¿Por qué un carrito vacío se desliza más fácil? Física de rampas

1. Componentes de la fuerza — La fuerza gravitacional total es $F_g=m\cdot g$. Esta fuerza se descompone en dos componentes: una perpendicular a la rampa ($F_{⟂}$) y otra paralela ($F_{\parallel }$). La componente que causa el deslizamiento es $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$.
   $$F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$$
2. Cálculo de la fuerza neta — Como ignoramos la fricción, la fuerza neta es exactamente $F_{\parallel }$. Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
   $$F_{\text{net}}=15\cdot 9.8\cdot \sin (10°)$$
3. Resultado final — Calcula el valor numérico usando $\sin (10°)\approx 0.1736$. La fuerza neta es aproximadamente 25.5 N.
   $$F_{\text{net}}\approx 25.5\text{ N}$$

$$F_{\text{net}}\approx 25.5\text{ N}$$

→ La fuerza neta sobre el carrito es aproximadamente 25.5 newtons.

1. Masa total — La masa total del carrito con mandarinas es $m_{\text{total}}=15\text{ kg}+5\text{ kg}=20\text{ kg}$.
   $$m_{\text{total}}=20\text{ kg}$$
2. Fuerza neta con mandarinas — Aplica la misma fórmula $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$ con la nueva masa.
   $$F_{\text{net, con}}=20\cdot 9.8\cdot \sin (10°)$$
3. Comparación — La fuerza neta con mandarinas es $20\cdot 9.8\cdot 0.1736\approx 34.0\text{ N}$. Comparada con los 25.5 N del carrito vacío, es un 33% mayor.
   $$F_{\text{net, con}}\approx 34.0\text{ N}$$

$$F_{\text{net, con}}\approx 34.0\text{ N}$$

→ La fuerza neta con mandarinas es aproximadamente 34.0 N, que es un 33% mayor que con el carrito vacío.

1. Componente paralela del peso — Calcula $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$ para el bus.
   $$F_{\parallel }=8000\cdot 9.8\cdot \sin (15°)$$
2. Fuerza total a vencer — La fuerza total que el motor debe contrarrestar es la suma de la componente paralela y la fricción: $F_{\text{total}}=F_{\parallel }+F_{\text{fricción}}$.
   $$F_{\text{total}}=F_{\parallel }+2000$$
3. Fuerza del motor — Para velocidad constante, $F_{\text{motor}}=F_{\text{total}}$. Calcula el valor numérico.
   $$F_{\text{motor}}\approx 20352+2000=22352\text{ N}$$

$$F_{\text{motor}}\approx 22352\text{ N}$$

→ El motor debe ejercer una fuerza de aproximadamente 22 352 newtons para subir el bus a velocidad constante.

1. Componente paralela del peso — Calcula $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$.
   $$F_{\parallel }=12\cdot 9.8\cdot \sin (5°)$$
2. Fuerza neta — La fuerza neta es $F_{\text{net}}=F_{\parallel }-F_{\text{fricción}}$.
   $$F_{\text{net}}=F_{\parallel }-10$$
3. Aplicación de la segunda ley — Usa $F_{\text{net}}=m\cdot a$ para encontrar la aceleración.
   $$a=\frac{F_{\text{net}}}{m}$$
4. Cálculo final — Sustituye los valores: $F_{\parallel }\approx 10.2\text{ N}$, $F_{\text{net}}\approx 0.2\text{ N}$, por lo que $a\approx 0.017{\text{ m/s}}^2$.
   $$a\approx 0.017{\text{ m/s}}^2$$

$$a\approx 0.017{\text{ m/s}}^2$$

→ La aceleración del carrito es aproximadamente 0.017 metros por segundo al cuadrado.

1. Componente paralela del peso — Calcula $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$.
   $$F_{\parallel }=30\cdot 9.8\cdot \sin (20°)$$
2. Fuerza neta máxima — La fuerza neta máxima es $F_{\text{net}}=F_{\parallel }-F_{\text{fricción}}$.
   $$F_{\text{net}}=F_{\parallel }-25$$
3. Aceleración máxima — Usa $F_{\text{net}}=m\cdot a_{\text{max}}$ para encontrar $a_{\text{max}}$.
   $$a_{\text{max}}=\frac{F_{\text{net}}}{m}$$
4. Aceleración requerida para el tiempo — Para recorrer 10 m en 4 s, usa $d=\frac{1}{2}a{t}^2$ y despeja $a$.
   $$a=\frac{2d}{t^2}=\frac{2\cdot 10}{4^2}=1.25{\text{ m/s}}^2$$
5. Comparación — La aceleración máxima posible es aproximadamente 8.1 m/s², que es mucho mayor que los 1.25 m/s² requeridos. Por lo tanto, sí es posible.
   $$a_{\text{max}}\approx 8.1{\text{ m/s}}^2>1.25{\text{ m/s}}^2$$

→ La aceleración máxima posible es aproximadamente 8.1 m/s². Sí es posible que el carrito llegue al final de la rampa en 4 segundos, ya que la aceleración requerida es solo 1.25 m/s².

1. Componente paralela del peso — Calcula $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$ para ambos casos (la componente no cambia).
   $$F_{\parallel }=18\cdot 9.8\cdot \sin (8°)$$
2. Fuerza neta inicial — Con fricción alta: $F_{\text{net, alta}}=F_{\parallel }-15$.
   $$F_{\text{net, alta}}=F_{\parallel }-15$$
3. Fuerza neta con engrase — Con fricción baja: $F_{\text{net, baja}}=F_{\parallel }-5$.
   $$F_{\text{net, baja}}=F_{\parallel }-5$$
4. Aceleraciones — Calcula $a_{\text{alta}}=\frac{F_{\text{net, alta}}}{m}$ y $a_{\text{baja}}=\frac{F_{\text{net, baja}}}{m}$. Luego encuentra $\mathrm{\Delta }a=a_{\text{baja}}-a_{\text{alta}}$.
   $$a_{\text{alta}}=\frac{F_{\text{net, alta}}}{18};a_{\text{baja}}=\frac{F_{\text{net, baja}}}{18}$$
5. Resultado final — La aceleración aumenta aproximadamente de 0.08 m/s² a 0.56 m/s², un aumento de 0.48 m/s².
   $$\mathrm{\Delta }a\approx 0.48{\text{ m/s}}^2$$

$$\mathrm{\Delta }a\approx 0.48{\text{ m/s}}^2$$

→ La aceleración del carrito aumenta en aproximadamente 0.48 metros por segundo al cuadrado al engrasar las ruedas.

1. Energía potencial inicial — La altura de la rampa es $h=L\cdot \sin (\theta )$. La energía potencial es $E_p=m\cdot g\cdot h$.
   $$h=1\cdot \sin (12°);E_p=2\cdot 9.8\cdot h$$
2. Energía cinética final — Al final de la rampa, $E_p=E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$. Despeja $v$.
   $$v=\sqrt{2gh}$$
3. Desaceleración en el suelo — En el suelo, la fuerza neta es $F_{\text{net}}=-F_{\text{fricción}}=m\cdot a$. Despeja $a$.
   $$a=-\frac{F_{\text{fricción}}}{m}=-\frac{0.5}{2}=-0.25{\text{ m/s}}^2$$
4. Distancia recorrida — Usa $v_f^2=v_i^2+2ad$ con $v_f=0$ para encontrar $d$.
   $$0=v^2+2(-0.25)d\Rightarrow d=\frac{v^2}{0.5}$$
5. Resultado final — Sustituye $v=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot \sin (12°)}\approx 1.83\text{ m/s}$. Entonces $d\approx 6.7\text{ m}$.
   $$d\approx 6.7\text{ m}$$

$$d\approx 6.7\text{ m}$$

→ El carrito recorrerá aproximadamente 6.7 metros en el suelo antes de detenerse.

1. Componente paralela del peso — Calcula $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$, que actúa en contra del movimiento.
   $$F_{\parallel }=25\cdot 9.8\cdot \sin (25°)$$
2. Fuerza neta — La fuerza neta es $F_{\text{net}}=F_{\text{empuje}}-F_{\parallel }-F_{\text{fricción}}$. Como no se da la fricción, asumimos que es despreciable para este cálculo.
   $$F_{\text{net}}=50-F_{\parallel }$$
3. Comparación — Calcula $F_{\parallel }\approx 103\text{ N}$. Entonces $F_{\text{net}}=50-103=-53\text{ N}$. La fuerza neta es negativa, lo que significa que el carrito no puede subir.
   $$F_{\text{net}}\approx -53\text{ N}$$
4. Conclusión — Como la fuerza neta es negativa, el carrito no puede superar la componente del peso que lo empuja cuesta abajo. Por lo tanto, no puede subir la rampa.

→ No, el carrito no puede subir la rampa porque la fuerza neta es de aproximadamente -53 newtons, lo que significa que la componente del peso cuesta abajo es mayor que la fuerza de empuje.

1. Aceleración en la rampa — Para ambos objetos, $a=g\cdot \sin (\theta )$, ya que la masa se cancela en la segunda ley de Newton ($F_{\text{net}}=m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$).
   $$a=9.8\cdot \sin (18°)$$
2. Tiempo para el carrito — Usa $d=\frac{1}{2}a{t}^2$ para encontrar $t_{\text{carrito}}$.
   $$t_{\text{carrito}}=\sqrt{\frac{2d}{a}}$$
3. Tiempo para el bus — Como la aceleración es la misma, $t_{\text{bus}}=t_{\text{carrito}}$.
   $$t_{\text{bus}}=t_{\text{carrito}}$$
4. Conclusión — Ambos objetos llegan al final de la rampa al mismo tiempo porque tienen la misma aceleración en la rampa (ignorando la fricción).

$$t_{\text{carrito}}=t_{\text{bus}}$$

→ Ambos, el carrito de frutas y el bus, llegan al final de la rampa al mismo tiempo porque tienen la misma aceleración en la rampa (aproximadamente 3.0 m/s²).

1. Componente paralela del peso — Calcula $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$, que se opone al movimiento.
   $$F_{\parallel }=10\cdot 9.8\cdot \sin (7°)$$
2. Fuerza neta — La fuerza neta es $F_{\text{net}}=F_{\text{empuje}}-F_{\parallel }$.
   $$F_{\text{net}}=12-F_{\parallel }$$
3. Aceleración — Usa $F_{\text{net}}=m\cdot a$ para encontrar $a$.
   $$a=\frac{F_{\text{net}}}{10}$$
4. Distancia recorrida — Usa $d=\frac{1}{2}a{t}^2$ para encontrar la distancia (asumiendo que parte del reposo).
   $$d=\frac{1}{2}a{(5)}^2$$
5. Resultado final — La distancia recorrida es aproximadamente 13.2 metros.
   $$d\approx 13.2\text{ m}$$

$$d\approx 13.2\text{ m}$$

→ El carrito recorre aproximadamente 13.2 metros en 5 segundos.

1. Componente paralela del peso — Calcula $F_{\parallel }=m\cdot g\cdot \sin (\theta )$.
   $$F_{\parallel }=8\cdot 9.8\cdot \sin (22°)$$
2. Fuerza neta inicial — La fuerza neta inicial es $F_{\text{net, inicial}}=F_{\parallel }-F_{\text{fricción}}$.
   $$F_{\text{net, inicial}}=F_{\parallel }-30$$
3. Aceleración inicial — Usa $a_{\text{inicial}}=\frac{F_{\text{net, inicial}}}{m}$.
   $$a_{\text{inicial}}=\frac{F_{\text{net, inicial}}}{8}$$
4. Fuerza neta con fuerza adicional — La fuerza neta final es $F_{\text{net, final}}=F_{\parallel }-F_{\text{fricción}}-F_{\text{adicional}}$.
   $$F_{\text{net, final}}=F_{\parallel }-30-20$$
5. Aceleración final — Usa $a_{\text{final}}=\frac{F_{\text{net, final}}}{m}$.
   $$a_{\text{final}}=\frac{F_{\text{net, final}}}{8}$$
6. Resultado final — La aceleración inicial es aproximadamente 1.1 m/s² cuesta abajo. Con la fuerza adicional, la aceleración es aproximadamente -1.4 m/s² (el carrito se frena).
   $$a_{\text{inicial}}\approx 1.1{\text{ m/s}}^2;a_{\text{final}}\approx -1.4{\text{ m/s}}^2$$

→ La aceleración inicial del carrito es aproximadamente 1.1 m/s² cuesta abajo. Con la fuerza adicional de 20 N para detenerlo, la nueva aceleración es aproximadamente -1.4 m/s² (el carrito se frena).