Ejercicios de circuitos de corriente alterna en Colombia

1. Identificar parámetros — La función dada es $v(t)=311\sin (377t)$. Aquí, $V_m=311\text{ V}$ y $\omega =377\text{ rad/s}$. El voltaje máximo en la red colombiana es aproximadamente $311\text{ V}$ (que corresponde a $220\text{ V RMS}$).
   $$V_m=311\text{ V},\omega =377\text{ rad/s}$$
2. Calcular el ángulo — Sustituye $t=0.005\text{ s}$ en $\omega t$ para encontrar el ángulo en radianes.
   $$\theta =377\times 0.005=1.885\text{ rad}$$
3. Evaluar la función seno — Calcula $\sin (1.885)$ usando una calculadora. Aproxima a 4 decimales.
   $$\sin (1.885)\approx 0.9511$$
4. Calcular voltaje instantáneo — Multiplica el voltaje máximo por el valor del seno para obtener $v(0.005)$.
   $$v(0.005)=311\times 0.9511\approx 295.8\text{ V}$$

$$295.8\text{ V}$$

→ El voltaje instantáneo en $t=0.005\text{ s}$ es aproximadamente $295.8\text{ V}$.

1. Fórmula de relación — Para una onda sinusoidal, el voltaje RMS ($V_{RMS}$) se calcula como $V_{RMS}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$.
   $$V_{RMS}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$$
2. Despejar $V_m$ — Multiplica ambos lados por $\sqrt{2}$ para obtener $V_m=V_{RMS}\times \sqrt{2}$.
   $$V_m=V_{RMS}\times \sqrt{2}$$
3. Sustituir valores — Reemplaza $V_{RMS}=120\text{ V}$ y calcula.
   $$V_m=120\times 1.414\approx 169.7\text{ V}$$

$$169.7\text{ V}$$

→ El voltaje máximo que recibe el ventilador es aproximadamente $169.7\text{ V}$.

1. Calcular voltaje RMS — Convierte el voltaje máximo a RMS usando la relación para ondas sinusoidales.
   $$V_{RMS}=\frac{311}{\sqrt{2}}=\frac{311}{1.414}\approx 219.9\text{ V}$$
2. Aplicar fórmula de potencia — Usa la fórmula $P_{avg}=\frac{V_{RMS}^2}{R}$ para calcular la potencia promedio disipada.
   $$P_{avg}=\frac{{(219.9)}^2}{50}=\frac{48356.01}{50}\approx 967.1\text{ W}$$

$$967.1\text{ W}$$

→ La plancha disipa aproximadamente $967.1\text{ W}$ de potencia promedio.

1. Fórmula de reactancia inductiva — La reactancia inductiva para una bobina está dada por $X_L=2\pi fL$, donde $f$ es la frecuencia y $L$ la inductancia.
   $$X_L=2\pi fL$$
2. Sustituir valores — Reemplaza $f=60\text{ Hz}$ y $L=0.5\text{ H}$ en la fórmula.
   $$X_L=2\times 3.1416\times 60\times 0.5$$
3. Calcular — Realiza la multiplicación paso a paso: primero $2\pi$, luego multiplica por $f$ y finalmente por $L$.
   $$X_L=6.2832\times 60\times 0.5=188.5\text{ Ω}$$

$$188.5\text{ Ω}$$

→ La reactancia inductiva del motor es $188.5\mathrm{\Omega }$.

1. Energía total mensual — Calcula la energía total consumida en 30 días.
   $$E_{mensual}=1.5\text{ kWh/día}\times 30\text{ días}=45\text{ kWh}$$
2. Costo total — Multiplica la energía total por el costo por kWh.
   $$C_{mensual}=45\text{ kWh}\times 700\text{ COP/kWh}=31500\text{ COP}$$

$$31500\text{ COP}$$

→ El costo mensual de operar el refrigerador es $31500\text{ COP}$.

1. Convertir unidades — Convierte la capacitancia de microfaradios a faradios: $10\mu \text{F}=10\times {10}^{-6}\text{ F}={10}^{-5}\text{ F}$.
   $$C={10}^{-5}\text{ F}$$
2. Calcular reactancia capacitiva — Usa la fórmula $X_C=\frac{1}{2\pi fC}$.
   $$X_C=\frac{1}{2\pi \times 60\times {10}^{-5}}=\frac{1}{0.00377}\approx 265.3\text{ Ω}$$
3. Calcular impedancia total — La impedancia en un circuito RC serie es $Z=\sqrt{R^2+X_C^2}$.
   $$Z=\sqrt{{100}^2+{265.3}^2}=\sqrt{10000+70382.09}=\sqrt{80382.09}\approx 283.5\text{ Ω}$$
4. Calcular corriente RMS — Aplica la ley de Ohm para CA: $I_{RMS}=\frac{V_{RMS}}{Z}$.
   $$I_{RMS}=\frac{120}{283.5}\approx 0.423\text{ A}$$

$$0.423\text{ A}$$

→ La corriente RMS en el circuito es aproximadamente $0.423\text{ A}$.

1. Calcular reactancia inductiva — Usa $X_L=2\pi fL$ para encontrar la reactancia.
   $$X_L=2\pi \times 60\times 0.2=75.4\text{ Ω}$$
2. Calcular tangente del ángulo — La tangente del ángulo de fase está dada por $\tan \varphi =\frac{X_L}{R}$.
   $$\tan \varphi =\frac{75.4}{50}=1.508$$
3. Calcular ángulo de fase — Usa la función arctangente para encontrar $\varphi ={\tan }^{-1}(1.508)$.
   $$\varphi ={\tan }^{-1}(1.508)\approx 56.4°$$
4. Interpretar el resultado — Un ángulo de fase positivo (56.4° ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲[1m56.4°) indica que el voltaje adelanta a la corriente, típico en circuitos inductivos como este.

$$56.4\text{°}$$

→ El ángulo de fase entre el voltaje y la corriente es $56.4°$, con el voltaje adelantando a la corriente.

1. Calcular magnitud de la impedancia — Encuentra $|Z|=\sqrt{R^2+X^2}=\sqrt{{60}^2+{80}^2}$.
   $$|Z|=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10000}=100\text{ Ω}$$
2. Calcular corriente RMS — Usa $I_{RMS}=\frac{V_{RMS}}{|Z|}$.
   $$I_{RMS}=\frac{220}{100}=2.2\text{ A}$$
3. Calcular potencia aparente — La potencia aparente es $S=V_{RMS}{I}_{RMS}$.
   $$S=220\times 2.2=484\text{ VA}$$
4. Calcular potencia real — La potencia real es $P=I_{RMS}^{2}R$.
   $$P={(2.2)}^2\times 60=4.84\times 60=290.4\text{ W}$$
5. Calcular factor de potencia — El factor de potencia es $FP=\frac{P}{S}=\frac{R}{|Z|}$.
   $$FP=\frac{60}{100}=0.6$$

$$S=484\text{ VA},P=290.4\text{ W},FP=0.6$$

→ Potencia aparente: $484\text{ VA}$, potencia real: $290.4\text{ W}$, factor de potencia: $0.6$.

1. Convertir unidades — Convierte la capacitancia de microfaradios a faradios.
   $$C=2200\times {10}^{-6}=0.0022\text{ F}$$
2. Calcular energía almacenada — Usa la fórmula $W=\frac{1}{2}C{V}_m^2$.
   $$W=\frac{1}{2}\times 0.0022\times {(311)}^2$$
3. Realizar cálculos — Primero calcula ${311}^2$, luego multiplica por $C$ y divide por 2.
   $$W=0.5\times 0.0022\times 96721=106.39\text{ J}$$

$$106.39\text{ J}$$

→ La energía máxima almacenada en el capacitor es $106.39\text{ J}$.

1. Convertir unidades — Convierte la capacitancia a faradios.
   $$C=10\times {10}^{-6}={10}^{-5}\text{ F}$$
2. Calcular producto LC — Calcula $L\times C$.
   $$LC=0.1\times {10}^{-5}={10}^{-6}\text{ H·F}$$
3. Calcular raíz cuadrada — Encuentra $\sqrt{LC}=\sqrt{{10}^{-6}}={10}^{-3}$.
   $$\sqrt{LC}={10}^{-3}\text{ s}$$
4. Calcular frecuencia de resonancia — Usa $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$.
   $$f_0=\frac{1}{2\pi \times {10}^{-3}}=\frac{1}{0.006283}\approx 159.2\text{ Hz}$$

$$159.2\text{ Hz}$$

→ La frecuencia de resonancia del circuito es $159.2\text{ Hz}$.

1. Calcular corriente en el horno — Usa $I_1=\frac{V_{RMS}}{Z_1}$ para la corriente en el horno.
   $$I_1=\frac{220}{40}=5.5\text{ A}$$
2. Calcular corriente en la nevera — Usa $I_2=\frac{V_{RMS}}{Z_2}$ para la corriente en la nevera.
   $$I_2=\frac{220}{50}=4.4\text{ A}$$
3. Calcular corriente total — Suma las corrientes en ambas ramas: $I_{total}=I_1+I_2$.
   $$I_{total}=5.5+4.4=9.9\text{ A}$$

$$9.9\text{ A}$$

→ La corriente total suministrada por la fuente es $9.9\text{ A}$.