¿Por qué se enfría tu café? La mecánica estadística lo explica (C

1. Conversión de temperatura — Convierte la temperatura de 22°C a kelvin: $T=22+273.15=295.15\text{K}$.
   $$T=295.15\text{ K}$$
2. Energía cinética media por molécula — La energía cinética media de una molécula en un gas ideal está dada por $⟨E_c⟩=\frac{3}{2}{k}_{B}T$.
   $$⟨E_c⟩=\frac{3}{2}{k}_{B}T$$
3. Sustitución de valores — Sustituye $k_B$ y $T$ en la fórmula.
   $$⟨E_c⟩=\frac{3}{2}\times 1.38\times {10}^{-23}\text{J/K}\times 295.15\text{K}$$
4. Cálculo final — Realiza la multiplicación para obtener el valor numérico.
   $$⟨E_c⟩=6.11\times {10}^{-21}\text{ J}$$

$$6.11\times {10}^{-21}\text{ J}$$

→ La energía cinética media de una molécula de N₂ a 22°C es 6.11 × 10⁻²¹ J. El café pierde energía por transferencia térmica al chocar con moléculas de aire más frías, y la entropía del sistema aumenta.

1. Ecuación de Newton — La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la ambiente: $\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{amb}})$.
   $$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{amb}})$$
2. Solución general — La solución de esta ecuación diferencial es $T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}$, donde $T_0$ es la temperatura inicial.
   $$T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}$$
3. Sustitución de datos a t=10 min — Aplicamos la solución a $t=10$ min con $T(10)=65°C$: $65=18+(80-18)e^{-10k}$.
   $$65=18+62e^{-10k}$$
4. Resolución para k — Despejamos $k$: $47=62e^{-10k}$ → $e^{-10k}=\frac{47}{62}$ → $-10k=\ln \left(\frac{47}{62}\right)$ → $k=-\frac{1}{10}\ln \left(\frac{47}{62}\right)$.
   $$k=-\frac{1}{10}\ln \left(\frac{47}{62}\right)$$
5. Cálculo numérico — Calculamos $k\approx 0.028{\text{ min}}^{-1}$.
   $$k\approx 0.028{\text{ min}}^{-1}$$

$$k\approx 0.028{\text{ min}}^{-1},T(30)=44.8\text{ °C}$$

→ La constante de proporcionalidad es $k\approx 0.028{\text{ min}}^{-1}$. La temperatura del café después de 30 minutos es aproximadamente 44.8°C.

1. Conversión de temperatura — Convierte 28°C a kelvin: $T=28+273.15=301.15\text{ K}$.
   $$T=301.15\text{ K}$$
2. Fórmula de velocidad más probable — La velocidad más probable en la distribución de Maxwell-Boltzmann es $v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$, donde $M$ es la masa molar.
   $$v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$$
3. Sustitución de valores — Sustituye $R=8.314\text{ J/(mol·K)}$, $T=301.15\text{ K}$, $M=0.028\text{ kg/mol}$ (convertir g/mol a kg/mol).
   $$v_p=\sqrt{\frac{2\times 8.314\times 301.15}{0.028}}$$
4. Cálculo del numerador — Calcula $2\times 8.314\times 301.15=5010.5\text{ J/mol}$.
   $$2RT=5010.5\text{ J/mol}$$
5. División por M — $5010.5/0.028=178946\text{ J/kg}$.
   $$\frac{2RT}{M}=178946\text{ J/kg}$$
6. Raíz cuadrada — $v_p=\sqrt{178946}\approx 423\text{ m/s}$.
   $$v_p\approx 423\text{ m/s}$$
7. Fórmula de velocidad media — La velocidad media es $⟨v⟩=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
   $$⟨v⟩=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$$
8. Sustitución de valores — Usa los mismos valores: $8\times 8.314\times 301.15/(\pi \times 0.028)$.
   $$\frac{8RT}{\pi M}=\frac{20042}{0.08796}\approx 227860\text{ J/kg}$$
9. Raíz cuadrada — $⟨v⟩=\sqrt{227860}\approx 477\text{ m/s}$.
   $$⟨v⟩\approx 477\text{ m/s}$$

$$v_p=423\text{ m/s},⟨v⟩=477\text{ m/s}$$

→ A 28°C, la velocidad más probable de las moléculas de N₂ es 423 m/s y la velocidad media es 477 m/s. La velocidad media es mayor debido a la asimetría de la distribución.

1. Cálculo de $\mathrm{\Delta }T$ — La variación de temperatura es $\mathrm{\Delta }T=T_f-T_i=60-85=-25°C=-25K$ (el signo negativo indica pérdida de calor).
   $$\mathrm{\Delta }T=-25\text{ K}$$
2. Cálculo de $Q$ — El calor transferido es $Q=mc|\mathrm{\Delta }T|=0.2\times 4186\times 25=20930\text{ J}$.
   $$Q=20930\text{ J}$$
3. Fórmula de entropía para el café — Para un proceso a presión constante, el cambio de entropía del café es $\mathrm{\Delta }{S}_{\text{café}}=mc\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right)$.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{\text{café}}=mc\ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right)$$
4. Sustitución de valores — Sustituye $m=0.2\text{ kg}$, $c=4186\text{ J/(kg·K)}$, $T_i=358.15\text{ K}$, $T_f=333.15\text{ K}$.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{\text{café}}=0.2\times 4186\times \ln \left(\frac{333.15}{358.15}\right)$$
5. Cálculo del logaritmo — $\ln (333.15/358.15)=\ln (0.930)\approx -0.0726$.
   $$\ln \left(\frac{333.15}{358.15}\right)\approx -0.0726$$
6. Resultado final — $\mathrm{\Delta }{S}_{\text{café}}=0.2\times 4186\times (-0.0726)=-60.6\text{ J/K}$.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{\text{café}}=-60.6\text{ J/K}$$
7. Fórmula de entropía para el aire — El aire gana calor isotérmicamente a temperatura constante $T_{\text{amb}}$, por lo que $\mathrm{\Delta }{S}_{\text{aire}}=\frac{Q}{T_{\text{amb}}}$.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{\text{aire}}=\frac{Q}{T_{\text{amb}}}$$
8. Sustitución de valores — $Q=20930\text{ J}$, $T_{\text{amb}}=303.15\text{ K}$.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{\text{aire}}=\frac{20930}{303.15}$$
9. Cálculo — $\mathrm{\Delta }{S}_{\text{aire}}=69.0\text{ J/K}$.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{\text{aire}}=69.0\text{ J/K}$$
10. Cálculo de $\mathrm{\Delta }{S}_{\text{total}}$ — $\mathrm{\Delta }{S}_{\text{total}}=\mathrm{\Delta }{S}_{\text{café}}+\mathrm{\Delta }{S}_{\text{aire}}=-60.6+69.0=8.4\text{ J/K}$.
    $$\mathrm{\Delta }{S}_{\text{total}}=8.4\text{ J/K}$$

$$\mathrm{\Delta }{S}_{\text{total}}=8.4\text{ J/K}>0$$

→ El café transfiere 20 930 J de calor al aire. El cambio de entropía del café es -60.6 J/K, el del aire es +69.0 J/K, y el cambio total de entropía es +8.4 J/K, confirmando que el proceso es irreversible.

1. Fórmula general — La solución es $T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}$. Despejamos $k$: $k=-\frac{1}{t}\ln \left(\frac{T(t)-T_{\text{amb}}}{T_0-T_{\text{amb}}}\right)$.
   $$k=-\frac{1}{t}\ln \left(\frac{T(t)-T_{\text{amb}}}{T_0-T_{\text{amb}}}\right)$$
2. Cálculo para Bogotá — Bogotá: $T_{\text{amb}}=18°C$, $T(15)=60°C$, $T_0=85°C$. $k_B=-\frac{1}{15}\ln \left(\frac{60-18}{85-18}\right)=-\frac{1}{15}\ln \left(\frac{42}{67}\right)\approx 0.031{\text{ min}}^{-1}$.
   $$k_B\approx 0.031{\text{ min}}^{-1}$$
3. Cálculo para Medellín — Medellín: $T_{\text{amb}}=22°C$, $T(15)=63°C$. $k_M=-\frac{1}{15}\ln \left(\frac{63-22}{85-22}\right)=-\frac{1}{15}\ln \left(\frac{41}{63}\right)\approx 0.028{\text{ min}}^{-1}$.
   $$k_M\approx 0.028{\text{ min}}^{-1}$$
4. Cálculo para Cali — Cali: $T_{\text{amb}}=28°C$, $T(15)=68°C$. $k_C=-\frac{1}{15}\ln \left(\frac{68-28}{85-28}\right)=-\frac{1}{15}\ln \left(\frac{40}{57}\right)\approx 0.024{\text{ min}}^{-1}$.
   $$k_C\approx 0.024{\text{ min}}^{-1}$$
5. Explicación física — La constante $k$ depende de la tasa de transferencia de calor, que incluye convección, conducción y radiación. En Bogotá, la temperatura ambiente es más baja, lo que aumenta el gradiente térmico $\mathrm{\Delta }T=T_{\text{café}}-T_{\text{amb}}$, acelerando la transferencia de calor por convección natural. Además, la humedad relativa en Bogotá (más alta que en Cali) puede aumentar la conductividad térmica del aire. Por lo tanto, $k$ es mayor en Bogotá.
6. Efecto de la tapa — Una tapa reduce la convección en un 30%, por lo que la nueva constante es $k^{\prime }=0.7k$ (ya que la convección es el principal mecanismo de enfriamiento en un líquido).
   $$k^{\prime }=0.7k$$
7. Cálculo para Bogotá con tapa — Queremos $T(t)=45°C$. Usamos $45=18+67e^{-0.7\times 0.031t}$ → $27=67e^{-0.0217t}$ → $e^{-0.0217t}=0.403$ → $-0.0217t=\ln (0.403)=-0.909$ → $t=41.9\text{ min}$.
   $$t_B\approx 42\text{ min}$$
8. Cálculo para Medellín con tapa — $45=22+63e^{-0.7\times 0.028t}$ → $23=63e^{-0.0196t}$ → $t_M\approx 48\text{ min}$.
   $$t_M\approx 48\text{ min}$$
9. Cálculo para Cali con tapa — $45=28+57e^{-0.7\times 0.024t}$ → $17=57e^{-0.0168t}$ → $t_C\approx 65\text{ min}$.
   $$t_C\approx 65\text{ min}$$

$$k_B=0.031{\text{ min}}^{-1},k_M=0.028{\text{ min}}^{-1},k_C=0.024{\text{ min}}^{-1}\text{y}{t}_B=42\text{ min},t_M=48\text{ min},t_C=65\text{ min}$$

→ Las constantes de enfriamiento son: Bogotá 0.031 min⁻¹, Medellín 0.028 min⁻¹, Cali 0.024 min⁻¹. Con tapa, los tiempos para llegar a 45°C son aproximadamente 42 min (Bogotá), 48 min (Medellín) y 65 min (Cali).