductores y dopaje

Conceptos fundamentales sobre materiales semiconductores y cómo el dopaje modifica sus propiedades eléctricas

Concentración intrínseca de portadores definition

n_{i} = \sqrt{N_{c} N_{v}} \exp (- \frac{E_{g}}{2 k T})

Symbole	Signification	Unité
`n_i`	concentración intrínseca de portadores (electrones o huecos) Valor típico en silicio a 300 K: ~1.5×10^{10} c $m^{- 3}$	cm^{-3}
`N_c`	densidad efectiva de estados en la banda de conducción Para silicio: 2.8×10^{19} c $m^{- 3}$ a 300 K	cm^{-3}
`N_v`	densidad efectiva de estados en la banda de valencia Para silicio: 1.04×10^{19} c $m^{- 3}$ a 300 K	cm^{-3}
`E_g`	energía del bandgap Para silicio: 1.12 eV a 300 K. 1 eV = 1.602×10^{-19} J	eV
`k`	constante de Boltzmann k = 8.617×10^{-5} eV/K	eV/K
`T`	temperatura absoluta Temperatura ambiente estándar: 300 K	K

Dimensions : ${[L]}^{- 3}$

Exemple : Calcular $n_{i}$ en silicio puro a 300 K: $n_{i} = \sqrt{2.8 \times 10^{19} \times 1.04 \times 10^{19}} \exp (- 1.12 / (2 \times 8.617 \times 10^{- 5} \times 300)) \approx 1.5 \times 10^{10}$ cm^{-3}

Concentración de portadores mayoritarios en semiconductor dopado definition

n_{0} \approx N_{D} (tipo n) o p_{0} \approx N_{A} (tipo p)

Symbole	Signification	Unité
`n_0`	concentración de electrones mayoritarios En semiconductor tipo n dopado con donadores	cm^{-3}
`p_0`	concentración de huecos mayoritarios En semiconductor tipo p dopado con aceptores	cm^{-3}
`N_D`	concentración de átomos donadores Ejemplo típico: fósforo en silicio para chips	cm^{-3}
`N_A`	concentración de átomos aceptores Ejemplo típico: boro en silicio	cm^{-3}

Dimensions : ${[L]}^{- 3}$

Exemple : Un chip de teléfono usa silicio dopado con fósforo a $N_{D} = 10^{16}$ cm^{-3}. Entonces $n_{0} \approx 10^{16}$ cm^{-3}. En Santiago, donde la temperatura promedio es ~15°C, este valor se mantiene estable.

Ley de acción de masas en semiconductores law

n_{0} p_{0} = n_{i}^{2}

Symbole	Signification	Unité
`n_0`	concentración de electrones	cm^{-3}
`p_0`	concentración de huecos	cm^{-3}
`n_i`	concentración intrínseca Depende de la temperatura y el material semiconductor	cm^{-3}

Dimensions : ${[L]}^{- 6}$

Exemple : En silicio intrínseco a 300 K, $n_{0} = p_{0} = n_{i} = 1.5 \times 10^{10}$ cm^{-3}, entonces $n_{0} p_{0} = {(1.5 \times 10^{10})}^{2} = 2.25 \times 10^{20}$ cm^{-6}$

Movilidad y conductividad en semiconductores

Fórmulas que relacionan la movilidad de los portadores con la conductividad eléctrica en materiales semiconductores

Conductividad eléctrica en semiconductores definition

σ = q (n μ_{n} + p μ_{p})

Symbole	Signification	Unité
`\sigma`	conductividad eléctrica 1 S = 1 A/V. Los chips usan materiales con $σ$ entre 10^{-3} y 10^3 S/cm	S/cm
`q`	carga del electrón q = 1.602×10^{-19} C	C
`n`	concentración de electrones	cm^{-3}
`p`	concentración de huecos	cm^{-3}
`\mu_n`	movilidad de electrones Silicio tipo n: ~1350 c $m^{2}$ /(V·s) a 300 K	cm^2/(V·s)
`\mu_p`	movilidad de huecos Silicio tipo p: ~450 c $m^{2}$ /(V·s) a 300 K	cm^2/(V·s)

Dimensions : ${[M]}^{- 1} {[L]}^{- 3} {[T]}^{3} {[I]}^{2}$

Exemple : Calcular \sigma en silicio tipo n con $n = 10^{16}$ cm^{-3}, \mu_n = 1350 cm^2/(V·s) y \mu_p despreciable: \sigma = 1.602×10^{-19} × 10^{16} × 1350 ≈ 2.16 S/cm

Movilidad de portadores en función de la temperatura approximation

μ \propto T^{- 3 / 2}

Symbole	Signification	Unité
`\mu`	movilidad de portadores A mayor temperatura, menor movilidad por mayor scattering	cm^2/(V·s)
`T`	temperatura absoluta En Chile, la temperatura ambiente varía entre 0°C y 40°C (273 K a 313 K)	K

Dimensions : ${[T]}^{- 3 / 2}$

Exemple : Si la movilidad a 300 K es 1350 c $m^{2}$ /(V·s), a 350 K (típica en Antofagasta en verano) será aproximadamente 1350 × (300/350)^{3/2} ≈ 1050 c $m^{2}$ /(V·s)

Resistencia de un semiconductor en función de su geometría definition

R = \frac{L}{σ A}

Symbole	Signification	Unité
`R`	resistencia eléctrica Los chips integran resistencias de valores entre 1 Ω y 1 MΩ	Ω
`L`	longitud del semiconductor En microchips, L puede ser de 10 nm a 100 μm	cm
`A`	área de la sección transversal En transistores modernos, A es del orden de (10 nm)^2	cm^2
`\sigma`	conductividad eléctrica Depende del dopaje y material	S/cm

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 3} {[I]}^{- 2}$

Exemple : Un cable de cobre en un circuito de Antofagasta tiene L = 50 cm, A = 0.01 c $m^{2}$ y $σ$ = 5.8×10^5 S/cm. Entonces R = 50 / (5.8×10^5 × 0.01) ≈ 0.086 Ω

Aplicaciones en dispositivos electrónicos

Fórmulas clave que explican cómo los principios de semiconductores se aplican en chips y componentes electrónicos

Corriente en un diodo de unión PN en polarización directa law

I = I_{s} [\exp (\frac{q V}{n k T}) - 1]

Formes alternatives

$I \approx I_{s} \exp (\frac{q V}{n k T})$ — Para V >> kT/q (polarización directa fuerte)

Symbole	Signification	Unité
`I`	corriente a través del diodo En un chip, I varía desde pA hasta mA	A
`I_s`	corriente de saturación inversa Depende del área y dopaje. Para un diodo pequeño: ~10^{-15} A	A
`V`	tensión aplicada al diodo Tensión típica en chips: 0.6 V a 1.2 V	V
`n`	factor de idealidad n ≈ 1 para diodos de silicio, n ≈ 2 para algunos diodos Schottky
`q`	carga del electrón q = 1.602×10^{-19} C	C
`k`	constante de Boltzmann k = 1.38×10^{-23} J/K	J/K
`T`	temperatura absoluta Temperatura ambiente: 300 K	K

Dimensions : $[I]$

Exemple : Un diodo en un cargador de celular en Concepción tiene $I_{s}$ = 10^{-14} A, V = 0.7 V, n = 1. Entonces I ≈ 10^{-14} × exp(0.7 / (8.617×10^{-5} × 300)) ≈ 1.2 mA

Relación entre corriente y tensión en un transistor MOSFET approximation

I_{D} = \frac{W}{L} μ_{n} C_{o x} [(V_{G S} - V_{t h}) V_{D S} - \frac{V_{D S}^{2}}{2}]

Formes alternatives

$I_{D} = \frac{W}{2 L} μ_{n} C_{o x} {(V_{G S} - V_{t h})}^{2}$ — Para operación en saturación ( $V_{D S}$ ≥ $V_{G S}$ - $V_{t h}$ )

Symbole	Signification	Unité
`I_D`	corriente de drenaje En microprocesadores modernos, $I_{D}$ puede llegar a 100 A en cortocircuito	A
`W`	ancho del canal En chips modernos: W ≈ 10 nm a 1 μm	m
`L`	longitud del canal En tecnología de 7 nm: L = 7 nm	m
`\mu_n`	movilidad de electrones en el canal En silicio: ~0.07 $m^{2}$ /(V·s) a 300 K	m^2/(V·s)
`C_{ox}`	capacitancia del óxido de puerta por unidad de área Para SiO2: ~3.45×10^{-3} F/ $m^{2}$	F/m^2
`V_{GS}`	tensión puerta-fuente Típico: 0.5 V a 1.8 V	V
`V_{th}`	tensión umbral Para transistores modernos: ~0.3 V a 0.7 V	V
`V_{DS}`	tensión drenaje-fuente En operación normal: $V_{D S}$ < $V_{G S}$ - $V_{t h}$	V

Dimensions : $[I]$

Exemple : Un transistor en un chip de Valparaíso tiene W = 1 μm, L = 100 nm, $μ$ _n = 0.07 $m^{2}$ /(V·s), $C_{o x}$ = 3.45×10^{-3} F/ $m^{2}$ , $V_{G S}$ = 1.2 V, $V_{t h}$ = 0.5 V, $V_{D S}$ = 0.8 V. Entonces $I_{D}$ ≈ (1×10^{-6}/100×10^{-9}) × 0.07 × 3.45×10^{-3} × [(0.7×0.8) - 0.8²/2] ≈ 0.97 mA

Potencia disipada en un componente electrónico definition

P = V I

Symbole	Signification	Unité
`P`	potencia disipada Un chip moderno puede disipar entre 1 W y 100 W	W
`V`	tensión aplicada Típico: 0.5 V a 5 V en circuitos digitales	V
`I`	corriente consumida En un smartphone en uso: ~0.5 A a 2 A	A

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 3}$

Exemple : Un chip de teléfono en Santiago consume 1.2 V y 1.5 A. Entonces P = 1.2 × 1.5 = 1.8 W. A 100 $C L P / k W h, e s t o c u e s t a 0.18$ CLP por hora de uso

Semiconductores y dopaje

Movilidad y conductividad en semiconductores

Aplicaciones en dispositivos electrónicos

Fuentes