Cómo usar el formalismo de Lagrange en física: guía para Chile | ORBITECH

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¿Cómo se usa el formalismo de Lagrange para resolver problemas de física?

@CristiánPAES · 2024-10-15 · answered

#física#mecánica#lagrange#chile#PAES

Profes, necesito ayuda con el formalismo de Lagrange. En el libro de física solo sale la teoría abstracta y no entiendo cómo aplicarlo. Por ejemplo, ¿cómo resolveríais el problema de un péndulo en Torres del Paine usando Lagrange? ¿Y qué ventajas tiene frente a las leyes de Newton? ¡Gracias!

@ProfLagrange teacher · 2024-10-15T10:30

¡Buena pregunta, @CristiánPAES! El formalismo de Lagrange usa coordenadas generalizadas $q_{i}$ que describen el sistema sin importar sus vínculos. Para un péndulo en Torres del Paine, usa el ángulo $θ$ como coordenada. La clave está en expresar $T$ y $V$ en términos de $\dot{θ}$ y $θ$ . ¿Quieres que desarrolle el ejemplo completo?

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@ProfLagrange teacher · 2024-10-15T13:30

@ProfLagrange a dit: ¡Buena pregunta, @CristiánPAES! El formalismo de Lagrange usa coordenadas generalizadas...

¡Perfecto! Vamos con el ejemplo del péndulo en Torres del Paine. Tomamos $θ$ como coordenada generalizada. La energía cinética es $T = \frac{1}{2} m {(l \dot{θ})}^{2}$ y la potencial $V = m g l (1 - \cos θ)$ . Entonces $L = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} - m g l (1 - \cos θ)$ . Aplicando Euler-Lagrange obtenemos $m l^{2} \ddot{θ} + m g l \sin θ = 0$ . ¡Así de simple!

L = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} - m g l (1 - \cos θ)

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@CristiánPAES student · 2024-10-15T15:00

@ProfLagrange a dit: ¡Perfecto! Vamos con el ejemplo del péndulo en Torres del Paine...

¡Gracias @ProfLagrange! Ahora entiendo mejor. ¿Podrían poner un ejemplo con un sistema de dos masas conectadas por resortes como en los experimentos de física en la U. de Chile?

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@ProfeRodrigo teacher · 2024-10-15T15:20

@CristiánPAES a dit: ¡Gracias @ProfLagrange! Ahora entiendo mejor...

¡Claro, @CristiánPAES! Para dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ conectadas por un resorte de constante $k$ , con $x_{1}$ y $x_{2}$ como coordenadas, $T = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{x}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{x}}_{2}^{2}$ y $V = \frac{1}{2} k {(x_{2} - x_{1})}^{2}$ . Aplicas Euler-Lagrange a cada coordenada y listo. ¡Es como armar un Lego con ecuaciones!

L = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{x}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{x}}_{2}^{2} - \frac{1}{2} k {(x_{2} - x_{1})}^{2}

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@DudaFísica skeptic · 2024-10-15T15:35

@ProfeRodrigo a dit: ¡Claro, @CristiánPAES! Para dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ ...

Pero en la PSU siempre usan Newton... ¿Por qué complicarse con Lagrange si Newton es suficiente?

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@ProfLagrange teacher · 2024-10-15T15:50 Mejor respuesta

@DudaFísica a dit: Pero en la PSU siempre usan Newton...

¡Porque Lagrange simplifica problemas con vínculos, @DudaFísica! Imagina resolver el movimiento de un ascensor en el Costanera Center con Newton: ¡un desastre de fuerzas! Con Lagrange solo defines la altura $h (t)$ y listo. Además, es la base de la física moderna. ¿O prefieres quedarte solo con Newton?

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@CristiánPAES student · 2024-10-15T16:00

@ProfLagrange a dit: ¡Porque Lagrange simplifica problemas con vínculos, @DudaFísica! Imagina resolver el movimiento de un ascensor en el Costanera Center...

¡Muchas gracias, @ProfLagrange y @ProfeRodrigo! Ahora sí lo entiendo. ¿Alguien tiene un resumen rápido para el examen?

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@ProfeRodrigo teacher · 2024-10-15T16:10

@CristiánPAES a dit: ¡Muchas gracias, @ProfLagrange y @ProfeRodrigo! Ahora sí lo entiendo...

¡Resumen de emergencia! 1) Elige coordenadas generalizadas $q_{i}$ que describan el sistema. 2) Calcula $T$ y $V$ en esas coordenadas. 3) Forma $L = T - V$ . 4) Aplica $\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$ . ¡Y a resolver!

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0

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@JavierFísica student · 2024-10-15T16:20

@ProfeRodrigo a dit: ¡Resumen de emergencia! 1) Elige coordenadas generalizadas...

¡Gracias profe! Ahora a practicar con problemas de la PAES. ¿Alguien tiene un buen set de ejercicios?

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@FísicaDivertida joke · 2024-10-15T16:25

@JavierFísica a dit: ¡Gracias profe! Ahora a practicar con problemas de la PAES...

¡Yo tengo uno! Si un péndulo en Torres del Paine oscila con período de 4 segundos, ¿cuál es su longitud? ¡A calcular, futuros ingenieros!

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@ProfeRodrigo teacher · 2024-10-15T16:30

@FísicaDivertida a dit: ¡Yo tengo uno! Si un péndulo en Torres del Paine oscila con período de 4 segundos...

¡Buen desafío, @FísicaDivertida! Para pequeñas oscilaciones, $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ . Con $T = 4$ s y $g = 9.8$ m/s², $l = \frac{g T^{2}}{4 π^{2}} \approx 3.98$ m. ¡Casi 4 metros de largo!

T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

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@JavierFísica student · 2024-10-15T13:45

@ProfLagrange a dit: ¡Perfecto! Vamos con el ejemplo del péndulo en Torres del Paine...

¿Y si la longitud del péndulo es de 10 metros como en el funicular de Valparaíso? ¿Cambia algo?

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@ProfeRodrigo teacher · 2024-10-15T14:00

@JavierFísica a dit: ¿Y si la longitud del péndulo es de 10 metros como en el funicular de Valparaíso...

¡Exacto, @JavierFísica! Solo cambias $l$ por 10 m en la ecuación. La forma funcional sigue igual: $\ddot{θ} + \frac{g}{l} \sin θ = 0$ . Para ángulos pequeños, $\sin θ \approx θ$ y queda $\ddot{θ} + \frac{g}{l} θ = 0$ (oscilador armónico).

\ddot{θ} + \frac{g}{l} \sin θ = 0

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@ValentinaMec student · 2024-10-15T14:15

@ProfeRodrigo a dit: ¡Exacto, @JavierFísica! Solo cambias $l$ por 10 m...

Entonces, ¿Lagrange es solo para péndulos? ¿O sirve para cualquier sistema?

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@ProfLagrange teacher · 2024-10-15T14:30

@ValentinaMec a dit: Entonces, ¿Lagrange es solo para péndulos...

¡Para todo sistema conservativo, @ValentinaMec! Desde resortes en el desierto de Atacama hasta el movimiento de un bus en Santiago. La clave es identificar las coordenadas generalizadas $q_{i}$ y escribir $L = T - V$ . ¿Quieres que desarrolle otro ejemplo?

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@FísicaDivertida joke · 2024-10-15T14:45

@ProfLagrange a dit: ¡Para todo sistema conservativo, @ValentinaMec! Desde resortes en el desierto de Atacama...

Si Lagrange resolviera problemas de la PSU, ¡todos sacábamos 1000 puntos en física! Pero bueno, al menos nos da herramientas para entender el universo.

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@JavierFísica student · 2024-10-15T11:18

@ProfLagrange a dit: ¡Buena pregunta, @CristiánPAES! El formalismo de Lagrange usa coordenadas generalizadas...

Oye @ProfLagrange, ¿y si el péndulo tiene rozamiento? ¿Se puede usar Lagrange igual?

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@ProfeRodrigo teacher · 2024-10-15T12:03

@JavierFísica a dit: Oye @ProfLagrange, ¿y si el péndulo tiene rozamiento...

¡Casi, @JavierFísica! Con rozamiento no conservativo, hay que añadir la fuerza disipativa en las ecuaciones de Euler-Lagrange modificadas. Pero para sistemas conservativos puros, Lagrange es imbatible.

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@ValentinaMec student · 2024-10-15T12:45

@ProfeRodrigo a dit: ¡Casi, @JavierFísica! Con rozamiento no conservativo...

Entonces, ¿para el péndulo de Torres del Paine usamos solo $L = T - V$ sin más? ¿O hay que considerar la altura exacta?

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@NuevoEnFísica student · 2024-10-15T13:10

Yo aún no entiendo cómo pasar de $L$ a las ecuaciones de movimiento. ¿Me pueden explicar paso a paso?

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@ValentinaMec student · 2024-10-15T10:15

Yo entiendo que la función de Lagrange es $L = T - V$ , pero no sé cómo elegir las coordenadas generalizadas. ¿Alguien me explica eso?

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@DudaFísica skeptic · 2024-10-15T11:02

Pero si ya tengo las ecuaciones de Newton, ¿para qué complicarme con Lagrange? ¿No es lo mismo pero más difícil?

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@ChisteFísica joke · 2024-10-15T11:45

Lagrange es como el asado chileno: al principio parece complicado, pero una vez que le agarras el truco... ¡quedai con la mejor solución!

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@PeroComo skeptic · 2024-10-15T12:30

¿Y qué pasa con sistemas no conservativos? ¿Lagrange solo sirve para problemas ideales?

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Fuentes