Mecánica Estadística: El baile de las partículas que rige tu vida | ORBITECH

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Lo que aprenderás

Objetivos

Calcular la energía cinética promedio de moléculas de gas usando el teorema de equipartición con datos de temperatura en Santiago
Determinar la presión de un gas ideal en un recipiente usando la teoría cinética y valores típicos de transporte en Chile
Aplicar la distribución de Maxwell-Boltzmann para encontrar la velocidad más probable de moléculas en el aire de Valparaíso
Explicar cómo la función de partición relaciona la energía microscópica con la entropía en sistemas termodinámicos
Analizar fluctuaciones térmicas en un nanodispositivo usando la relación de Einstein con ejemplos de electrónica local

Requisitos previos

Termodinámica básica
Cálculo diferencial
Física de gases

Duración: 45 min Nivel: ●●●○ Difícil

Distribuciones estadísticas fundamentales

Funciones que describen cómo se distribuyen las partículas según su energía o velocidad en equilibrio térmico.

Distribución de Boltzmann law

P (E_{i}) = \frac{1}{Z} g_{i} e^{- \frac{E_{i}}{k_{B} T}}

Formes alternatives

$n_{i} = n_{0} e^{- \frac{E_{i} - E_{0}}{k_{B} T}}$ — Distribución de partículas entre dos niveles de energía $E_{i}$ y $E_{0}$
$\frac{n_{2}}{n_{1}} = e^{- \frac{E_{2} - E_{1}}{k_{B} T}}$ — Relación entre poblaciones de dos niveles energéticos

Symbole	Signification	Unité
`P(E_i)`	probabilidad de estado con energía $E_{i}$ Probabilidad relativa de encontrar el sistema en un estado de energía $E_{i}$
`E_i`	energía del estado i Energía de un microestado específico	J
`g_i`	degeneración del estado i Número de microestados con la misma energía $E_{i}$
`k_B`	constante de Boltzmann $k_{B}$ = 1.380649 × 10⁻²³ J/K (valor exacto desde 2019)	J/K
`T`	temperatura absoluta Temperatura en kelvin	K
`Z`	función de partición Suma sobre todos los estados posibles: Z = Σ $g_{i}$ e^(- $E_{i}$ / $k_{B}$ T)

Dimensions : $[1]$

Exemple : En un semiconductor local, calcular la relación entre electrones en la banda de conducción y en la banda de valencia a 300 K si la diferencia de energía es 1.1 eV (como en silicio).

Distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann law

f (v) = 4 π {(\frac{m}{2 π k_{B} T})}^{3 / 2} v^{2} e^{- \frac{m v^{2}}{2 k_{B} T}}

Formes alternatives

$v_{m p} = \sqrt{\frac{2 k_{B} T}{m}}$ — Velocidad más probable (máximo de f(v))
$⟨ v ⟩ = \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{π m}}$ — Velocidad promedio
$v_{r m s} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$ — Velocidad cuadrática media

Symbole	Signification	Unité
`f(v)`	función de distribución de velocidades Probabilidad por unidad de velocidad dv	s/m
`m`	masa de la molécula Para O₂ en aire: m ≈ 5.32×10⁻²⁶ kg	kg
`v`	velocidad de la molécula Velocidad escalar	m/s
`k_B`	constante de Boltzmann $k_{B}$ = 1.380649 × 10⁻²³ J/K	J/K
`T`	temperatura absoluta Temperatura en kelvin	K

Dimensions : ${[L]}^{- 1} [T]$

Exemple : Calcular la velocidad más probable de moléculas de oxígeno (O₂) en el aire de Concepción a 15°C (temperatura típica de otoño).

Teoría cinética de los gases y teorema de equipartición theorem

Teorema de equipartición de la energía theorem

⟨ E ⟩ = \frac{f}{2} k_{B} T

Formes alternatives

$E_{t o t a l} = N ⟨ E ⟩ = N \frac{f}{2} k_{B} T$ — Energía interna total de N partículas
$C_{V} = N \frac{f}{2} k_{B}$ — Capacidad calorífica a volumen constante

Symbole	Signification	Unité
`\langle E \rangle`	energía promedio por partícula Energía cinética promedio en equilibrio térmico	J
`f`	grados de libertad f = 3 para gas monoatómico, f = 5 para gas diatómico (sin vibración)
`k_B`	constante de Boltzmann $k_{B}$ = 1.380649 × 10⁻²³ J/K	J/K
`T`	temperatura absoluta Temperatura en kelvin	K

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcular la energía cinética promedio por molécula de nitrógeno (N₂) en el aire de Antofagasta a 25°C, considerando sus 5 grados de libertad.

Presión en gases ideales (teoría cinética) law

P = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m ⟨ v^{2} ⟩

Formes alternatives

$P V = N k_{B} T$ — Ecuación de estado de gases ideales (ley de los gases ideales)
$P = n k_{B} T$ — Presión en función de densidad de partículas n = N/V

Symbole	Signification	Unité
`P`	presión del gas 1 Pa = 1 N/m²	Pa
`N`	número de moléculas Número total de moléculas en el volumen V
`V`	volumen del recipiente Volumen en metros cúbicos	m³
`m`	masa de una molécula Para aire: m ≈ 4.81×10⁻²⁶ kg	kg
`\langle v^2 \rangle`	velocidad cuadrática media $⟨$ $v^{2}$ $⟩$ = 3 $k_{B}$ T / m para gases ideales	m²/s²

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcular la presión en un neumático de auto en Santiago que contiene 10²⁴ moléculas de aire a 20°C en un volumen de 0.03 m³.

Función de partición y energía libre definition

Z = \sum_{i} g_{i} e^{- \frac{E_{i}}{k_{B} T}} F = - k_{B} T \ln Z

Formes alternatives

$Z = \frac{1}{N!} {(\frac{V}{λ^{3}})}^{N}$ — Función de partición para gas ideal (N partículas indistinguibles)
$λ = \frac{h}{\sqrt{2 π m k_{B} T}}$ — Longitud de onda térmica de de Broglie

Symbole	Signification	Unité
`Z`	función de partición canónica Suma sobre todos los microestados posibles del sistema
`F`	energía libre de Helmholtz F = U - T S, potencial termodinámico a T y V constantes	J
`g_i`	degeneración del estado i Número de microestados con energía $E_{i}$
`E_i`	energía del microestado i Energía de un microestado específico	J
`k_B`	constante de Boltzmann $k_{B}$ = 1.380649 × 10⁻²³ J/K	J/K
`T`	temperatura absoluta Temperatura en kelvin	K

Dimensions : $[1] p a r a Z, [M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2} p a r a F$

Exemple : Calcular la energía libre de Helmholtz para 1 mol de gas ideal a 300 K en un volumen de 0.025 m³.

Entropía de Boltzmann definition

S = k_{B} \ln W

Formes alternatives

$S = k_{B} (\ln Z + T \frac{\partial \ln Z}{\partial T})$ — Expresión en términos de la función de partición
$S = N k_{B} [\ln (\frac{V}{N}) + \frac{3}{2} \ln T + constante]$ — Entropía de gas ideal (ecuación de Sackur-Tetrode)

Symbole	Signification	Unité
`S`	entropía termodinámica Medida del desorden microscópico del sistema	J/K
`W`	multiplicidad Número de microestados compatibles con el macroestado dado
`k_B`	constante de Boltzmann $k_{B}$ = 1.380649 × 10⁻²³ J/K	J/K

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2} {[K]}^{- 1}$

Exemple : Estimar la entropía de 1 mol de gas ideal a 273 K y 1 atm de presión usando la ecuación de Sackur-Tetrode.

Fluctuaciones y relación de Einstein law

⟨ {(Δ N)}^{2} ⟩ = k_{B} T \frac{\partial ⟨ N ⟩}{\partial μ}

Formes alternatives

$\frac{\sqrt{⟨ {(Δ N)}^{2} ⟩}}{⟨ N ⟩} = \frac{1}{\sqrt{N}}$ — Fluctuación relativa para sistemas grandes
$D = \frac{k_{B} T}{6 π η r}$ — Relación de Einstein para el coeficiente de difusión (ley de Stokes-Einstein)

Symbole	Signification	Unité
`\langle (\Delta N)^2 \rangle`	varianza del número de partículas Cuadrado de la desviación estándar del número de partículas
`N`	número promedio de partículas Número promedio en un subsistema
`k_B`	constante de Boltzmann $k_{B}$ = 1.380649 × 10⁻²³ J/K	J/K
`T`	temperatura absoluta Temperatura en kelvin	K
`\mu`	potencial químico Energía necesaria para añadir una partícula al sistema	J

Dimensions : $[1]$

Exemple : Calcular la fluctuación relativa en el número de moléculas de oxígeno en un volumen de 1 mm³ de aire en Valparaíso a 20°C.

Ecuación de difusión (segunda ley de Fick) law

J = - D \frac{\partial n}{\partial x} \frac{\partial n}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} n}{\partial x^{2}}

Formes alternatives

$n (x, t) = \frac{N}{\sqrt{4 π D t}} e^{- \frac{x^{2}}{4 D t}}$ — Solución para difusión desde una fuente puntual

Symbole	Signification	Unité
`J`	flujo de partículas Número de partículas que cruzan una unidad de área por segundo	m⁻²s⁻¹
`n`	densidad de partículas Número de partículas por unidad de volumen	m⁻³
`D`	coeficiente de difusión Depende del medio y la temperatura	m²/s
`x`	posición Coordenada espacial	m
`t`	tiempo Tiempo	s

Dimensions : ${[L]}^{- 2} {[T]}^{- 1} p a r a J, {[L]}^{- 4} {[T]}^{- 1} p a r a \partial n / \partial t$

Exemple : Estimar el tiempo que tarda una molécula de perfume en difundirse 1 metro en el aire quieto de una sala en Concepción, con D ≈ 10⁻⁵ m²/s.

Aplicaciones termodinámicas y ejemplos chilenos

Fórmulas que conectan la mecánica estadística con propiedades termodinámicas reales y situaciones cotidianas en Chile.

Ley de los gases ideales con presión en atmósferas law

P V = n R T

Formes alternatives

$P V = N k_{B} T$ — Forma con número de moléculas N y constante de Boltzmann
$\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}$ — Ley combinada de los gases

Symbole	Signification	Unité
`P`	presión del gas 1 atm = 101325 Pa	atm
`V`	volumen del gas 1 L = 0.001 m³	L
`n`	número de moles n = m/M donde m es masa y M masa molar	mol
`R`	constante universal de los gases R = 0.08206 L·atm/(mol·K) = 8.314 J/(mol·K)	L·atm/(mol·K)
`T`	temperatura absoluta Temperatura en kelvin	K

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2} {[N]}^{- 1} {[K]}^{- 1}$

Exemple : Calcular el volumen que ocupan 2 moles de gas en un globo en Antofagasta a 25°C y 1 atm de presión (condiciones típicas de altura).

Capacidad calorífica molar de gases ideales law

C_{V} = \frac{f}{2} R C_{P} = C_{V} + R

Formes alternatives

$C_{V} = \frac{3}{2} R$ — Para gases monoatómicos como He, Ar
$C_{V} = \frac{5}{2} R$ — Para gases diatómicos como N₂, O₂ a temperatura ambiente

Symbole	Signification	Unité
`C_V`	capacidad calorífica a volumen constante Energía necesaria para elevar 1 mol en 1 K a V constante	J/(mol·K)
`C_P`	capacidad calorífica a presión constante $C_{P}$ = $C_{V}$ + R para gases ideales	J/(mol·K)
`f`	grados de libertad f = 3 (monoatómico), f = 5 (diatómico), f = 6 (poliatómico rígido)
`R`	constante universal de los gases R = 8.314 J/(mol·K)	J/(mol·K)

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2} {[N]}^{- 1} {[K]}^{- 1}$

Exemple : Calcular la energía necesaria para elevar 1 mol de nitrógeno (N₂) de 20°C a 100°C a volumen constante en un laboratorio de Santiago.

Ecuación de van der Waals (gas real) approximation

(P + \frac{a n^{2}}{V^{2}}) (V - n b) = n R T

Symbole	Signification	Unité
`P`	presión del gas Presión medida experimentalmente	Pa
`V`	volumen del gas Volumen del recipiente	m³
`n`	número de moles Cantidad de sustancia	mol
`T`	temperatura absoluta Temperatura en kelvin	K
`a`	constante de atracción molecular Depende del gas (ej. a = 0.136 Pa·m⁶/mol² para N₂)	Pa·m⁶/mol²
`b`	volumen excluido por molécula Volumen ocupado por las moléculas mismas (ej. b = 3.85×10⁻⁵ m³/mol para N₂)	m³/mol
`R`	constante universal de los gases R = 8.314 J/(mol·K)	J/(mol·K)

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2} {[N]}^{- 1} {[K]}^{- 1}$

Exemple : Calcular la presión de 1 mol de CO₂ en un tanque de 0.05 m³ a 300 K usando la ecuación de van der Waals (a = 0.364 Pa·m⁶/mol², b = 4.27×10⁻⁵ m³/mol).

Conexión con la PAES y contexto educativo chileno

Fórmulas y conceptos que aparecen frecuentemente en la PAES de Ciencias y su aplicación en contextos locales.

Relación entre energía interna y temperatura (gas ideal) law

U = \frac{f}{2} n R T

Formes alternatives

$U = N \frac{f}{2} k_{B} T$ — Forma con número de moléculas N
$Δ U = n C_{V} Δ T$ — Cambio en energía interna para un proceso a volumen constante

Symbole	Signification	Unité
`U`	energía interna total Energía cinética total de todas las moléculas	J
`f`	grados de libertad f = 3 para monoatómico, f = 5 para diatómico
`n`	número de moles Cantidad de sustancia	mol
`R`	constante universal de los gases R = 8.314 J/(mol·K)	J/(mol·K)
`T`	temperatura absoluta Temperatura en kelvin	K

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcular el cambio en energía interna cuando 0.5 moles de oxígeno (O₂) se calientan de 20°C a 100°C en un recipiente rígido en un colegio de Concepción.

Trabajo en procesos termodinámicos law

W = - \int_{V_{i}}^{V_{f}} P_{e x t} d V

Formes alternatives

$W = - P_{e x t} Δ V$ — Para procesos a presión constante (isobáricos)
$W = n R T \ln (\frac{V_{f}}{V_{i}})$ — Trabajo en expansión isotérmica de gas ideal

Symbole	Signification	Unité
`W`	trabajo realizado por el sistema W > 0 si el sistema realiza trabajo sobre el entorno	J
`P_{ext}`	presión externa Presión ejercida por el entorno	Pa
`V_i`	volumen inicial Volumen inicial del sistema	m³
`V_f`	volumen final Volumen final del sistema	m³

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcular el trabajo realizado por 2 moles de gas ideal que se expanden isotérmicamente desde 10 L a 20 L a 300 K en un laboratorio universitario.

Eficiencia de máquina térmica (ciclo de Carnot) law

η = 1 - \frac{T_{f}}{T_{c}}

Formes alternatives

$η = \frac{W_{n e t o}}{Q_{c}} = \frac{Q_{c} - Q_{f}}{Q_{c}}$ — Definición en términos de calor absorbido y rechazado
$Q_{c} = Q_{f} \frac{T_{c}}{T_{f}}$ — Relación entre calores en ciclo de Carnot

Symbole	Signification	Unité
`\eta`	eficiencia térmica Fracción de calor convertido en trabajo útil
`T_c`	temperatura de la fuente caliente Temperatura de la reserva de alta temperatura	K
`T_f`	temperatura de la fuente fría Temperatura de la reserva de baja temperatura	K

Dimensions : $[1]$

Exemple : Calcular la eficiencia máxima teórica de una central termoeléctrica en Tocopilla que opera entre 500°C (fuente caliente) y 25°C (fuente fría).

Distribuciones estadísticas fundamentales

Aplicaciones termodinámicas y ejemplos chilenos

Conexión con la PAES y contexto educativo chileno

Fuentes