Circuitos de CA: Ejercicios prácticos para Colombia

1. Identificación del tipo de circuito — La lámpara incandescente es un elemento resistivo puro. En este caso, toda la potencia aparente se convierte en potencia activa, sin componente reactiva.
2. Aplicación de la fórmula básica — Para un circuito resistivo puro, la potencia activa se calcula directamente multiplicando el voltaje eficaz por la corriente eficaz.
   $$P_{\text{activa}}=V\times I$$
3. Cálculo numérico — Sustituye los valores dados en la fórmula. Observa que el resultado debe ser menor o igual a la potencia nominal de la lámpara.
   $$P_{\text{activa}}=120\text{ V}\times 0.85\text{ A}=102\text{ W}$$
4. Verificación — El valor calculado (102 W) es ligeramente superior a la potencia nominal (100 W), lo cual es normal por pérdidas en los conductores y variaciones de voltaje en la red.

$$102\text{W}$$

→ La potencia activa disipada por la lámpara es de 102 W

1. Cálculo de potencia activa — La potencia activa es la parte real de la potencia aparente que realiza trabajo útil en el motor.
   $$P=S\times \text{FP}=500\text{ VA}\times 0.6=300\text{ W}$$
2. Aplicación del teorema de Pitágoras — En el triángulo de potencias, la potencia reactiva es el cateto que falta para completar el triángulo rectángulo.
   $$Q=\sqrt{S^2-P^2}$$
3. Sustitución de valores — Calcula primero $S^2$ y $P^2$, luego aplica la raíz cuadrada. Observa que $Q$ siempre es positiva en circuitos inductivos.
   $$Q=\sqrt{{(500)}^2-{(300)}^2}=\sqrt{250000-90000}=\sqrt{160000}=400\text{ VAR}$$

$$400\text{VAR}$$

→ La potencia reactiva demandada por el motor es de 400 VAR

1. Cálculo de potencia aparente — La potencia aparente es la hipotenusa del triángulo de potencias formado por P y Q.
   $$S=\sqrt{P^2+Q^2}$$
2. Sustitución de valores — Convierte primero las unidades a la misma base (kW y kVAR son compatibles). Calcula el valor numérico.
   $$S=\sqrt{{(12)}^2+{(9)}^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\text{ kVA}$$
3. Cálculo del factor de potencia — El factor de potencia indica qué fracción de la potencia aparente se convierte en trabajo útil. Un valor bajo significa ineficiencia energética.
   $$\text{FP}=\frac{P}{S}=\frac{12}{15}=0.8$$

$$S=15\text{kVA},\text{ FP}=0.8$$

→ La potencia aparente total es de 15 kVA y el factor de potencia es 0.8

1. Cálculo de potencia aparente inicial — La potencia aparente inicial es mayor debido al bajo factor de potencia, lo que genera recargos.
   $$S_i=\frac{P}{{\text{FP}}_i}=\frac{200}{0.7}\approx 285.71\text{ kVA}$$
2. Cálculo de potencia aparente final — Con el factor de potencia corregido a 0.95, la potencia aparente disminuye significativamente.
   $$S_f=\frac{P}{{\text{FP}}_f}=\frac{200}{0.95}\approx 210.53\text{ kVA}$$
3. Cálculo del recargo inicial — El recargo se aplica sobre la potencia aparente inicial. Calcula el 15% de este valor.
   $$\text{Recargo}=S_i\times 0.15\times \text{costo\_kVA}=285.71\times 0.15\times 350000\approx 15000000\text{ COP/mes}$$
4. Cálculo del costo final sin recargo — Con el nuevo factor de potencia, el costo mensual es simplemente la potencia aparente final multiplicada por el costo por kVA.
   $$\text{Costo\_final}=S_f\times \text{costo\_kVA}=210.53\times 350000\approx 73685500\text{ COP/mes}$$
5. Cálculo del ahorro total — El ahorro es la diferencia entre el costo inicial (con recargo) y el costo final.
   $$\text{Ahorro}=\text{Recargo}+(S_i-S_f)\times \text{costo\_kVA}=15000000+(285.71-210.53)\times 350000\approx 41000000\text{ COP/mes}$$

$$S_f=210.53\text{kVA},\text{ Ahorro}\approx 41000000\text{COP/mes}$$

→ La potencia aparente final será de 210.53 kVA y el ahorro mensual será de aproximadamente 41 000 000 COP

1. Cálculo de reactancias — Calcula las reactancias inductiva y capacitiva usando la frecuencia de la red colombiana (60 Hz).
   $$X_L=2\pi fL=2\pi \times 60\times 0.2\approx 75.40\mathrm{\Omega }$$
2. Cálculo de $X_C$ — Convierte primero la capacitancia a faradios (10 μF = 10×10⁻⁶ F).
   $$X_C=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi \times 60\times 10\times {10}^{-6}}\approx 265.26\mathrm{\Omega }$$
3. Cálculo de la impedancia total — La impedancia es la suma de la resistencia y la reactancia neta (inductiva menos capacitiva).
   $$Z=R+j(X_L-X_C)=50+j(75.40-265.26)=50-j189.86\mathrm{\Omega }$$
4. Cálculo del voltaje RMS — El voltaje pico es 120√2 V, por lo que el voltaje RMS es 120 V.
   $$V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}=\frac{120\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=120\text{ V}$$
5. Cálculo de la potencia compleja — La potencia compleja es el voltaje RMS al cuadrado dividido por el conjugado de la impedancia.
   $$S=\frac{V_{\text{rms}}^2}{Z^{\ast }}=\frac{{120}^2}{50+j189.86}=\frac{14400}{50+j189.86}$$
6. Simplificación final — Multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador para obtener la forma rectangular de la potencia compleja.
   $$S=\frac{14400(50-j189.86)}{{(50)}^2+{(189.86)}^2}=\frac{720000-j2733984}{39200}\approx 18.37-j69.74\text{ VA}$$

$$S\approx 18.37-j69.74\text{VA},\text{ capacitivo}$$

→ La potencia compleja es aproximadamente 18.37 - j69.74 VA, lo que indica que el circuito es capacitivo

1. Asunción del voltaje de transmisión — En líneas de transmisión de larga distancia en Colombia se usan voltajes típicos de 230 kV o 500 kV. Usaremos 230 kV para este cálculo.
   $$V_{\text{transmisión}}=230\text{ kV}$$
2. Cálculo de la corriente en la línea — La corriente se calcula a partir de la potencia transmitida, el voltaje y el factor de potencia.
   $$I=\frac{P_{\text{transmitida}}}{V_{\text{transmisión}}\times \text{FP}}=\frac{50\times {10}^6}{230\times {10}^3\times 0.85}\approx 256.1\text{ A}$$
3. Cálculo de las pérdidas por efecto Joule — Las pérdidas en la línea son proporcionales al cuadrado de la corriente y a la resistencia de la línea.
   $$P_{\text{pérdida}}=I^2\times R_{\text{línea}}={(256.1)}^2\times 15\approx 988\text{ kW}=0.988\text{ MW}$$
4. Cálculo del porcentaje de pérdidas — Las pérdidas representan un porcentaje pequeño pero significativo de la potencia total transmitida.
   $$\text{Porcentaje\_perdido}=\frac{P_{\text{pérdida}}}{P_{\text{transmitida}}}\times 100=\frac{0.988}{50}\times 100\approx 1.98\%$$

$$P_{\text{pérdida}}=0.988\text{MW},\text{ 1.98\%}$$

→ Las pérdidas de potencia en la línea son de 0.988 MW, lo que representa aproximadamente 1.98% de la potencia transmitida

1. Conversión de unidades de caudal — Convierte el caudal de m³/h a m³/s dividiendo por 3600.
   $$Q=\frac{1000}{3600}\approx 0.2778{\text{ m}}^3/\text{s}$$
2. Cálculo de potencia hidráulica — La potencia hidráulica es la energía por unidad de tiempo necesaria para elevar el agua.
   $$P_{\text{hidráulica}}=\rho \times g\times Q\times h=1000\times 9.81\times 0.2778\times 50\approx 136300\text{ W}=136.3\text{ kW}$$
3. Cálculo de potencia eléctrica de entrada — La potencia eléctrica debe ser mayor debido a las pérdidas en el sistema (eficiencia del 75%).
   $$P_{\text{eléctrica}}=\frac{P_{\text{hidráulica}}}{\eta }=\frac{136.3}{0.75}\approx 181.73\text{ kW}$$
4. Cálculo de potencia aparente — La potencia aparente es mayor que la potencia activa debido al factor de potencia menor que 1.
   $$S=\frac{P_{\text{eléctrica}}}{\text{FP}}=\frac{181.73}{0.88}\approx 206.51\text{ kVA}$$
5. Cálculo de la corriente de línea — En un sistema trifásico, la corriente se calcula usando el voltaje de línea y la potencia aparente.
   $$I=\frac{S}{\sqrt{3}\times V_{\text{línea}}}=\frac{206.51\times {10}^3}{\sqrt{3}\times 440}\approx 271.5\text{ A}$$

$$S=206.51\text{kVA},I=271.5\text{A}$$

→ La potencia aparente requerida es de 206.51 kVA y la corriente de línea es de 271.5 A

1. Simplificación de la función de potencia — Aplica la identidad trigonométrica para expresar la potencia en una forma más fácil de integrar.
   $$p(t)=1000{\sin }^2(100\pi t)=1000\times \frac{1-\cos (200\pi t)}{2}=500-500\cos (200\pi t)\text{ kW}$$
2. Cálculo de la energía total — Integra la potencia instantánea sobre 24 horas. La integral del término coseno sobre un período completo es cero.
   $$E={\int }_0^{24}p(t)dt={\int }_0^{24}[500-500\cos (200\pi t)]dt=500\times 24-500\times {\int }_0^{24}\cos (200\pi t)dt=12000\text{ kWh}$$
3. Cálculo de la potencia promedio — La potencia promedio es simplemente la energía total dividida por el tiempo total.
   $$P_{\text{promedio}}=\frac{E}{T}=\frac{12000}{24}=500\text{ kW}$$
4. Cálculo de la fracción de capacidad — La fracción indica qué tan eficientemente se usa la capacidad instalada del parque solar.
   $$\text{Fracción}=\frac{P_{\text{promedio}}}{P_{\text{instalada}}}=\frac{500}{1000}=0.5=50\%$$

$$E=12000\text{kWh},P_{\text{promedio}}=500\text{kW},50\%$$

→ La energía total generada en un día es de 12000 kWh, la potencia promedio es de 500 kW y representa el 50% de la capacidad instalada