Circuitos de corriente alterna en Colombia: ejercicios clave

1. Fórmula de reactancia inductiva — La reactancia inductiva se calcula con la fórmula que relaciona la frecuencia angular y la inductancia.
   $$X_L=2\pi fL$$
2. Sustitución de valores — Reemplaza los valores dados en la fórmula, asegurándote de usar las unidades correctas.
   $$X_L=2\pi \times 60\text{ Hz}\times 0.5\text{ H}$$
3. Cálculo final — Realiza la multiplicación para obtener el valor numérico de la reactancia inductiva.
   $$X_L=188.5\text{ Ω}$$

$$X_L=188.5\mathrm{\Omega }$$

→ La reactancia inductiva de la bobina es 188.5 Ω.

1. Conversión de unidades — Convierte la capacitancia de microfaradios a faradios para usar en la fórmula.
   $$20\mu \text{F}=20\times {10}^{-6}\text{F}$$
2. Fórmula de reactancia capacitiva — Aplica la fórmula que relaciona la frecuencia y la capacitancia para encontrar la reactancia capacitiva.
   $$X_C=\frac{1}{2\pi fC}$$
3. Sustitución y cálculo — Sustituye los valores y realiza el cálculo paso a paso.
   $$X_C=\frac{1}{2\pi \times 50\text{ Hz}\times 20\times {10}^{-6}\text{ F}}=159.15\mathrm{\Omega }$$

$$X_C=159.15\mathrm{\Omega }$$

→ La reactancia capacitiva del capacitor es 159.15 Ω.

1. Cálculo de reactancias — Calcula primero las reactancias inductiva y capacitiva usando las fórmulas correspondientes.
   $$X_L=2\pi fL=37.7\mathrm{\Omega }{X}_C=\frac{1}{2\pi fC}=53.05\mathrm{\Omega }$$
2. Diferencia de reactancias — Resta la reactancia capacitiva de la inductiva para obtener la reactancia neta.
   $$X_L-X_C=37.7\mathrm{\Omega }-53.05\mathrm{\Omega }=-15.35\mathrm{\Omega }$$
3. Cálculo de impedancia — Aplica la fórmula de la impedancia total en un circuito RLC en serie.
   $$Z=\sqrt{R^2+{(X_L-X_C)}^2}=\sqrt{{30}^2+{(-15.35)}^2}=33.73\mathrm{\Omega }$$

$$Z=33.73\mathrm{\Omega }$$

→ La impedancia total del circuito RLC es 33.73 Ω.

1. Fórmula del factor de potencia — El factor de potencia es la relación entre la potencia real y la potencia aparente.
   $$\cos \varphi =\frac{P}{S}$$
2. Sustitución de valores — Reemplaza los valores dados en la fórmula para calcular el factor de potencia.
   $$\cos \varphi =\frac{8\text{kW}}{10\text{kVA}}=0.8$$
3. Interpretación — Un factor de potencia de 0.8 indica que el motor no está operando a máxima eficiencia, ya que parte de la energía se pierde en reactiva.

$$\cos \varphi =0.8$$

→ El factor de potencia del motor es 0.8, lo que indica una eficiencia moderada.

1. Cálculo de potencia real — Calcula la potencia real usando el factor de potencia y la potencia aparente.
   $$P=S\cos \varphi =5\text{kVA}\times 0.92=4.6\text{kW}$$
2. Aplicación del teorema de Pitágoras — La potencia reactiva se obtiene despejando en la relación $S^2=P^2+Q^2$.
   $$Q=\sqrt{S^2-P^2}=\sqrt{5^2-{4.6}^2}=1.96\text{kVAR}$$
3. Interpretación — La potencia reactiva de 1.96 kVAR indica la energía que circula entre la fuente y la carga sin ser transformada en luz.

$$Q=1.96\text{kVAR}$$

→ La potencia reactiva del sistema de iluminación es 1.96 kVAR.

1. Fórmula de corriente en sistema trifásico — Para un sistema trifásico en estrella, la corriente de línea se calcula usando el voltaje de línea y la impedancia por fase.
   $$I_L=\frac{V_L}{\sqrt{3}Z}$$
2. Sustitución de valores — Reemplaza los valores dados en la fórmula, incluyendo el factor de potencia si fuera necesario (en este caso no afecta directamente la corriente).
   $$I_L=\frac{440\text{V}}{\sqrt{3}\times 10\mathrm{\Omega }}=25.4\text{A}$$
3. Verificación de unidades — La corriente resultante tiene unidades de amperios, lo cual es consistente con una corriente eléctrica.

$$I_L=25.4\text{A}$$

→ La corriente de línea del motor trifásico es 25.4 A.

1. Impedancia por lámpara — Calcula la impedancia de una sola lámpara usando la resistencia y la reactancia inductiva.
   $$Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{{200}^2+{150}^2}=250\mathrm{\Omega }$$
2. Corriente por lámpara — Usa la ley de Ohm para calcular la corriente en cada lámpara.
   $$I=\frac{V}{Z}=\frac{120\text{V}}{250\mathrm{\Omega }}=0.48\text{A}$$
3. Corriente total — Como las lámparas están en paralelo, la corriente total es la suma de las corrientes en cada una.
   $$I_T=N\times I=20\times 0.48\text{A}=9.6\text{A}$$
4. Potencia por lámpara — Calcula la potencia disipada en cada lámpara usando $P=I^{2}R$.
   $$P=I^{2}R={(0.48\text{A})}^2\times 200\mathrm{\Omega }=46.08\text{W}$$
5. Potencia total — La potencia total es la suma de las potencias en todas las lámparas.
   $$P_T=N\times P=20\times 46.08\text{W}=921.6\text{W}$$

→ La corriente total suministrada por la fuente es 9.6 A y la potencia total consumida por las lámparas es 921.6 W.

1. Cálculo de ángulos de fase — Calcula los ángulos de fase inicial y final usando el arcoseno del factor de potencia.
   $${\varphi }_1=\arccos (0.7)=45.57°{\varphi }_2=\arccos (0.95)=18.19°$$
2. Potencia reactiva inicial — Calcula la potencia reactiva inicial usando la tangente del ángulo de fase.
   $$Q_1=P\tan {\varphi }_1=5\text{kW}\times \tan (45.57°)=5.1\text{kVAR}$$
3. Potencia reactiva final — Calcula la potencia reactiva final deseada.
   $$Q_2=P\tan {\varphi }_2=5\text{kW}\times \tan (18.19°)=1.64\text{kVAR}$$
4. Potencia reactiva a compensar — La potencia reactiva que debe ser compensada por el capacitor es la diferencia entre $Q_1$ y $Q_2$.
   $$Q_C=Q_1-Q_2=5.1\text{kVAR}-1.64\text{kVAR}=3.46\text{kVAR}$$
5. Cálculo de la capacitancia — Usa la fórmula de la reactancia capacitiva para encontrar la capacitancia necesaria.
   $$X_C=\frac{V^2}{Q_C}=\frac{{(220\text{V})}^2}{3.46\times {10}^3\text{VAR}}=13.93\mathrm{\Omega }$$
6. Capacitancia requerida — Convierte la reactancia capacitiva a capacitancia usando $C=\frac{1}{2\pi f{X}_C}$.
   $$C=\frac{1}{2\pi \times 60\text{Hz}\times 13.93\mathrm{\Omega }}=191.2\mu \text{F}$$

$$C=191.2\mu \text{F}$$

→ La capacitancia del capacitor necesaria para elevar el factor de potencia a 0.95 es 191.2 μF.