Dinámica No Lineal y Caos en Chile: Fórmulas Esenciales | ORBITECH

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Lo que aprenderás

Objetivos

Reconocer ecuaciones diferenciales no lineales en fenómenos cotidianos chilenos como el tráfico en Santiago o las mareas en Valparaíso
Calcular exponentes de Lyapunov para sistemas simples usando datos de precios del pan amasado o del litro de leche
Analizar el mapa logístico con parámetros relevantes para la población de pingüinos en la Isla de Chañaral
Relacionar la teoría del caos con eventos naturales como terremotos en el norte de Chile o aluviones en Antofagasta
Interpretar dimensiones fractales en sistemas complejos como el crecimiento de los copihues o las líneas costeras

Requisitos previos

Ecuaciones diferenciales ordinarias
Física clásica
Cálculo de derivadas

Duración: 45 min Nivel: ●●●○ Difícil

Sistemas Dinámicos No Lineales

Ecuaciones que modelan fenómenos donde pequeñas causas generan grandes efectos

Ecuación diferencial no lineal general law

\frac{d 𝐱}{d t} = 𝐟 (𝐱, t, μ)

Formes alternatives

$\dot{𝐱} = 𝐟 (𝐱; μ)$ — notación de Newton para derivadas temporales

Symbole	Signification	Unité
`\mathbf{x}`	vector de estado ej: posición y velocidad de un bus en Santiago
`t`	tiempo tiempo en segundos	s
`\mathbf{f}`	campo vectorial no lineal depende del estado y parámetros
`\mu`	parámetro de control ej: tasa de crecimiento de una población

Dimensions : ${[T]}^{- 1} [X]$

Exemple : Modelo de tráfico en la Alameda: x = posición del bus (m), f(x) = velocidad no lineal por congestión (m/s)

Ecuación logística discreta law

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - \frac{x_{n}}{K})

Formes alternatives

$N_{t + 1} = r N_{t} (1 - \frac{N_{t}}{K})$ — versión con población real $N_{t}$ (ej: pingüinos en Isla Chañaral)

Symbole	Signification	Unité
`x_n`	población normalizada en generación n 0 ≤ $x_{n}$ ≤ 1, adimensional
`r`	tasa de crecimiento intrínseca r > 0, parámetro de bifurcación
`K`	capacidad de carga K = 1 en versión normalizada

Exemple : Para r = 3.9 y $x_{0}$ = 0.5, calcula $x_{5}$ : $x_{1}$ =0.975, $x_{2}$ =0.095, $x_{3}$ =0.342, $x_{4}$ =0.860, $x_{5}$ =0.473 → comportamiento caótico

Ecuación de Lorenz (sistema caótico clásico) law

{\begin{matrix} \dot{x} = σ (y - x) \\ \dot{y} = x (ρ - z) - y \\ \dot{z} = x y - β z \end{matrix}

Symbole	Signification	Unité
`x`	proporcional a la intensidad de convección adimensional
`y`	proporcional a la diferencia de temperatura horizontal adimensional
`z`	proporcional a la distorsión vertical del perfil de temperatura adimensional
`\sigma`	número de Prandtl $σ$ ≈ 10 para aire
`\rho`	número de Rayleigh normalizado $ρ$ ≈ 28 para caos
`\beta`	parámetro geométrico $β$ = 8/3

Exemple : Con $σ$ =10, $ρ$ =28, $β$ =8/3, el sistema muestra el famoso atractor de Lorenz en 3D

Teoría del Caos: Medidas Cuantitativas

Herramientas para medir el desorden y predecir la impredecibilidad en sistemas complejos

Exponente de Lyapunov definition

λ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} \ln | f^{'} (x_{i}) |

Formes alternatives

$δ x (t) \approx δ x (0) e^{λ t}$ — desviación exponencial en tiempo continuo

Symbole	Signification	Unité
`\lambda`	exponente de Lyapunov λ > 0 indica caos
`f'`	derivada de la función de iteración para mapa logístico: f'(x) = r(1-2x)
`x_i`	punto en la órbita estado en la iteración i

Dimensions : ${[T]}^{- 1}$

Exemple : Para el mapa logístico con r=4: λ ≈ 0.693 > 0 → sistema caótico (doble cada 1 segundo)

Dimensión fractal de correlación definition

D_{2} = \lim_{ϵ \to 0} \frac{\ln C (ϵ)}{\ln ϵ}

Symbole	Signification	Unité
`D_2`	dimensión fractal de correlación 0 ≤ $D_{2}$ ≤ 3 para sistemas físicos
`C(\epsilon)`	función de correlación probabilidad de que dos puntos estén a distancia < ε
`\epsilon`	escala de distancia tamaño de la caja en el algoritmo	m

Exemple : Para el atractor de Lorenz: $D_{2}$ ≈ 2.06 (no entero → fractal)

Sensibilidad a condiciones iniciales law

δ x (t) = δ x (0) e^{λ t}

Symbole	Signification	Unité
`\delta x(t)`	error en el estado en tiempo t ej: error en posición de un bus	m
`\delta x(0)`	error inicial ej: error de 1 metro en la medición GPS	m
`\lambda`	exponente de Lyapunov λ = 0.5 $s^{- 1}$ para tráfico caótico	1/s
`t`	tiempo tiempo en segundos	s

Dimensions : $[L]$

Exemple : Si $δ$ x(0)=1 m y $λ$ =0.5 $s^{- 1}$ , en t=10 s: $δ$ x(10)=1× $e^{5}$ ≈148 m → error enorme

Mapas Caóticos Clásicos

Sistemas discretos que exhiben comportamiento caótico para ciertos parámetros

Mapa logístico con parámetro de bifurcación law

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n})

Symbole	Signification	Unité
`x_n`	población normalizada 0 ≤ $x_{n}$ ≤ 1
`r`	parámetro de control 0 ≤ r ≤ 4, r=3.57 inicio del caos

Exemple : Para r=3.9 y $x_{0}$ =0.5, la secuencia es caótica: 0.975 → 0.095 → 0.342 → 0.860 → 0.473...

Mapa de Hénon law

{\begin{matrix} x_{n + 1} = 1 - a x_{n}^{2} + y_{n} \\ y_{n + 1} = b x_{n} \end{matrix}

Symbole	Signification	Unité
`x_n`	coordenada horizontal adimensional
`y_n`	coordenada vertical adimensional
`a`	parámetro de no linealidad a ≈ 1.4 para caos
`b`	parámetro de disipación b = 0.3 típico

Exemple : Con a=1.4, b=0.3 y ( $x_{0}$ , $y_{0}$ )=(0,0), el mapa genera un atractor extraño clásico

Mapa de Bernoulli law

x_{n + 1} = {\begin{matrix} 2 x_{n} & si 0 \leq x_{n} < 0.5 \\ 2 x_{n} - 1 & si 0.5 \leq x_{n} \leq 1 \end{matrix}

Symbole	Signification	Unité
`x_n`	número en [0,1] adimensional

Exemple : Para $x_{0}$ =0.123456789, $x_{1}$ =0.246913578, $x_{2}$ =0.493827156, $x_{3}$ =0.987654312 → caos puro

Aplicaciones en Sistemas Reales

Fórmulas que conectan la teoría del caos con fenómenos observables en Chile

Número de Reynolds para fluidos definition

R e = \frac{ρ v L}{μ}

Symbole	Signification	Unité
`Re`	número de Reynolds Re < 2300: laminar, Re > 4000: turbulento
`\rho`	densidad del fluido agua de mar: $ρ$ ≈ 1025 kg/m³	kg/m³
`v`	velocidad característica corriente de Humboldt: v ≈ 0.5 m/s	m/s
`L`	longitud característica diámetro de tubería o río	m
`\mu`	viscosidad dinámica agua: $μ$ ≈ 0.001 Pa·s	Pa·s

Exemple : Para el río Mapocho en Santiago: Re = (1000×1.2×5)/0.001 = 6,000,000 → flujo altamente turbulento

Ley de Gutenberg-Richter para terremotos law

\log_{10} N (M) = a - b M

Formes alternatives

$N (M) = 10^{a - b M}$ — versión exponencial

Symbole	Signification	Unité
`N(M)`	número de terremotos con magnitud ≥ M adimensional
`a`	parámetro de productividad a ≈ 5 para Chile
`b`	parámetro de escalamiento b ≈ 1 para Chile
`M`	magnitud momento escala Richter

Exemple : Para M ≥ 4.0 en Chile (a=5, b=1): N(4) = 10^{5-4} = 10 terremotos por año

Ley de potencia en aluviones law

P (S) = k S^{- α}

Symbole	Signification	Unité
`P(S)`	probabilidad de aluvión de tamaño S adimensional
`S`	tamaño del aluvión (volumen) ej: 10,000 m³ en Antofagasta	m³
`k`	constante de normalización depende de la región
`\alpha`	exponente de escala $α$ ≈ 1.5 para aluviones en Chile

Dimensions : ${[L]}^{- 3}$

Exemple : Para $α$ =1.5 y k=100, P(10^4)=100×(10^4)^{-1.5}=0.01 → 1% de probabilidad diaria

Herramientas Computacionales

Fórmulas para implementar algoritmos de análisis de caos en Python

Método de las potencias para exponente de Lyapunov approximation

λ = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ln | \frac{f (x_{i + 1}) - f (x_{i})}{x_{i + 1} - x_{i}} |

Symbole	Signification	Unité
`\lambda`	exponente de Lyapunov aproximado para mapa logístico: f(x)=r x(1-x)	1/s
`N`	número de iteraciones N > 1000 para convergencia
`x_i`	punto en la órbita estado en la iteración i

Dimensions : ${[T]}^{- 1}$

Exemple : Para r=3.9 y N=2000, se obtiene λ≈0.69 (caos confirmado)

Algoritmo de box-counting para dimensión fractal approximation

D = \lim_{ϵ \to 0} \frac{\ln N (ϵ)}{\ln (1 / ϵ)}

Symbole	Signification	Unité
`D`	dimensión fractal estimada D ≈ 1.2 para costa de Chile
`N(\epsilon)`	número de cajas de tamaño ε necesarias para cubrir el atractor
`\epsilon`	tamaño de la caja escala de medición	m

Exemple : Para la línea costera de Chiloé: con ε=1 km, N=3000 → D≈1.26

Parámetro de orden para sincronización definition

R = | \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} e^{i ϕ_{j}} |

Symbole	Signification	Unité
`R`	parámetro de orden 0 ≤ R ≤ 1, R=1: sincronizado
`N`	número de osciladores ej: N=1000 para redes neuronales
`\phi_j`	fase del oscilador j fase en radianes	rad

Exemple : Para 1000 relojes de péndulo en sincronía: R≈1

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Fuentes