¿Por qué falla tu luz? Análisis de circuitos en 5 pasos - Casos y

1. Resistencia equivalente normal — Primero calculamos la resistencia de una bombilla en condiciones normales usando la potencia nominal y la tensión de red. La potencia de una bombilla incandescente se calcula con P = V²/R, por lo que podemos despejar R.
   $$R=\frac{V^2}{P}=\frac{{120}^2}{60}=240\text{Ω}$$
2. Circuito paralelo — En un circuito paralelo, la resistencia equivalente se calcula con 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3. Como todas las resistencias son iguales, Req = R/3.
   $$R_{eq}=\frac{R}{3}=\frac{240}{3}=80\text{Ω}$$
3. Corriente normal por bombilla — Aplicando la ley de Ohm a cada bombilla: I = V/R. Esto nos da la corriente que debería circular en condiciones normales.
   $$I_{normal}=\frac{V}{R}=\frac{120}{240}=0.5\text{A}$$
4. Corriente total normal — En paralelo, la corriente total es la suma de las corrientes en cada rama. Por lo tanto, Itota$l_{n}ormal$ = 3 × 0.5 A = 1.5 A.
   $$I_{total\_normal}=3\times 0.5=1.5\text{A}$$
5. Análisis de la falla — La corriente medida es 1.2 A, menor que 1.5 A, lo que indica que una bombilla no está consumiendo su corriente normal. Calculamos la resistencia equivalente real con la corriente medida: Re$q_{r}eal$ = V/Itotal = 120/1.2 = 100 Ω.
   $$R_{eq\_real}=\frac{V}{I_{total}}=\frac{120}{1.2}=100\text{Ω}$$
6. Resistencia de la bombilla defectuosa — Si dos bombillas están en paralelo con resistencia normal (240 Ω cada una), su equivalente es 120 Ω. La tercera bombilla debe tener una resistencia Rx tal que 1/100 = 1/240 + 1/240 + 1/Rx. Resolviendo obtenemos Rx = 400 Ω.
   $$\frac{1}{R_{eq\_real}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}\Rightarrow R_x=400\text{Ω}$$
7. Tipo de falla — Una resistencia de 400 Ω es mayor que la normal (240 Ω), lo que indica que la bombilla está en circuito abierto o tiene un filamento roto. Si fuera corto circuito, la resistencia sería cercana a 0 Ω.

$$R_x=400\text{Ω},P_{real}=36\text{W}$$

→ La bombilla defectuosa tiene una resistencia de 400 Ω y presenta un circuito abierto (filamento roto). La potencia real disipada por esta bombilla es aproximadamente 36 W.

1. Diagrama y nodos — Dibujamos el circuito con dos mallas. Definimos I1 como la corriente en la malla de la batería (24 V), I2 como la corriente en la malla del panel solar (18 V) e I3 como la corriente en R3. En el nodo entre R1 y R2/R3, aplicamos la ley de los nodos: I1 = I2 + I3.
   $$I_1=I_2+I_3$$
2. Ecuaciones de mallas — Para la malla 1 (batería): 24 = 10·I1 + 20·I3. Para la malla 2 (panel solar): 18 = 15·I2 + 20·I3. Tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas, pero usamos la ecuación del nodo para relacionarlas.
   $$\{\begin{array}{c}24=10I_1+20I_3\\ 18=15I_2+20I_3\\ I_1=I_2+I_3\end{array}$$
3. Sustitución — Sustituimos I1 = I2 + I3 en la primera ecuación: 24 = 10(I2 + I3) + 20I3 = 10I2 + 30I3. Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas: 24 = 10I2 + 30I3 y 18 = 15I2 + 20I3.
   $$\{\begin{array}{c}24=10I_2+30I_3\\ 18=15I_2+20I_3\end{array}$$
4. Resolución del sistema — Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para igualar coeficientes: 72 = 30I2 + 90I3 y 36 = 30I2 + 40I3. Restando obtenemos 36 = 50I3, por lo que I3 = 0.72 A.
   $$I_3=0.72\text{A}$$
5. Corrientes I1 e I2 — Sustituyendo I3 = 0.72 A en 24 = 10I2 + 30·0.72 obtenemos I2 = 0.72 A. Luego I1 = I2 + I3 = 1.44 A.
   $$I_2=0.72\text{A},I_1=1.44\text{A}$$
6. Tensión en R3 — La tensión en R3 es V3 = I3·R3 = 0.72 × 20 = 14.4 V. Como no es cercana a 0 V, R3 no está en cortocircuito.
   $$V_3=14.4\text{V}$$
7. Potencia en el motor — La corriente total que pasa por el motor (en serie con R3) es I1 = 1.44 A. La resistencia total del motor es 20 + 5 = 25 Ω. La potencia disipada es P = I²·R = (1.44)² × 25 ≈ 51.84 W.
   $$P_{motor}=51.84\text{W}$$

$$I_1=1.44\text{A},I_2=0.72\text{A},I_3=0.72\text{A},V_3=14.4\text{V},P_{motor}=51.84\text{W}$$

→ Las corrientes son I1 = 1.44 A, I2 = 0.72 A e I3 = 0.72 A. La tensión en R3 es 14.4 V, por lo que no está en cortocircuito. La potencia disipada por el motor es aproximadamente 51.84 W.

1. Potencia de hornos — Los hornos son resistivos puros, así que su potencia es simplemente la suma de sus potencias nominales.
   $$P_{hornos}=5\times 1500=7500\text{W}$$
2. Potencia de lámparas originales — Las lámparas LED son también resistivas en esencia, así que sumamos sus potencias.
   $$P_{l\acute{a}mparas}=10\times 12=120\text{W}$$
3. Potencia de neveras — Las neveras tienen factor de potencia menor que 1, así que su potencia activa es P = $P_{n}ominal$ × fp. La potencia nominal es la potencia aparente.
   $$P_{neveras}=2\times 300\times 0.8=480\text{W}$$
4. Potencia total — Sumamos todas las potencias para obtener la potencia total consumida.
   $$P_{total}=7500+120+480=8100\text{W}=8.1\text{kW}$$
5. Energía diaria — La energía es potencia por tiempo. Convertimos la potencia a kW y multiplicamos por las horas de uso.
   $$E_{diaria}=8.1\text{kW}\times 8\text{h}=64.8\text{kWh}$$
6. Costo diario — Multiplicamos la energía diaria por la tarifa para obtener el costo en COP.
   $$C_{diario}=64.8\text{kWh}\times 520\text{COP/kWh}=33696\text{COP}$$
7. Nueva potencia con lámparas de 8 W — Recalculamos la potencia total con las nuevas lámparas de 8 W cada una.
   $$P_{nueva}=7500+(10\times 8)+480=8060\text{W}=8.06\text{kW}$$
8. Nuevo costo diario — Calculamos la nueva energía diaria y su costo.
   $$E_{nueva\_diaria}=8.06\times 8=64.48\text{kWh}{C}_{nuevo\_diario}=64.48\times 520=33529.6\text{COP}$$
9. Ahorro mensual — Restamos el nuevo costo diario del original y multiplicamos por 30 días.
   $$Ahorr{o}_{mensual}=(33696-33529.6)\times 30=4993.2\text{COP}$$

$$E_{diaria}=64.8\text{kWh},C_{diario}=33696\text{COP},Ahorr{o}_{mensual}=4993\text{COP}$$

→ El consumo diario original es 64.8 kWh con un costo de 33 696 COP. Con las lámparas nuevas, el consumo baja a 64.48 kWh y el costo diario a 33 529.6 COP. El ahorro mensual es aproximadamente 4 993 COP.

1. Diagrama del circuito — Dibujamos el circuito con la fuente de 48 V, R1 en serie con el paralelo de R2 y R3. Los terminales A y B están en paralelo con R3.
2. Tensión de Thévenin — Para calcular Vth, desconectamos la bombilla (circuito abierto entre A y B). La tensión Vth es la tensión en R3, que está en paralelo con R2. Primero calculamos la resistencia equivalente de R2 y R3 en paralelo.
   $$R_{23}=\frac{R_2\times R_3}{R_2+R_3}=\frac{12\times 4}{12+4}=3\text{Ω}$$
3. Corriente total del circuito — La corriente total es I = V/(R1 + R23) = 48/(6 + 3) = 5.333 A.
   $$I=\frac{48}{6+3}=5.333\text{A}$$
4. Tensión en R23 (Vth) — La tensión en R23 (y por tanto Vth) es Vth = I × R23 = 5.333 × 3 = 16 V.
   $$V_{th}=16\text{V}$$
5. Resistencia de Thévenin — Para calcular Rth, desconectamos la fuente (reemplazándola por un cortocircuito) y calculamos la resistencia equivalente entre A y B. R1 queda en serie con el paralelo de R2 y R3.
   $$R_{th}=R_1+\frac{R_2\times R_3}{R_2+R_3}=6+3=9\text{Ω}$$
6. Circuito equivalente — El circuito equivalente de Thévenin tiene una fuente de 16 V en serie con una resistencia de 9 Ω.
   $$V_{th}=16\text{V},R_{th}=9\text{Ω}$$
7. Corriente con la bombilla nueva — Al conectar la bombilla de 8 Ω, la corriente es I = Vth/(Rth + $R_{b}ombilla$) = 16/(9 + 8) = 0.941 A.
   $$I=\frac{16}{9+8}=0.941\text{A}$$

$$V_{th}=16\text{V},R_{th}=9\text{Ω},I=0.941\text{A}$$

→ El equivalente Thévenin es una fuente de 16 V en serie con 9 Ω. Al conectar una bombilla de 8 Ω, circulará una corriente de 0.941 A.

1. Resistencia total — La resistencia total es la suma de las resistencias internas: Rtotal = Rfuente + Rbatería = 2 + 1 = 3 Ω.
   $$R_{total}=2+1=3\text{Ω}$$
2. Corriente del circuito — Aplicamos la ley de Ohm: I = V/Rtotal = 600/3 = 200 A.
   $$I=\frac{600}{3}=200\text{A}$$
3. Potencia en la batería — La potencia disipada en la batería es P = I² × Rbatería = (200)² × 1 = 40 000 W = 40 kW.
   $$P_{bater\acute{ı}a}=40000\text{W}=40\text{kW}$$
4. Potencia en la fuente — La potencia disipada en la resistencia interna de la fuente es P = I² × Rfuente = (200)² × 2 = 80 000 W = 80 kW.
   $$P_{fuente}=80000\text{W}=80\text{kW}$$
5. Resistencia para máxima potencia — Según el teorema de máxima transferencia de potencia, la potencia transferida a la carga es máxima cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna de la fuente. Por lo tanto, Rcarga = Rfuente = 2 Ω.
   $$R_{carga\_max}=R_{fuente}=2\text{Ω}$$
6. Comparación con la batería real — La resistencia interna de la batería es 1 Ω, que es menor que 2 Ω. Por lo tanto, no se está transfiriendo la máxima potencia posible. La potencia actual es menor que la potencia máxima teórica.
7. Potencia máxima teórica — La potencia máxima transferida se calcula con Pmax = V²/(4 × Rfuente) = 600²/(4 × 2) = 45 000 W = 45 kW. La potencia actual es 40 kW, que es menor que la máxima.
   $$P_{max}=\frac{{600}^2}{4\times 2}=45000\text{W}=45\text{kW}$$

$$R_{total}=3\text{Ω},I=200\text{A},P_{bater\acute{ı}a}=40\text{kW},P_{max}=45\text{kW}$$

→ La resistencia total es 3 Ω con una corriente de 200 A. La potencia en la batería es 40 kW y en la fuente 80 kW. La resistencia para máxima transferencia es 2 Ω, pero la batería tiene 1 Ω, por lo que no se transfiere la máxima potencia (45 kW teóricos vs 40 kW reales).