Por qué falla tu lamparita: Circuitos eléctricos en Colombia

1. Fórmula de potencia — La potencia eléctrica se calcula con la fórmula $P=V\times I$, donde $P$ es la potencia, $V$ es el voltaje y $I$ es la corriente.
   $$P=V\cdot I$$
2. Despejar corriente — Despejamos $I$ de la fórmula: $I=\frac{P}{V}$
   $$I=\frac{P}{V}$$
3. Sustituir valores — Sustituimos los valores conocidos: $P=15\text{W}$ y $V=120\text{V}$
   $$I=\frac{15\text{W}}{120\text{V}}$$
4. Cálculo final — Realizamos la división para obtener el valor de la corriente.
   $$I=0.125\text{A}$$

$$I=0.125\text{A}$$

→ La corriente que debería circular por la bombilla es 0.125 amperios.

1. Resistencia equivalente en serie — En un circuito en serie, las resistencias se suman directamente: $R_{eq}=R_1+R_2+R_3$.
   $$R_{eq}=R_1+R_2+R_3$$
2. Cálculo de Req — Sustituimos los valores: $R_{eq}=10\mathrm{\Omega }+20\mathrm{\Omega }+30\mathrm{\Omega }=60\mathrm{\Omega }$.
   $$R_{eq}=10\mathrm{\Omega }+20\mathrm{\Omega }+30\mathrm{\Omega }=60\mathrm{\Omega }$$
3. Aplicar Ley de Ohm — Usamos la Ley de Ohm $V=R\times I$ con la resistencia equivalente y la corriente dada.
   $$V_{total}=R_{eq}\cdot I$$
4. Sustituir y calcular — Sustituimos $R_{eq}=60\mathrm{\Omega }$ e $I=2\text{A}$: $V_{total}=60\mathrm{\Omega }\times 2\text{A}=120\text{V}$.
   $$V_{total}=60\mathrm{\Omega }\times 2\text{A}=120\text{V}$$

$$V_{total}=120\text{V}$$

→ La diferencia de potencial total aplicada al circuito es 120 voltios.

1. Fórmula para resistencias en paralelo — Para resistencias idénticas en paralelo, la resistencia equivalente es $R_{eq}=\frac{R}{n}$, donde $R$ es la resistencia de cada elemento y $n$ es el número de elementos.
   $$R_{eq}=\frac{R}{n}$$
2. Sustituir valores — Sustituimos $R=240\mathrm{\Omega }$ y $n=5$: $R_{eq}=\frac{240\mathrm{\Omega }}{5}=48\mathrm{\Omega }$.
   $$R_{eq}=\frac{240\mathrm{\Omega }}{5}=48\mathrm{\Omega }$$
3. Verificación con fórmula general — Para confirmar, usamos la fórmula general: $\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...+\frac{1}{R_n}$. Como todas son iguales: $\frac{1}{R_{eq}}=5\times \frac{1}{240\mathrm{\Omega }}=\frac{5}{240\mathrm{\Omega }}$, por lo que $R_{eq}=48\mathrm{\Omega }$.
   $$\frac{1}{R_{eq}}=5\times \frac{1}{240\mathrm{\Omega }}=\frac{5}{240\mathrm{\Omega }}\Rightarrow R_{eq}=48\mathrm{\Omega }$$

$$R_{eq}=48\mathrm{\Omega }$$

→ La resistencia equivalente del conjunto de bombillas es 48 ohmios.

1. Resistencia equivalente en paralelo — Para dos resistencias en paralelo, $R_{eq\_paralelo}=\frac{R_1\times R_2}{R_1+R_2}$.
   $$R_{eq\_paralelo}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$$
2. Cálculo de Req paralelo — Sustituimos los valores: $R_{eq\_paralelo}=\frac{60\mathrm{\Omega }\times 120\mathrm{\Omega }}{60\mathrm{\Omega }+120\mathrm{\Omega }}=\frac{7200{\mathrm{\Omega }}^2}{180\mathrm{\Omega }}=40\mathrm{\Omega }$.
   $$R_{eq\_paralelo}=\frac{60\mathrm{\Omega }\times 120\mathrm{\Omega }}{180\mathrm{\Omega }}=40\mathrm{\Omega }$$
3. Resistencia total del circuito — La resistencia total es la suma de la equivalente en paralelo y R3: $R_{total}=R_{eq\_paralelo}+R_3=40\mathrm{\Omega }+40\mathrm{\Omega }=80\mathrm{\Omega }$.
   $$R_{total}=40\mathrm{\Omega }+40\mathrm{\Omega }=80\mathrm{\Omega }$$
4. Aplicar Ley de Ohm — Usamos $V=R_{total}\times I_{total}$ con $R_{total}=80\mathrm{\Omega }$ e $I_{total}=1.5\text{A}$.
   $$V_{total}=R_{total}\cdot I_{total}$$
5. Cálculo final — Sustituimos y calculamos: $V_{total}=80\mathrm{\Omega }\times 1.5\text{A}=120\text{V}$.
   $$V_{total}=80\mathrm{\Omega }\times 1.5\text{A}=120\text{V}$$

$$V_{total}=120\text{V}$$

→ La diferencia de potencial aplicada al circuito es 120 voltios.

1. Energía diaria de las bombillas — Cada bombilla consume $P\times t$, pero como están encendidas todo el día (24 horas), la energía diaria por bombilla es $12\text{W}\times 24\text{h}=288\text{Wh}=0.288\text{kWh}$. Para 10 bombillas: $10\times 0.288\text{kWh}=2.88\text{kWh}$ al día.
   $$E_{bombillas}=10\times 12\text{W}\times 24\text{h}=2.88\text{kWh}$$
2. Energía diaria del televisor — El televisor consume $P\times t=80\text{W}\times 5\text{h}=400\text{Wh}=0.4\text{kWh}$ al día.
   $$E_{tv}=80\text{W}\times 5\text{h}=0.4\text{kWh}$$
3. Energía diaria total — Sumamos todas las energías diarias: $E_{diaria}=E_{bombillas}+E_{refri}+E_{tv}=2.88\text{kWh}+1.2\text{kWh}+0.4\text{kWh}=4.48\text{kWh}$ al día.
   $$E_{diaria}=2.88+1.2+0.4=4.48\text{kWh}$$
4. Energía mensual — Multiplicamos por 30 días: $E_{mensual}=4.48\text{kWh/día}\times 30\text{días}=134.4\text{kWh}$ al mes.
   $$E_{mensual}=4.48\times 30=134.4\text{kWh}$$
5. Costo total — Multiplicamos la energía mensual por la tarifa: $Costo=134.4\text{kWh}\times 700\text{COP/kWh}=94080\text{COP}$ al mes.
   $$Costo=134.4\times 700=94080\text{COP}$$

$$94080\text{COP}$$

→ El costo mensual de la energía eléctrica de la abuela es 94.080 pesos colombianos.

1. Aplicar Ley de Ohm — Usamos $I=\frac{V}{R}$ con $V=12\text{V}$ y $R=0.1\mathrm{\Omega }$.
   $$I_{corto}=\frac{V}{R_{corto}}$$
2. Cálculo de la corriente — Sustituimos los valores: $I_{corto}=\frac{12\text{V}}{0.1\mathrm{\Omega }}=120\text{A}$.
   $$I_{corto}=\frac{12}{0.1}=120\text{A}$$
3. Efecto del cortocircuito — Una corriente de 120 A en un cable delgado provocará un calentamiento excesivo debido al efecto Joule ($P=I^2\times R$), lo que puede derretir el aislamiento y causar un incendio.
   $$P=I^2\cdot R$$

→ La corriente en el cortocircuito es 120 amperios. Esta corriente producirá un calentamiento excesivo que puede derretir el cable y causar un incendio.

1. Resistividad del cobre — La resistividad del cobre es $\rho =1.68\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \text{m}$ a 20°C.
   $${\rho }_{Cu}=1.68\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \text{m}$$
2. Resistencia del cable — La resistencia de un cable es $R=\rho \times \frac{L}{A}$. Sustituimos: $R_{cable}=1.68\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \text{m}\times \frac{10\text{m}}{1{\text{mm}}^2}=1.68\times {10}^{-4}\mathrm{\Omega }$.
   $$R_{cable}=1.68\times {10}^{-8}\times \frac{10}{{10}^{-6}}=1.68\times {10}^{-4}\mathrm{\Omega }$$
3. Resistencia total del circuito — La resistencia total es la suma de la resistencia del cable y la resistencia de contacto: $R_{total}=R_{cable}+R_{contacto}=1.68\times {10}^{-4}\mathrm{\Omega }+5\mathrm{\Omega }\approx 5.000168\mathrm{\Omega }$.
   $$R_{total}\approx 5.000168\mathrm{\Omega }$$
4. Corriente total en el circuito — Usamos la Ley de Ohm: $I=\frac{V_{fuente}}{R_{total}}=\frac{120\text{V}}{5.000168\mathrm{\Omega }}\approx 23.9992\text{A}$.
   $$I\approx 23.9992\text{A}$$
5. Potencia real de la lámpara — La potencia real es $P_{real}=I^2\times R_{l\acute{a}mpara}$, pero primero necesitamos la resistencia de la lámpara. De la potencia nominal: $R_{l\acute{a}mpara}=\frac{V^2}{P}=\frac{{(120\text{V})}^2}{60\text{W}}=240\mathrm{\Omega }$. Luego $P_{real}={(23.9992\text{A})}^2\times 240\mathrm{\Omega }\approx 138.24\text{W}$... Espera, eso no puede ser correcto porque la potencia no puede ser mayor que la nominal. Revisemos el enfoque.
   $$R_{l\acute{a}mpara}=\frac{V^2}{P}=\frac{{120}^2}{60}=240\mathrm{\Omega }$$
6. Revisión del enfoque — Mejor calcular la potencia real usando la corriente y la resistencia de la lámpara: $P_{real}=I^2\times R_{l\acute{a}mpara}={(23.9992\text{A})}^2\times 240\mathrm{\Omega }\approx 138.24\text{W}$... Esto sigue siendo incorrecto. El error está en asumir que la lámpara tiene 240 Ω a cualquier voltaje. En realidad, la lámpara es una carga que disipa potencia según el voltaje que recibe. Usemos el voltaje en la lámpara: $V_{l\acute{a}mpara}=I\times R_{l\acute{a}mpara}=23.9992\text{A}\times 240\mathrm{\Omega }=5759.8\text{V}$... Esto es imposible, el voltaje no puede ser mayor que la fuente. ¡El error está en el cálculo de la resistencia de la lámpara!
7. Solución correcta — El error está en asumir que la lámpara tiene una resistencia fija de 240 Ω. En realidad, la lámpara es una carga que disipa 60 W cuando recibe 120 V, pero en este circuito recibe menos voltaje debido a la resistencia de contacto. La potencia real se calcula mejor como $P_{real}=V_{l\acute{a}mpara}\times I$, donde $V_{l\acute{a}mpara}=V_{fuente}-V_{contacto}$. Calculamos $V_{contacto}=I\times R_{contacto}=23.9992\text{A}\times 5\mathrm{\Omega }=119.996\text{V}$. Luego $V_{l\acute{a}mpara}=120\text{V}-119.996\text{V}=0.004\text{V}$. Finalmente, $P_{real}=0.004\text{V}\times 23.9992\text{A}\approx 0.096\text{W}$.
   $$V_{contacto}=I\times R_{contacto}=23.9992\times 5=119.996\text{V}{V}_{l\acute{a}mpara}=120-119.996=0.004\text{V}{P}_{real}=0.004\times 23.9992\approx 0.096\text{W}$$

$$P_{real}\approx 0.1\text{W}$$

→ La potencia real que recibe la lámpara es aproximadamente 0.1 vatios. La bombilla brilla muy poco porque casi todo el voltaje de la fuente (120 V) se pierde en la resistencia de contacto de 5 Ω, dejando solo 0.004 V para la lámpara.

1. Energía a cubrir — El 80% del consumo mensual es $0.8\times 500\text{kWh}=400\text{kWh}$ al mes.
   $$E_{cubrir}=0.8\times 500=400\text{kWh}$$
2. Energía generada por panel al mes — Cada panel genera $P\times t$, donde t es el tiempo de sol efectivo. Asumiendo 5 horas de sol al día: $300\text{W}\times 5\text{h/día}\times 30\text{días}=45000\text{Wh}=45\text{kWh}$ al mes por panel.
   $$E_{panel}=300\times 5\times 30=45\text{kWh}$$
3. Número de paneles necesarios — Dividimos la energía a cubrir entre la energía por panel: $n=\frac{400\text{kWh}}{45\text{kWh/panel}}\approx 8.89$. Como no podemos tener una fracción de panel, redondeamos al alza: se necesitan 9 paneles.
   $$n=\frac{400}{45}\approx 8.89\Rightarrow 9\text{paneles}$$
4. Costo total de la instalación — El costo total es $9\times 1200000\text{COP}=10800000\text{COP}$.
   $$Cost{o}_{total}=9\times 1200000=10800000\text{COP}$$
5. Energía cubierta por 9 paneles — 9 paneles generan $9\times 45\text{kWh}=405\text{kWh}$ al mes, lo que cubre el 81% del consumo (405/500 = 0.81).
   $$E_{cubierta}=9\times 45=405\text{kWh}$$
6. Ahorro mensual — El ahorro es la energía cubierta multiplicada por la tarifa: $405\text{kWh}\times 700\text{COP/kWh}=283500\text{COP}$ al mes.
   $$Ahorro=405\times 700=283500\text{COP}$$

$$9\text{paneles};283500\text{COP}$$

→ Se necesitan 9 paneles solares para cubrir al menos el 80% del consumo mensual. El ahorro mensual sería de 283.500 pesos colombianos.