¿Por qué un reloj en un cohete avanza más lento? Relatividad en C

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula el factor de Lorentz $\gamma$ para este cohete

1. Sustitución de valores — Sustituimos $v=0.8c$ en la fórmula de $\gamma$. Observa que las unidades de $c$ se cancelan.
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{(0.8)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-0.64}}=\frac{1}{\sqrt{0.36}}$$
2. Cálculo final — Simplificamos la raíz cuadrada y obtenemos el valor numérico de $\gamma$.
   $$\gamma =\frac{1}{0.6}=1.67$$

1.67

→ El factor de Lorentz es $1.67$

Pregunta 2 (3 pts) — Determina el tiempo transcurrido en Tierra $\mathrm{\Delta }t$ usando la fórmula de dilatación temporal

1. Multiplicación por el tiempo propio — Multiplicamos el factor $\gamma$ por el tiempo propio del cohete para obtener el tiempo en Tierra.
   $$\mathrm{\Delta }t=1.67\times 5.0\times {10}^6\text{ s}$$
2. Resultado final — Realizamos la multiplicación y expresamos el resultado en notación científica.
   $$\mathrm{\Delta }t=8.35\times {10}^6\text{ s}$$

$$8.35\times {10}^6\text{ s}$$

→ El tiempo transcurrido en Tierra es $8.35\times {10}^6$ segundos

Pregunta 3 (1 pts) — Explica por qué un astronauta envejece menos que las personas en Tierra durante este viaje

1. Explicación física — La dilatación temporal significa que el tiempo fluye más lento para el sistema en movimiento (el cohete) desde la perspectiva del sistema en reposo (Tierra). Por eso el astronauta envejece menos.

→ El astronauta envejece menos porque su tiempo propio ($\mathrm{\Delta }{t}_0$) es menor que el tiempo medido en Tierra ($\mathrm{\Delta }t$) debido a la dilatación temporal.

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula el factor de Lorentz $\gamma$ debido a la velocidad orbital

1. Cálculo de ${\gamma }_v$ — Sustituimos $v=3900\text{ m/s}$ y $c=3.0\times {10}^8\text{ m/s}$ en la fórmula.
   $${\gamma }_v=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{(3900)}^2}{{(3.0\times {10}^8)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-1.69\times {10}^{-10}}}$$
2. Aproximación — Para velocidades mucho menores que $c$, $\gamma \approx 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$. Calculamos el término de corrección.
   $${\gamma }_v\approx 1+\frac{1}{2}\times 1.69\times {10}^{-10}=1+8.45\times {10}^{-11}$$

$$1+8.45\times {10}^{-11}$$

→ El factor de Lorentz por velocidad es aproximadamente $1+8.45\times {10}^{-11}$

Pregunta 2 (3 pts) — Calcula la diferencia de tiempo debido a la dilatación gravitacional (efecto Einstein) usando $\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{G{M}_T}{R_T+h}-\frac{G{M}_T}{R_T}$

1. Cálculo de $\mathrm{\Delta }\varphi$ — Calculamos la diferencia de potencial gravitacional entre la superficie y la órbita del satélite.
   $$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{6.67\times {10}^{-11}\times 5.97\times {10}^{24}}{6371000}(1-\frac{6371000}{6371000+20200000})$$
2. Simplificación — Realizamos las operaciones y obtenemos el valor de $\mathrm{\Delta }\varphi$.
   $$\mathrm{\Delta }\varphi \approx 1.84\times {10}^6{\text{ m}}^2/{\text{s}}^2$$
3. Factor de dilatación gravitacional — Calculamos $\frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{c^2}$ para obtener el factor de corrección temporal.
   $$\frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{c^2}=\frac{1.84\times {10}^6}{{(3.0\times {10}^8)}^2}=2.04\times {10}^{-11}$$

$$2.04\times {10}^{-11}$$

→ La dilatación gravitacional causa que el tiempo en el satélite avance más rápido en $2.04\times {10}^{-11}$ por segundo

Pregunta 3 (2 pts) — Determina el tiempo total transcurrido en Tierra combinando ambos efectos

1. Combinación de efectos — Sumamos los efectos relativistas. El satélite experimenta una dilatación temporal neta debido a que la gravedad lo acelera menos que en Tierra.
   $$\frac{\mathrm{\Delta }t}{t}={\gamma }_v(1+\frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{c^2})-1$$
2. Cálculo final — Sustituimos los valores y obtenemos el tiempo total en Tierra.
   $$\mathrm{\Delta }t=3.15\times {10}^7\text{ s}\times (1+8.45\times {10}^{-11}+2.04\times {10}^{-11})\approx 3.15\times {10}^7\text{ s}+7.7\times {10}^{-4}\text{ s}$$

$$3.15\times {10}^7\text{ s}+7.7\times {10}^{-4}\text{ s}$$

→ El tiempo transcurrido en Tierra es aproximadamente $3.15\times {10}^7$ segundos más $7.7\times {10}^{-4}$ segundos

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula el tiempo de vuelo medido por un observador en Tierra

1. Cálculo del tiempo en Tierra — Convertimos la velocidad a km/h y calculamos el tiempo directamente.
   $$t_{\text{Tierra}}=\frac{420\text{ km}}{2500\text{ km/h}}=0.168\text{ horas}=604.8\text{ s}$$

$$604.8\text{ s}$$

→ El tiempo de vuelo medido en Tierra es $604.8$ segundos

Pregunta 2 (3 pts) — Calcula el tiempo de vuelo medido por el reloj del pasajero en el avión

1. Cálculo del factor de Lorentz — Aunque la velocidad es pequeña comparada con $c$, calculamos $\gamma$ para precisión.
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{(694.44)}^2}{{(3.0\times {10}^8)}^2}}}=1+8.32\times {10}^{-13}$$
2. Tiempo en el avión — Multiplicamos el tiempo en Tierra por $\sqrt{1-v^2/c^2}$ para obtener el tiempo propio.
   $$t_{\text{avión}}=604.8\times (1-4.16\times {10}^{-13})\approx 604.8-2.52\times {10}^{-10}\text{ s}$$

$$604.8-2.52\times {10}^{-10}\text{ s}$$

→ El tiempo de vuelo medido por el reloj del pasajero es $604.8$ segundos menos $2.52\times {10}^{-10}$ segundos

Pregunta 3 (1 pts) — Determina la diferencia de tiempo entre ambos relojes

1. Diferencia de tiempo — Restamos ambos tiempos para encontrar la diferencia.
   $$\mathrm{\Delta }t=t_{\text{Tierra}}-t_{\text{avión}}=2.52\times {10}^{-10}\text{ s}$$

$$2.52\times {10}^{-10}\text{ s}$$

→ La diferencia de tiempo es $2.52\times {10}^{-10}$ segundos (prácticamente imperceptible)

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula el factor de Lorentz $\gamma$ para esta velocidad orbital

1. Cálculo de $\gamma$ — Sustituimos $v=3070\text{ m/s}$ en la fórmula.
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{(3070)}^2}{{(3.0\times {10}^8)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-1.047\times {10}^{-10}}}$$
2. Aproximación — Para velocidades no relativistas, usamos la aproximación $\gamma \approx 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$. Calculamos el término de corrección.
   $$\gamma \approx 1+\frac{1}{2}\times 1.047\times {10}^{-10}=1+5.235\times {10}^{-11}$$

$$1+5.235\times {10}^{-11}$$

→ El factor de Lorentz es aproximadamente $1+5.235\times {10}^{-11}$

Pregunta 2 (3 pts) — Determina el tiempo transcurrido en Tierra $\mathrm{\Delta }t$

1. Cálculo de $\mathrm{\Delta }t$ — Multiplicamos el tiempo propio por $\gamma$ para obtener el tiempo en Tierra.
   $$\mathrm{\Delta }t=100000\times (1+5.235\times {10}^{-11})=100000+5.235\times {10}^{-6}\text{ s}$$

$$100000+5.235\times {10}^{-6}\text{ s}$$

→ El tiempo transcurrido en Tierra es $100000$ segundos más $5.235\times {10}^{-6}$ segundos

Pregunta 3 (2 pts) — Explica por qué los satélites de comunicaciones deben corregir sus relojes

1. Explicación de corrección de relojes — Los satélites de comunicaciones deben corregir sus relojes porque la dilatación temporal causa que se atrasen respecto a los relojes en Tierra.

→ Los satélites deben corregir sus relojes porque la dilatación temporal por velocidad los hace atrasarse respecto a los relojes en Tierra.

Pregunta 1 (2 pts) — Escribe la fórmula de dilatación temporal que relaciona $\mathrm{\Delta }t$, $\mathrm{\Delta }{t}_0$ y $v$

1. Fórmula correcta — Escribimos la fórmula que relaciona los tiempos con la velocidad.
   $$\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{t}_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

$$\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{t}_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

→ La fórmula es $\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{t}_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Pregunta 2 (3 pts) — Despeja $v$ en función de $\gamma$ y calcula su valor

1. Sustitución de $\gamma$ — Como $\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{t}_0}=1.01$, entonces $\gamma =1.01$. Sustituimos en la fórmula despejada.
   $$v=c\sqrt{1-\frac{1}{{(1.01)}^2}}=c\sqrt{1-0.9803}=c\sqrt{0.0197}$$
2. Cálculo final — Realizamos la raíz cuadrada y obtenemos la velocidad como fracción de $c$.
   $$v=c\times 0.1404=0.1404c$$

0.1404c

→ La velocidad necesaria es $0.1404c$ (14.04% de la velocidad de la luz)

Pregunta 3 (2 pts) — Interpreta físicamente el resultado: ¿qué implica una dilatación del 1%?

1. Interpretación física — Una dilatación del 1% significa que por cada 100 segundos en el sistema en movimiento, pasan 101 segundos en el sistema en reposo. Esta velocidad es extremadamente alta para tecnología actual.

→ Una dilatación del 1% implica que el cohete debe viajar al 14.04% de la velocidad de la luz, una velocidad inalcanzable con la tecnología actual.

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la distancia que el aventurero percibe que recorrió (longitud propia)

1. Cálculo de $d^{\prime }$ — Multiplicamos la velocidad por el tiempo propio para obtener la distancia percibida.
   $$d^{\prime }=0.5\times 3.0\times {10}^8\text{ m/s}\times 2.7\times {10}^{-3}\text{ s}=4.05\times {10}^5\text{ m}=405\text{ km}$$

$$405\text{ km}$$

→ El aventurero percibe que recorrió $405\text{ km}$

Pregunta 2 (3 pts) — Calcula la distancia real medida por un observador en Tierra

1. Cálculo del factor $\gamma$ — Calculamos $\gamma$ para $v=0.5c$.
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{(0.5)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{0.75}}=1.1547$$
2. Cálculo de la distancia real — Multiplicamos la distancia percibida por $\gamma$ para obtener la distancia real.
   $$d=1.1547\times 405\text{ km}=467.7\text{ km}$$

$$467.7\text{ km}$$

→ La distancia real medida en Tierra es $467.7\text{ km}$

Pregunta 3 (2 pts) — Explica el fenómeno de contracción de longitudes usando este ejemplo

1. Explicación de contracción de longitudes — La contracción de longitudes es un fenómeno complementario a la dilatación temporal: las distancias en la dirección del movimiento se contraen para el observador en movimiento.

→ El aventurero percibe una distancia menor porque las longitudes en la dirección del movimiento se contraen según la relatividad especial.