Densidad y Objetos Flotantes: Ejercicios para Colombia

1. Conversión de unidades — Convierte la masa de gramos a kilogramos y el volumen de centímetros cúbicos a metros cúbicos para trabajar con unidades estándar.
   $$m=300\text{ g}=0.3\text{ kg}V=350{\text{ cm}}^3=350\times {10}^{-6}{\text{ m}}^3=3.5\times {10}^{-4}{\text{ m}}^3$$
2. Cálculo de densidad — Aplica la fórmula de densidad ρ = m/V usando los valores convertidos.
   $${\rho }_{\text{mango}}=\frac{m}{V}=\frac{0.3\text{ kg}}{3.5\times {10}^{-4}{\text{ m}}^3}$$
3. Comparación con el agua — Compara el resultado con la densidad del agua pura (1000 kg/m³) para determinar si el mango flota.
   $${\rho }_{\text{mango}}\approx 857.14{\text{ kg/m}}^3<1000{\text{ kg/m}}^3\Rightarrow \text{Flota}$$

$${\rho }_{\text{mango}}\approx 857{\text{kg/m}}^3\text{(flota en agua)}$$

→ La densidad del mango es aproximadamente 857 kg/m³ y sí flota en agua pura.

1. Peso del bus — Calcula el peso del bus usando P = m * g.
   $$P_{\text{bus}}=m_{\text{bus}}\cdot g=12000\text{ kg}\times 9.81{\text{ m/s}}^2=117720\text{ N}$$
2. Empuje necesario — Para que el bus flote, el empuje debe ser igual al peso del bus.
   $$E=P_{\text{bus}}=117720\text{ N}$$
3. Volumen desplazado — Usa la fórmula del empuje E = ρ_agua * g * $V_{d}esplazado$ para encontrar el volumen mínimo.
   $$V_{\text{desplazado}}=\frac{E}{{\rho }_{\text{agua}}\cdot g}=\frac{117720}{997\times 9.81}\approx 12.03{\text{ m}}^3$$

$$V_{\text{desplazado}}\approx 12.03{\text{m}}^3$$

→ El bus debe desplazar al menos 12.03 metros cúbicos de agua para flotar en el río Magdalena.

1. Masa total del sistema — Suma la masa del bote y la masa del café transportado.
   $$m_{\text{total}}=m_{\text{bote}}+m_{\text{café}}=200+5\times 70=550\text{ kg}$$
2. Peso total — Calcula el peso total del sistema usando P = m * g.
   $$P_{\text{total}}=m_{\text{total}}\cdot g=550\times 9.81=5395.5\text{ N}$$
3. Volumen sumergido — Usa el principio de Arquímedes para encontrar el volumen sumergido: E = ρ_agua * g * $V_{s}umergido$ = $P_{t}otal$.
   $$V_{\text{sumergido}}=\frac{P_{\text{total}}}{{\rho }_{\text{agua}}\cdot g}=\frac{5395.5}{998\times 9.81}\approx 0.553{\text{ m}}^3$$
4. Fracción sumergida — Divide el volumen sumergido entre el volumen total del bote.
   $$\text{Fracción sumergida}=\frac{V_{\text{sumergido}}}{V_{\text{total}}}=\frac{0.553}{1.5}\approx 0.369$$

$$0.369\text{(36.9\%) del volumen sumergido)}$$

→ Aproximadamente el 36.9% del bote quedará sumergido en el agua del río Cauca.

1. Fracción en agua de mar — Calcula la fracción sumergida en Cartagena usando la densidad del agua de mar.
   $$f_{\text{mar}}=\frac{{\rho }_{\text{coco}}}{{\rho }_{\text{agua mar}}}=\frac{950}{1025}\approx 0.927$$
2. Fracción en agua dulce — Calcula la fracción sumergida en Santa Marta usando la densidad del agua dulce.
   $$f_{\text{dulce}}=\frac{{\rho }_{\text{coco}}}{{\rho }_{\text{agua dulce}}}=\frac{950}{997}\approx 0.953$$
3. Comparación — Compara las dos fracciones para determinar en cuál lugar el coco está más sumergido.
   $$f_{\text{dulce}}>f_{\text{mar}}\Rightarrow \text{El coco está más sumergido en Santa Marta}$$

\boxed{f_{\text{dulce}} \approx 0.953\ (95.3\%)\ >\ f_{\text{mar}} \approx 0.927\ (92.7\%)) ParseError: Unexpected end of input in a macro argument, expected '}' at end of input: ….927\ (92.7\%))

→ El coco está más sumergido en Santa Marta (95.3%) que en Cartagena (92.7%).

1. Fórmula de fracción sumergida — Escribe la relación entre la fracción sumergida, la densidad del hielo y la densidad del agua real.
   $$f=\frac{{\rho }_{\text{hielo}}}{{\rho }_{\text{agua real}}}$$
2. Despejar densidad del agua — Despeja ρ_agu$a_{r}eal$ de la fórmula.
   $${\rho }_{\text{agua real}}=\frac{{\rho }_{\text{hielo}}}{f}=\frac{920}{0.88}$$
3. Cálculo final — Realiza el cálculo para encontrar la densidad del agua real.
   $${\rho }_{\text{agua real}}=1045.45{\text{ kg/m}}^3$$

$${\rho }_{\text{agua real}}\approx 1045{\text{kg/m}}^3$$

→ La densidad del agua en la que flota el iceberg es aproximadamente 1045 kg/m³.

1. Empuje máximo — Calcula el empuje cuando el submarino está completamente sumergido.
   $$E_{\text{max}}={\rho }_{\text{agua}}\cdot g\cdot V_{\text{total}}=998\times 9.81\times 60=587134.8\text{ N}$$
2. Peso total necesario — Para equilibrio neutro, el peso total debe ser igual al empuje máximo.
   $$P_{\text{total}}=E_{\text{max}}=587134.8\text{ N}$$
3. Masa total necesaria — Convierte el peso total a masa total usando P = m * g.
   $$m_{\text{total}}=\frac{P_{\text{total}}}{g}=\frac{587134.8}{9.81}\approx 59850\text{ kg}$$
4. Masa de agua en lastre — Resta la masa del submarino vacío a la masa total necesaria para encontrar la masa de agua en los tanques.
   $$m_{\text{agua lastre}}=m_{\text{total}}-m_{\text{submarino}}=59850-50000=9850\text{ kg}$$

$$m_{\text{agua lastre}}=9850\text{kg}$$

→ El submarino debe llenar sus tanques con 9850 kilogramos de agua del río Cauca para quedar en equilibrio neutro.

1. Masa total a soportar — Calcula la masa total de las personas que deben ser soportadas por los flotadores.
   $$m_{\text{total}}=n_{\text{personas}}\times m_{\text{persona}}=200\times 70=14000\text{ kg}$$
2. Peso total — Convierte la masa total a peso usando P = m * g.
   $$P_{\text{total}}=m_{\text{total}}\cdot g=14000\times 9.81=137340\text{ N}$$
3. Empuje necesario — El empuje total debe ser igual al peso total para que el puente flote.
   $$E_{\text{total}}=P_{\text{total}}=137340\text{ N}$$
4. Volumen de poliestireno — Usa el principio de Arquímedes para los flotadores de poliestireno. El empuje sobre el poliestireno es E = ρ_agua * g * $V_{f}lotadores$.
   $$V_{\text{flotadores}}=\frac{E_{\text{total}}}{{\rho }_{\text{agua}}\cdot g}=\frac{137340}{997\times 9.81}\approx 14{\text{ m}}^3$$

$$V_{\text{flotadores}}\approx 14{\text{m}}^3$$

→ Se necesitan al menos 14 metros cúbicos de poliestireno expandido para que el puente peatonal flote con la carga máxima.

1. Masa adicional de contenedores — Calcula la masa adicional que representan los contenedores.
   $$m_{\text{contenedores}}=m_{\text{barco cargado}}-m_{\text{barco vacío}}=25000000-5000000=20000000\text{ kg}$$
2. Volumen adicional desplazado — Calcula el volumen adicional de agua que el barco desplaza al cargarse.
   $$V_{\text{adicional}}=V_{\text{sumergido cargado}}-V_{\text{sumergido vacío}}=7500-1500=6000{\text{ m}}^3$$
3. Empuje adicional — Calcula el empuje adicional usando el volumen adicional desplazado.
   $$E_{\text{adicional}}={\rho }_{\text{agua mar}}\cdot g\cdot V_{\text{adicional}}=1024\times 9.81\times 6000=60295680\text{ N}$$
4. Densidad de los contenedores — La masa adicional de los contenedores dividida por su volumen adicional da la densidad promedio.
   $${\rho }_{\text{contenedores}}=\frac{m_{\text{contenedores}}}{V_{\text{adicional}}}=\frac{20000000}{6000}\approx 3333.33{\text{ kg/m}}^3$$

$${\rho }_{\text{contenedores}}\approx 3333{\text{kg/m}}^3$$

→ La densidad promedio de los contenedores es aproximadamente 3333 kg/m³.