Densidad y objetos que flotan: ejercicios prácticos para Colombia

1. Cálculo de la densidad — Aplica la fórmula de la densidad usando los datos del mango.
   $${\rho }_{\text{mango}}=\frac{m}{V}=\frac{300\text{ g}}{350{\text{ cm}}^3}$$
2. Comparación con el agua — Determina si el mango flota comparando su densidad con la del agua.
   $${\rho }_{\text{mango}}=0.857{\text{ g/cm}}^3<1{\text{ g/cm}}^3$$

$${\rho }_{\text{mango}}=0.86{\text{g/cm}}^3\text{(flota)}$$

→ El mango tiene una densidad de 0.86 g/cm³ y sí flota en el agua.

1. Densidad de la piragua — Calcula la densidad de la piragua usando su masa y volumen.
   $${\rho }_{\text{piragua}}=\frac{m_{\text{piragua}}}{V_{\text{piragua}}}=\frac{120\text{ kg}}{0.2{\text{ m}}^3}$$
2. Comparación con el río — Compara la densidad de la piragua con la del agua del río Magdalena.
   $${\rho }_{\text{piragua}}=600{\text{ kg/m}}^3<1000{\text{ kg/m}}^3$$

$${\rho }_{\text{piragua}}=600{\text{kg/m}}^3\text{(flota)}$$

→ La piragua tiene una densidad de 600 kg/m³ y sí flota en el río Magdalena.

1. Peso del bus — Calcula el peso del bus usando su masa y la gravedad.
   $$P_{\text{bus}}=m_{\text{bus}}\cdot g=15000\text{ kg}\cdot 9.81{\text{ m/s}}^2$$
2. Peso del agua desplazada — Expresa el peso del agua desplazada en términos de volumen.
   $$P_{\text{agua}}={\rho }_{\text{agua}}\cdot V_{\text{desplazado}}\cdot g$$
3. Igualar pesos — Iguala el peso del bus con el peso del agua desplazada y despeja el volumen.
   $$m_{\text{bus}}\cdot g={\rho }_{\text{agua}}\cdot V_{\text{desplazado}}\cdot g$$
4. Cálculo final — Simplifica y calcula el volumen mínimo de agua desplazado.
   $$V_{\text{desplazado}}=\frac{m_{\text{bus}}}{{\rho }_{\text{agua}}}=\frac{15000\text{ kg}}{1000{\text{ kg/m}}^3}$$

$$V_{\text{desplazado}}=15{\text{m}}^3$$

→ El bus debe desplazar al menos 15 m³ de agua para flotar, lo que equivale a un cubo de 2.47 metros de lado.

1. Condición de flotación — Establece la condición para que el mango flote: su densidad debe ser menor o igual a la del agua.
   $${\rho }_{\text{mango}}=\frac{m_{\text{mango}}}{V_{\text{mango}}}\le {\rho }_{\text{agua}}$$
2. Despejar volumen — Despeja el volumen mínimo que debe tener el mango para flotar.
   $$V_{\text{mango}}\ge \frac{m_{\text{mango}}}{{\rho }_{\text{agua}}}=\frac{250\text{ g}}{1{\text{ g/cm}}^3}$$

$$V_{\text{min}}=250{\text{cm}}^3$$

→ El mango debe tener un volumen mínimo de 250 cm³ para flotar. Esto equivale a un mango de tamaño mediano.

1. Cálculo de densidad — Determina la densidad de la piedra con los datos proporcionados.
   $${\rho }_{\text{piedra}}=\frac{m_{\text{piedra}}}{V_{\text{piedra}}}=\frac{50\text{ g}}{20{\text{ cm}}^3}$$
2. Comparación con el agua — Compara la densidad de la piedra con la del agua para explicar por qué se hunde.
   $${\rho }_{\text{piedra}}=2.5{\text{ g/cm}}^3>1{\text{ g/cm}}^3$$

$${\rho }_{\text{piedra}}=2.5{\text{g/cm}}^3\text{(se hunde)}$$

→ La piedra tiene una densidad de 2.5 g/cm³, que es 2.5 veces mayor que la del agua, por eso se hunde inmediatamente.

1. Peso inicial del barco — Calcula el peso inicial del barco incluyendo su carga.
   $$P_{\text{barco}}=m_{\text{barco}}\cdot g=5000000\text{ kg}\cdot 9.81{\text{ m/s}}^2$$
2. Peso del agua desplazada inicialmente — Calcula el peso del agua de mar desplazada inicialmente por el barco.
   $$P_{\text{agua}}={\rho }_{\text{agua mar}}\cdot V_{\text{desplazado}}\cdot g=1025{\text{ kg/m}}^3\cdot 6000{\text{ m}}^3\cdot 9.81{\text{ m/s}}^2$$
3. Masa adicional máxima — Determina la masa máxima adicional que puede cargar el barco sin hundirse, usando el principio de Arquímedes.
   $$m_{\text{banano max}}=({\rho }_{\text{agua mar}}\cdot V_{\text{desplazado max}}-m_{\text{barco}})$$
4. Cálculo numérico — Sustituye los valores y calcula la masa máxima de banano.
   $$m_{\text{banano max}}=(1025\cdot 6000-5000000)\text{ kg}=1150000\text{ kg}$$

$$m_{\text{banano max}}=1150000\text{kg}(1150\text{toneladas})$$

→ El barco puede cargar hasta 1,150 toneladas adicionales de banano sin hundirse, manteniendo el volumen desplazado en 6000 m³.

1. Comparación de densidades — Establece la comparación directa entre la densidad del jugo y la del agua.
   $${\rho }_{\text{jugo}}=1.05{\text{ g/cm}}^3>{\rho }_{\text{agua}}=1{\text{ g/cm}}^3$$
2. Conclusión por principio de Arquímedes — Explica por qué el jugo se hunde usando el principio de Arquímedes.
   $$\text{Como }{\rho }_{\text{jugo}}>{\rho }_{\text{agua}},\text{ el peso del jugo es mayor que el peso del agua desplazada, por lo que se hunde}$$

→ El jugo de lulo puro tiene una densidad mayor que el agua pura (1.05 g/cm³ > 1 g/cm³), por lo que se hunde según el principio de Arquímedes.

1. Volumen del ancla — Calcula el volumen del ancla de hierro usando su masa y densidad.
   $$V_{\text{ancla}}=\frac{m_{\text{ancla}}}{{\rho }_{\text{hierro}}}=\frac{200\text{ kg}}{7870{\text{ kg/m}}^3}$$
2. Fuerza de empuje — Calcula la fuerza de empuje que ejerce el agua de mar sobre el ancla.
   $$E={\rho }_{\text{agua mar}}\cdot V_{\text{ancla}}\cdot g=1025{\text{ kg/m}}^3\cdot V_{\text{ancla}}\cdot 9.81{\text{ m/s}}^2$$
3. Peso real del ancla — Calcula el peso real del ancla en el aire.
   $$P_{\text{real}}=m_{\text{ancla}}\cdot g=200\text{ kg}\cdot 9.81{\text{ m/s}}^2$$
4. Peso aparente — Resta la fuerza de empuje al peso real para obtener el peso aparente bajo el agua.
   $$P_{\text{aparente}}=P_{\text{real}}-E$$
5. Cálculo numérico — Sustituye los valores y calcula el peso aparente final.
   $$P_{\text{aparente}}=(200\cdot 9.81)-(1025\cdot \frac{200}{7870}\cdot 9.81)=1760.3\text{ N}$$

$$P_{\text{aparente}}=1760\text{N}$$

→ El ancla tiene un peso aparente de 1760 N bajo el agua, lo que significa que pesa 201.7 N menos que en el aire.