Descubre la Locura Cuántica: Ejercicios para Colombia

1. Expresión de la probabilidad — La probabilidad de encontrar al electrón entre $r=0$ y $r=a_0$ se calcula integrando la densidad de probabilidad multiplicada por el elemento de volumen esférico:
   $$P={\int }_0^{a_0}4\pi r^2|{\psi }_1(r){|}^{2}dr$$
2. Sustitución de la función de onda — Sustituye la expresión de $|{\psi }_1(r){|}^2$ en la integral:
   $$P={\int }_0^{a_0}4\pi r^2\left(\frac{1}{\pi a_0^3}{e}^{-2r/a_0}\right)dr=\frac{4}{a_0^3}{\int }_0^{a_0}{r}^2{e}^{-2r/a_0}dr$$
3. Cambio de variable — Para simplificar, usa el cambio de variable $x=2r/a_0$, entonces $r=(a_0/2)x$, $dr=(a_0/2)dx$, y los límites cambian: cuando $r=0$, $x=0$; cuando $r=a_0$, $x=2$.
   $$P=\frac{4}{a_0^3}{\int }_0^2{\left(\frac{a_0}{2}x\right)}^2{e}^{-x}\left(\frac{a_0}{2}dx\right)=\frac{4}{a_0^3}\cdot \frac{a_0^3}{8}{\int }_0^2{x}^2{e}^{-x}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^2{x}^2{e}^{-x}dx$$
4. Cálculo de la integral — La integral $\int x^2{e}^{-x}dx$ se resuelve por partes. El resultado es $-e^{-x}(x^2+2x+2)$. Evalúa entre 0 y 2:
   $$P=\frac{1}{2}{[-e^{-x}(x^2+2x+2)]}_0^2=\frac{1}{2}[-e^{-2}(4+4+2)-(-1(0+0+2))]=\frac{1}{2}[-10e^{-2}+2]$$
5. Resultado final — Calcula el valor numérico: $e^{-2}\approx 0.1353$, entonces $P\approx 0.5-5\times 0.1353=0.5-0.6765=-0.1765$... ¡Espera! Eso no puede ser. Revisa los cálculos.
   $$P=1-5e^{-2}\approx 1-5\times 0.1353=1-0.6765=0.3235$$

$$P\approx 0.3235$$

→ La probabilidad de encontrar al electrón entre $r=0$ y $r=a_0$ es aproximadamente 32.35%.

1. Expresión del principio de incertidumbre — El principio de Heisenberg establece que:
   $$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$$
2. Relación entre momento e incertidumbre en velocidad — Como $p=mv$, entonces $\mathrm{\Delta }p=m\mathrm{\Delta }v$. Sustituye en la desigualdad:
   $$\mathrm{\Delta }x\cdot (m\mathrm{\Delta }v)\ge \frac{\hslash }{2}$$
3. Despeje de $\mathrm{\Delta }v$ — Despeja la incertidumbre en velocidad:
   $$\mathrm{\Delta }v\ge \frac{\hslash }{2m\mathrm{\Delta }x}$$
4. Sustitución de valores — Sustituye los valores numéricos:
   $$\mathrm{\Delta }v\ge \frac{1.054\times {10}^{-34}}{2\times 0.450\times 0.001}=\frac{1.054\times {10}^{-34}}{9.0\times {10}^{-4}}\approx 1.17\times {10}^{-31}\text{ m/s}$$
5. Interpretación del resultado — La mínima incertidumbre en la velocidad del balón es extremadamente pequeña, del orden de ${10}^{-31}\text{ m/s}$. Esto muestra que el principio de incertidumbre es relevante solo a escalas atómicas, no para objetos macroscópicos como un balón de fútbol.

$$\mathrm{\Delta }v\ge 1.17\times {10}^{-31}\text{ m/s}$$

→ La mínima incertidumbre en la velocidad del balón es aproximadamente $1.17\times {10}^{-31}\text{ m/s}$.

1. Cálculo de la energía en n=3 — Sustituye $n=3$ en la fórmula de energía:
   $$E_3=-\frac{13.6}{3^2}=-\frac{13.6}{9}\approx -1.511\text{ eV}$$
2. Cálculo de la energía en n=1 — Sustituye $n=1$ en la fórmula de energía:
   $$E_1=-\frac{13.6}{1^2}=-13.6\text{ eV}$$
3. Cálculo de la energía absorbida — La energía que debe absorber el electrón para pasar de $n=1$ a $n=3$ es la diferencia entre estos niveles:
   $$\mathrm{\Delta }E=E_3-E_1=(-1.511)-(-13.6)=12.089\text{ eV}$$

→ La energía del electrón en el tercer nivel es $-1.51\text{ eV}$ y la energía absorbida para pasar del primero al tercero es $12.09\text{ eV}$.

1. Conversión de unidades — Convierte las energías de eV a J:
   $$E=0.5\times 1.602\times {10}^{-19}=8.01\times {10}^{-20}\text{ J}{U}_0=1.0\times 1.602\times {10}^{-19}=1.602\times {10}^{-19}\text{ J}$$
2. Cálculo de $\kappa$ — Calcula la diferencia de energía y luego $\kappa$:
   $$U_0-E=(1.602-0.801)\times {10}^{-19}=0.801\times {10}^{-19}\text{ J}\kappa =\sqrt{\frac{2\times 9.11\times {10}^{-31}\times 0.801\times {10}^{-19}}{{(1.054\times {10}^{-34})}^2}}\approx 1.41\times {10}^{10}{\text{ m}}^{-1}$$
3. Cálculo de la probabilidad — Sustituye en la fórmula de tunelamiento:
   $$T\approx e^{-2\times 1.41\times {10}^{10}\times 0.5\times {10}^{-9}}=e^{-14.1}\approx 7.3\times {10}^{-7}$$
4. Conversión a porcentaje — Convierte la probabilidad a porcentaje:
   $$T\approx 7.3\times {10}^{-7}\times 100\%=0.000073\%$$

$$T\approx 7.3\times {10}^{-7}$$

→ La probabilidad de que el electrón atraviese la barrera por efecto túnel es aproximadamente $7.3\times {10}^{-5}\%$.

1. Cálculo de la probabilidad — La probabilidad de medir 'cara' es el cuadrado del coeficiente de $|cara⟩$ en el estado $|\psi ⟩$:
   $$P(cara)={\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|}^2=\frac{1}{2}=0.5$$
2. Interpretación clásica vs cuántica — En la realidad clásica, la moneda está en un estado definido (cara o sello) antes de medirla, con probabilidad 0.5 para cada uno. En mecánica cuántica, la moneda está en superposición hasta que se mide. Sin embargo, este ejemplo es una simplificación porque:
   $$1.Lamonedanoesunsistemacu\acute{a}nticoaislado(interact\acute{u}aconelambiente)\mathrm{.2.}Nohayinterferenciacu\acute{a}nticaobservableenobjetosmacrosc\acute{o}picoscomounamoneda.$$

$$P(\text{cara})=0.5$$

→ La probabilidad de obtener cara al medir el estado es del 50%. Sin embargo, este ejemplo es una analogía simplificada, ya que una moneda real no es un sistema cuántico aislado.

1. Expresión de la probabilidad — La probabilidad de encontrar al electrón en $[0,L/2]$ es:
   $$P={\int }_0^{L/2}|{\psi }_3(x){|}^{2}dx={\int }_0^{L/2}\frac{2}{L}{\sin }^2\left(\frac{3\pi x}{L}\right)dx$$
2. Simplificación con cambio de variable — Haz el cambio de variable $u=\frac{3\pi x}{L}$, entonces $du=\frac{3\pi }{L}dx$, $dx=\frac{L}{3\pi }du$. Los límites cambian: $x=0\Rightarrow u=0$; $x=L/2\Rightarrow u=3\pi /2$.
   $$P=\frac{2}{L}\cdot \frac{L}{3\pi }{\int }_0^{3\pi /2}{\sin }^2(u)du=\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{3\pi /2}{\sin }^2(u)du$$
3. Cálculo de la integral — Usa la identidad para ${\sin }^2(u)$:
   $$\int {\sin }^2(u)du=\frac{u}{2}-\frac{\sin (2u)}{4}+CP=\frac{2}{3\pi }{[\frac{u}{2}-\frac{\sin (2u)}{4}]}_0^{3\pi /2}=\frac{2}{3\pi }(\frac{3\pi }{4}-\frac{\sin (3\pi )}{4}-0+0)=\frac{2}{3\pi }\cdot \frac{3\pi }{4}=\frac{1}{2}$$

$$P=0.5$$

→ La probabilidad de encontrar al electrón en la mitad izquierda del pozo es del 50%.

1. Aplicación de la fórmula de interferencia — Sustituye los valores en la fórmula de interferencia para doble rendija:
   $$\mathrm{\Delta }y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{0.01\times 10}{0.2}=\frac{0.1}{0.2}=0.5\text{ m}$$
2. Interpretación del resultado — Los máximos de interferencia (zonas donde las piedras se acumulan más) están separados por 0.5 metros en la orilla del río. Esto muestra cómo la longitud de onda afecta la distribución de probabilidad, similar a lo que ocurre con electrones en el experimento cuántico real.
3. Diferencia con mecánica cuántica — En mecánica cuántica, los electrones individuales crean un patrón de interferencia estadístico. Aquí, las piedras macroscópicas no muestran interferencia cuántica real debido a la decoherencia con el ambiente (el agua, el aire, etc.).

$$\mathrm{\Delta }y=0.5\text{ m}$$

→ La distancia entre los máximos de interferencia en la pantalla es de 0.5 metros.

1. Valores posibles de l — Para $n=3$, los valores posibles de $l$ son:
   $$l=0,1,2$$
2. Valores de $m_l$ para cada l — Para cada $l$, los valores de $m_l$ son:
   $$l=0:m_l=0(1valor)l=1:m_l=-1,0,+1(3valores)l=2:m_l=-2,-1,0,+1,+2(5valores)$$
3. Número total de orbitales — Suma los orbitales para cada $l$: $1+3+5=9$ orbitales. Cada orbital puede albergar 2 electrones (uno con espín arriba y otro abajo), pero el número de orbitales es 9.
   $$N=1+3+5=9\text{ orbitales}$$
4. Valores posibles de $m_s$ — Para cada orbital, el espín puede ser $m_s=+\frac{1}{2}$ o $m_s=-\frac{1}{2}$. Esto duplica el número de estados posibles, pero no el número de orbitales.
   $$m_s=+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$$

$$N=9\text{ orbitales}$$

→ Para $n=3$, hay 9 orbitales en total, descritos por los valores de $l=\mathrm{0,1,2}$ y sus respectivos $m_l$.