Ejercicios de capacitancia y condensadores en Colombia

1. Conversión de unidades — Convierte el área de $200{\text{ cm}}^2$ a ${\text{m}}^2$ y la distancia de $1\text{ mm}$ a $\text{m}$ para trabajar en el sistema internacional.
   $$A=200\times {10}^{-4}=2\times {10}^{-2}{\text{ m}}^2;d=1\times {10}^{-3}\text{ m}$$
2. Aplicación de la fórmula — Sustituye los valores en la fórmula de capacitancia para un condensador plano con aire como dieléctrico.
   $$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}=\frac{8.85\times {10}^{-12}\times 1\times 2\times {10}^{-2}}{1\times {10}^{-3}}$$
3. Cálculo final — Realiza la operación y convierte el resultado a nanofaradios para que sea más manejable.
   $$C=1.77\times {10}^{-10}\text{ F}=0.177\text{ nF}$$

$$0.177\text{ nF}$$

→ La capacitancia del condensador es 0.177 nF.

1. Relación con dieléctrico — La capacitancia con dieléctrico es igual a la constante dieléctrica multiplicada por la capacitancia original.
   $$C={\epsilon }_r\times C_0$$
2. Sustitución de valores — Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
   $$C=5\times 10\text{ nF}$$
3. Resultado final — Calcula el producto para obtener la nueva capacitancia.
   $$C=50\text{ nF}$$

$$50\text{ nF}$$

→ La nueva capacitancia es 50 nF.

1. Conversión de unidades — Convierte la capacitancia de microfaradios a faradios para trabajar en unidades del sistema internacional.
   $$C=220\times {10}^{-6}\text{ F}$$
2. Aplicación de la fórmula de energía — Sustituye los valores en la fórmula de energía almacenada en un condensador.
   $$U=\frac{1}{2}\times 220\times {10}^{-6}\times {24}^2$$
3. Cálculo paso a paso — Primero calcula el cuadrado de la tensión, luego multiplica por la capacitancia y divide por 2.
   $$U=0.5\times 220\times {10}^{-6}\times 576=0.06336\text{ J}$$
4. Conversión a milijulios — Convierte el resultado de julios a milijulios multiplicando por 1000.
   $$U=0.06336\times 1000=63.36\text{ mJ}$$

$$63.36\text{ mJ}$$

→ La energía almacenada es 63.36 mJ.

1. Suma directa — En conexión en paralelo, la capacitancia equivalente es simplemente la suma de todas las capacitancias individuales.
   $$C_{eq}=C_1+C_2+C_3$$
2. Sustitución de valores — Sustituye los valores de cada condensador en la fórmula.
   $$C_{eq}=10+22+47$$
3. Cálculo final — Realiza la suma para obtener la capacitancia equivalente.
   $$C_{eq}=79\text{ nF}$$

$$79\text{ nF}$$

→ La capacitancia equivalente es 79 nF.

1. Fórmula para serie — Para condensadores en serie, la inversa de la capacitancia equivalente es la suma de las inversas de cada condensador.
   $$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$$
2. Cálculo de inversas — Calcula la inversa de cada capacitancia individual.
   $$\frac{1}{C_1}=\frac{1}{100\times {10}^{-9}}=1\times {10}^7{\text{ F}}^{-1};\frac{1}{C_2}=\frac{1}{470\times {10}^{-9}}=2.13\times {10}^6{\text{ F}}^{-1}$$
3. Suma de inversas — Suma las inversas de las capacitancias.
   $$\frac{1}{C_{eq}}=1\times {10}^7+2.13\times {10}^6=1.213\times {10}^7{\text{ F}}^{-1}$$
4. Cálculo de la equivalente — Calcula la capacitancia equivalente tomando la inversa del resultado anterior.
   $$C_{eq}=\frac{1}{1.213\times {10}^7}=8.24\times {10}^{-8}\text{ F}=82.4\text{ nF}$$

$$82.4\text{ nF}$$

→ La capacitancia equivalente es 82.4 nF.

1. Cálculo de la serie C₁-C₂ — Calcula primero la capacitancia equivalente de los condensadores en serie.
   $$\frac{1}{C_{12}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{100}+\frac{1}{220}=0.014545{\text{ nF}}^{-1}$$
2. Equivalente serie C₁₂ — Calcula $C_{12}$ tomando la inversa del resultado anterior.
   $$C_{12}=\frac{1}{0.014545}=68.75\text{ nF}$$
3. Conexión en paralelo con C₃ — Ahora suma $C_{12}$ con $C_3$ que está en paralelo.
   $$C_{eq}=C_{12}+C_3=68.75+470=538.75\text{ nF}$$

$$538.75\text{ nF}$$

→ La capacitancia equivalente total es 538.75 nF.

1. Conversión de unidades — Convierte la resistencia de kiloohmios a ohmios y la capacitancia de microfaradios a faradios.
   $$R=10\times {10}^3=10000\text{ Ω};C=100\times {10}^{-6}=0.0001\text{ F}$$
2. Cálculo del tiempo característico — Calcula el tiempo característico $\tau$ del circuito RC.
   $$\tau =R\times C=10000\times 0.0001=1\text{ s}$$
3. Tiempo al 63.2% de carga — El tiempo para alcanzar el 63.2% de la carga máxima es igual al tiempo característico $\tau$.
   $$t=\tau =1\text{ s}$$

$$1\text{ s}$$

→ El condensador tarda 1 segundo en alcanzar el 63.2% de su carga máxima.

1. Carga igual en serie — En una conexión en serie, la carga almacenada en cada condensador es la misma.
   $$Q=Q_1=Q_2$$
2. Expresión de carga — Expresa la carga en función de la capacitancia y la tensión para cada condensador.
   $$Q=C_1{V}_1=C_2{V}_2$$
3. Tensión total — La tensión total de la batería es la suma de las tensiones en cada condensador.
   $$V=V_1+V_2$$
4. Despeje de V₁ — Despeja $V_1$ en función de $V$, $C_1$ y $C_2$.
   $$V_1=V-V_2=V-\frac{Q}{C_2}=V-\frac{C_1{V}_1}{C_2}$$
5. Resolución para V₁ — Resuelve la ecuación para obtener $V_1$ en términos de $V$, $C_1$ y $C_2$.
   $$V_1(1+\frac{C_1}{C_2})=V\Rightarrow V_1=V\frac{C_2}{C_1+C_2}$$
6. Expresión para V₂ — De manera similar, despeja $V_2$ usando el mismo razonamiento.
   $$V_2=V-V_1=V-V\frac{C_2}{C_1+C_2}=V\frac{C_1}{C_1+C_2}$$

→ Se demostró que $V_1=V\frac{C_2}{C_1+C_2}$ y $V_2=V\frac{C_1}{C_1+C_2}$.

1. Cálculo de capacitancia mínima — Usa la fórmula de energía para encontrar la capacitancia mínima requerida.
   $$U=\frac{1}{2}C{V}^2\Rightarrow C=\frac{2U}{V^2}=\frac{2\times 50}{{24}^2}=0.1736\text{ F}$$
2. Conversión de distancia — Convierte la distancia entre placas de milímetros a metros.
   $$d=0.5\text{ mm}=0.5\times {10}^{-3}\text{ m}=5\times {10}^{-4}\text{ m}$$
3. Despeje de εᵣ — Despeja la constante dieléctrica de la fórmula de capacitancia.
   $$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}\Rightarrow {\epsilon }_r=\frac{Cd}{{\epsilon }_{0}A}$$
4. Sustitución de valores — Sustituye todos los valores conocidos para calcular ${\epsilon }_r$.
   $${\epsilon }_r=\frac{0.1736\times 5\times {10}^{-4}}{8.85\times {10}^{-12}\times 0.5}=1.96\times {10}^7$$
5. Interpretación del resultado — El valor obtenido es extremadamente alto, lo que indica que con aire (εᵣ=1) no se alcanza la energía requerida. Se necesita un material con constante dieléctrica muy alta.
   $${\epsilon }_r\approx 1.96\times {10}^7$$

$$1.96\times {10}^7$$

→ Se requiere un material con constante dieléctrica mínima de aproximadamente 1.96 × 10⁷, lo que no es práctico con materiales comunes. El diseño debe reconsiderarse.