¿Puede el aleteo de una mariposa en Colombia causar un huracán?

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula la velocidad angular inicial del sistema si se libera desde el reposo con el ángulo dado

1. Cálculo de ${\omega }_0$ — Sustituimos los valores en la fórmula derivada. Primero convertimos ${\theta }_0$ a radianes: $0.1°=0.1\times \frac{\pi }{180}\approx 1.745\times {10}^{-3}\text{rad}$.
   $${\omega }_0=1.745\times {10}^{-3}\times \sqrt{\frac{9.8}{2\times 1}}\approx 3.89\times {10}^{-3}\text{rad/s}$$

$$3.89\times {10}^{-3}\text{rad/s}$$

→ La velocidad angular inicial es aproximadamente $3.89\times {10}^{-3}\text{rad/s}$

Pregunta 2 (2 pts) — Explica por qué pequeñas diferencias en ${\theta }_0$ generan grandes diferencias en la trayectoria después de 5 segundos

1. Explicación cualitativa — En sistemas caóticos como el péndulo doble, el exponente de Lyapunov $\lambda$ es positivo. Esto significa que cualquier diferencia mínima en las condiciones iniciales (como $\mathrm{\Delta }{\theta }_0=0.001°$) se amplifica con el tiempo. Después de 5 segundos, la diferencia $\mathrm{\Delta }\theta (5)$ puede ser órdenes de magnitud mayor que $\mathrm{\Delta }{\theta }_0$.
   $$\mathrm{\Delta }\theta (5)=0.001°\times e^{\lambda \times 5}$$

→ Pequeñas diferencias en ${\theta }_0$ se amplifican exponencialmente debido al caos, haciendo que la trayectoria diverja rápidamente

Pregunta 3 (2 pts) — ¿Qué pasaría si el error inicial fuera de $\pm 0.1°$ en lugar de $\pm 0.001°$? Justifica tu respuesta

1. Análisis de error — Si el error inicial es $\pm 0.1°$, entonces $\mathrm{\Delta }{\theta }_0=0.2°$. Usando la misma ley de crecimiento exponencial, la diferencia después de 5 segundos sería 100 veces mayor que con $\mathrm{\Delta }{\theta }_0=0.002°$ (ya que $0.1°/0.001°=100$). Esto demuestra que el sistema es extremadamente sensible a cambios en las condiciones iniciales.
   $$\mathrm{\Delta }\theta {(5)}_{\text{nuevo}}=0.2°\times e^{\lambda \times 5}=100\times \mathrm{\Delta }\theta {(5)}_{\text{original}}$$

→ Con $\pm 0.1°$ de error, la diferencia angular acumulada sería 100 veces mayor que con $\pm 0.001°$

Pregunta 1 (2 pts) — Escribe las ecuaciones de Lorenz con los parámetros dados

1. Ecuaciones con parámetros — Sustituimos los valores dados en las ecuaciones de Lorenz estándar.
   $$\begin{array}{cc}\dot{x}& =10(y-x)\\ \dot{y}& =x(28-z)-y\\ \dot{z}& =xy-\frac{8}{3}z\end{array}$$

→ Las ecuaciones son $\dot{x}=10(y-x)$, $\dot{y}=x(28-z)-y$, $\dot{z}=xy-\frac{8}{3}z$

Pregunta 2 (3 pts) — Calcula numéricamente el valor de $x$, $y$, $z$ después de 1 hora usando el método de Euler con paso $\mathrm{\Delta }t=10\text{segundos}$ (muestra los primeros 3 pasos)

1. Primeros pasos del método de Euler — Calculamos los primeros 3 pasos con $\mathrm{\Delta }t=10\text{s}$. Para $n=0$: ${\dot{x}}_0=10(1-0)=10$, ${\dot{y}}_0=0(28-1.05)-1=-1$, ${\dot{z}}_0=0\times 1-\frac{8}{3}\times 1.05=-2.8$. Luego actualizamos: $x_1=0+10\times 10=100$, $y_1=1+10\times (-1)=-9$, $z_1=1.05+10\times (-2.8)=-16.95$. Repetimos para $n=1$ y $n=2$.
   $$\begin{array}{cc}& x_1=100,y_1=-9,z_1=-16.95\\ & x_2=100+10\times (-900)=-8900\\ & y_2=-9+10\times (100\times (28-(-16.95))-(-9))\approx 44901\\ & z_2=-16.95+10\times (100\times (-9))=-9016.95\end{array}$$

$$x\approx 100,y\approx -9,z\approx -16.95$$

→ Después de 3 pasos (30 segundos): $x\approx 100$, $y\approx -9$, $z\approx -16.95$

Pregunta 3 (2 pts) — Interpreta físicamente qué representa cada variable en el contexto del clima colombiano

1. Interpretación física — En el contexto colombiano: $x$ representa la diferencia de temperatura entre la superficie del mar (Cartagena) y la atmósfera superior. $y$ podría ser la velocidad del viento que transporta humedad desde el Pacífico. $z$ indica la intensidad de la convección, clave para la formación de nubes de lluvia en la región Andina.
   $$x:\text{diferencia de temperatura}y:\text{velocidad del viento}z:\text{intensidad de convección}$$

→ $x$: diferencia de temperatura; $y$: velocidad del viento; $z$: intensidad de convección

Pregunta 4 (1 pts) — Explica por qué este modelo muestra dependencia sensible a condiciones iniciales

1. Dependencia sensible — Pequeños cambios en las condiciones iniciales (por ejemplo, $z_0=1.05$ vs $z_0=1.06$) llevan a trayectorias completamente diferentes en el espacio de fase. Esto explica por qué las predicciones del clima en Colombia pueden variar drásticamente con pequeños errores en los datos iniciales.
   $$\text{Pequeño }\mathrm{\Delta }{z}_0\Rightarrow \text{Grande }\mathrm{\Delta }(x(t),y(t),z(t))\text{ para }t>0$$

→ El modelo muestra dependencia sensible porque pequeñas variaciones iniciales generan grandes diferencias en las soluciones a largo plazo

Pregunta 1 (3 pts) — Calcula $N_1$, $N_2$, $N_3$, $N_4$, $N_5$ usando la ecuación dada

1. Cálculo iterativo — Calculamos cada valor paso a paso: $N_1=3.8\times 0.3\times (1-0.3)=0.798$, $N_2=3.8\times 0.798\times (1-0.798)\approx 0.615$, y así sucesivamente.
   $$\begin{array}{cc}{N}_1& =0.798\\ N_2& =0.615\\ N_3& =0.892\\ N_4& =0.368\\ N_5& =0.862\end{array}$$

$$N_1=0.798,N_2=0.615,N_3=0.892,N_4=0.368,N_5=0.862$$

→ Los valores son: $N_1=0.798$, $N_2=0.615$, $N_3=0.892$, $N_4=0.368$, $N_5=0.862$

Pregunta 2 (1 pts) — Grafica los valores obtenidos (puedes hacerlo mentalmente o en una hoja)

1. Gráfica conceptual — Al graficar $N_t$ vs $t$, se observa que los valores no se repiten y fluctúan sin un patrón claro, lo que sugiere comportamiento caótico.

→ La gráfica muestra fluctuaciones irregulares sin periodicidad aparente

Pregunta 3 (2 pts) — Determina si el sistema es periódico o caótico en este rango. Justifica tu respuesta

1. Determinación de periodicidad — Como los valores $N_t$ no se repiten en las primeras 5 iteraciones y no muestran un ciclo claro, el sistema es caótico en este rango para $r=3.8$.
   $$\text{No hay periodicidad en }t=0\text{ a }5$$

→ El sistema es caótico porque no hay periodicidad en las primeras 5 iteraciones

Pregunta 4 (1 pts) — ¿Qué pasaría si $r=3.9$ en lugar de 3.8?

1. Cambio de parámetro — Para $r=3.9$, el sistema sigue siendo caótico pero con una divergencia más rápida. Pequeños cambios en $r$ (como de 3.8 a 3.9) amplifican las diferencias en $N_t$ con el tiempo, mostrando la dependencia sensible.
   $$r=3.9\Rightarrow \text{mayor divergencia en }{N}_t$$

→ Con $r=3.9$ el sistema sigue siendo caótico pero diverge más rápido

Pregunta 1 (1 pts) — Calcula el coeficiente de fricción $\mu$ para $H=75$

1. Coeficiente de fricción — Sustituimos $H=75$ en la fórmula dada.
   $$\mu =0.02+0.001\times 75=0.095$$

$$\mu =0.095$$

→ El coeficiente de fricción es $\mu =0.095$

Pregunta 2 (2 pts) — Determina la aceleración neta del tren con $H=75$

1. Aceleración con $H=75$ — Calculamos la fuerza de fricción $f=\mu mg=0.095\times 200000\times 9.8=186200\text{N}$. La fuerza neta es $F_{\text{net}}=120000-186200=-66200\text{N}$ (el tren no se mueve, acelera hacia atrás).
   $$F_{\text{net}}=120000-186200=-66200\text{N}$$

$$a=-0.331{\text{m/s}}^2$$

→ La aceleración neta es negativa: $-0.331{\text{m/s}}^2$ (el tren no avanza)

Pregunta 3 (2 pts) — Calcula la velocidad final del tren después de 30 segundos

1. Velocidad final — Como la aceleración es negativa, la velocidad disminuye. $v=v_0+at=0+(-0.331)\times 30=-9.93\text{m/s}$ (el tren se mueve hacia atrás).
   $$v=-0.331\times 30=-9.93\text{m/s}$$

$$v=-9.93\text{m/s}$$

→ La velocidad final es $-9.93\text{m/s}$ (hacia atrás)

Pregunta 4 (2 pts) — Repite los cálculos para $H=80$ y compara los resultados

1. Cálculo con $H=80$ — Para $H=80$: $\mu =0.02+0.001\times 80=0.1$. La fuerza de fricción es $f=0.1\times 200000\times 9.8=196000\text{N}$. Fuerza neta: $F_{\text{net}}=120000-196000=-76000\text{N}$. Aceleración: $a=-76000/200000=-0.38{\text{m/s}}^2$. Velocidad final: $v=-0.38\times 30=-11.4\text{m/s}$.
   $$v=-11.4\text{m/s}$$

$$v=-11.4\text{m/s}$$

→ Con $H=80$, la velocidad final es $-11.4\text{m/s}$ (mayor magnitud hacia atrás)

Pregunta 5 (2 pts) — Explica por qué este sistema muestra dependencia sensible a la humedad inicial

1. Dependencia sensible — Un cambio de solo 5% en la humedad ($H=75$ a $H=80$) genera una diferencia de $1.47\text{m/s}$ en la velocidad final. Esto ilustra cómo pequeñas variaciones en condiciones iniciales (como la humedad ambiental) pueden tener efectos significativos en sistemas físicos.
   $$\mathrm{\Delta }v=1.47\text{m/s}\text{ para }\mathrm{\Delta }H=5$$

→ Un cambio de 5% en H genera una diferencia de 1.47 m/s en la velocidad final, mostrando dependencia sensible

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula $T_6$ usando el modelo determinista con los datos dados

1. Predicción determinista — Aplicamos la fórmula del modelo con los datos proporcionados.
   $$T_6=22.0+0.5(22.0-22.5)=21.75°C$$

21.75°C

→ La temperatura predicha para el día 6 es $21.75°C$

Pregunta 2 (2 pts) — Determina el rango de $T_6$ considerando el error de $\pm 0.2°C$ en cada medición

1. Rango de predicción — Consideramos el peor caso donde todos los datos tienen error máximo en la misma dirección.
   $$\begin{array}{cc}{T}_{6,\text{min}}& =(22.0-0.2)+0.5((22.0-0.2)-(22.5+0.2))=21.55°C\\ T_{6,\text{max}}& =(22.0+0.2)+0.5((22.0+0.2)-(22.5-0.2))=21.95°C\end{array}$$

$$21.55°C\text{ a }21.95°C$$

→ El rango de $T_6$ es de $21.55°C$ a $21.95°C$

Pregunta 3 (2 pts) — Si el error se acumula en cada paso del modelo, calcula el error máximo posible en $T_6$ después de 5 iteraciones

1. Error acumulado — Si el error se acumula en cada iteración, después de 5 pasos el error máximo posible es $5\times 0.2°C=1.0°C$. Por lo tanto, $T_6$ podría variar entre $20.75°C$ y $22.75°C$.
   $$T_{6,\text{min}}=21.75-1.0=20.75°C,T_{6,\text{max}}=21.75+1.0=22.75°C$$

$$20.75°C\text{ a }22.75°C$$

→ Con error acumulado, el rango es de $20.75°C$ a $22.75°C$

Pregunta 4 (2 pts) — Explica por qué este ejemplo ilustra el efecto mariposa en predicciones climáticas reales en Colombia

1. Efecto mariposa en predicciones — Este ejemplo muestra que un error de solo $\pm 0.2°C$ en las mediciones iniciales (como la temperatura del día 1) puede generar una incertidumbre de hasta $2.0°C$ en la predicción a 5 días. En el contexto colombiano, donde el clima varía rápidamente entre regiones (Andes, Caribe, Amazonía), esto explica por qué las predicciones a más de 3 días son inciertas.
   $$\text{Error inicial }\pm 0.2°C\Rightarrow \text{Error en }{T}_6\pm 2.0°C$$

→ Un error mínimo en mediciones iniciales genera gran incertidumbre en predicciones a mediano plazo, ilustrando el efecto mariposa

Pregunta 5 (2 pts) — Propón una estrategia para reducir la incertidumbre en las predicciones

1. Estrategia de reducción de incertidumbre — Para reducir la incertidumbre, se pueden usar modelos de ensemble (múltiples simulaciones con pequeñas variaciones en condiciones iniciales) y datos en tiempo real de estaciones meteorológicas distribuidas en todo el país, como las de <<El Dorado>> en Bogotá o <<Río Grande>> en Antioquia.
   $$\text{Modelos de ensemble + datos en tiempo real}$$

→ Usar modelos de ensemble y datos en tiempo real de múltiples estaciones meteorológicas

Pregunta 1 (2 pts) — Resuelve la ecuación diferencial para encontrar $P(t)$

1. Solución general — Aplicamos la fórmula de solución para ecuaciones diferenciales lineales de este tipo.
   $$P(t)=1200+(1000-1200)e^{-0.1t}=1200-200e^{-0.1t}$$

$$P(t)=1200-200e^{-0.1t}$$

→ La solución es $P(t)=1200-200e^{-0.1t}$

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula el precio después de 6 meses

1. Precio a 6 meses — Sustituimos $t=6$ en la solución: $P(6)=1200-200e^{-0.6}\approx 1200-200\times 0.5488=1200-109.76=1090.24$.
   $$P(6)=1200-200e^{-0.6}\approx 1090.24\text{miles de }COP$$

$$1090240\text{COP}$$

→ El precio después de 6 meses es aproximadamente $1090240$ COP por carga

Pregunta 3 (2 pts) — Determina el precio a largo plazo ($t\to \infty$) y explica su significado económico

1. Precio a largo plazo — Cuando $t\to \infty$, $e^{-0.1t}\to 0$, por lo que $P(\infty )=1200$. Esto significa que el precio tiende al equilibrio económico, donde la oferta iguala a la demanda.
   $$P(\infty )=1200\text{miles de }COP$$

$$1200000\text{COP}$$

→ El precio a largo plazo es $1200000$ COP por carga, el equilibrio del mercado

Pregunta 4 (2 pts) — Analiza el efecto de cambiar $P_0$ a 1005 en el precio a 6 meses

1. Efecto de cambiar $P_0$ — Para $P_0=1005$: $P(6)=1200-195e^{-0.6}\approx 1200-107.02=1092.98$. La diferencia con el caso original es $1092.98-1090.24=2.74$ miles de COP, es decir, $2740$ COP.
   $$\mathrm{\Delta }P(6)=2.74\text{miles de }COP$$

$$2740\text{COP}$$

→ Un cambio de 5 000 COP en $P_0$ genera una diferencia de 2 740 COP en el precio a 6 meses

Pregunta 5 (2 pts) — Explica por qué este modelo, aunque simple, muestra dependencia sensible a condiciones iniciales en contextos económicos reales

1. Dependencia sensible en economía — Aunque este modelo es determinista, en la realidad los mercados están sujetos a múltiples factores aleatorios (rumores, clima, políticas internacionales). Un pequeño cambio en las condiciones iniciales (como un rumor en Paloquemao) puede alterar las expectativas de los productores y consumidores, generando grandes variaciones en los precios. Esto es especialmente relevante en Colombia, donde el café es un producto de exportación con precios volátiles.
   $$\text{Rumores en Paloquemao}\Rightarrow \mathrm{\Delta }{P}_0\Rightarrow \mathrm{\Delta }P(t)$$

→ Pequeños cambios en condiciones iniciales (como rumores) pueden alterar significativamente los precios debido a la interconexión del mercado