¿Por qué tu smartphone no se derrite? Física del estado sólido en

1. Cálculo de la variación de temperatura — Primero determinamos cuánto cambia la temperatura. Como el coeficiente de dilatación usa kelvin pero la diferencia es la misma en °C, calculamos directamente:
   $$\mathrm{\Delta }T=T_f-T_i=14\text{°C}-22\text{°C}=-8\text{ K}$$
2. Aplicación de la fórmula de dilatación lineal — Ahora aplicamos la fórmula $\mathrm{\Delta }L=\alpha \cdot L_0\cdot \mathrm{\Delta }T$. Observa que al ser $\mathrm{\Delta }T$ negativo, la longitud disminuye (contracción):
   $$\mathrm{\Delta }L=9\times {10}^{-6}{\text{K}}^{-1}\times 12\text{ cm}\times (-8\text{ K})=-8.64\times {10}^{-4}\text{ cm}$$
3. Interpretación del resultado — El valor negativo indica contracción. En términos prácticos, el vidrio se contrae aproximadamente 0.000864 cm, lo que es microscópico pero suficiente para generar tensiones internas.

$$\mathrm{\Delta }L=-8.64\times {10}^{-4}\text{ cm}$$

→ El vidrio se contrae aproximadamente 8.64 × 10⁻⁴ cm.

1. Cálculo de la variación de temperatura — Determinamos cuánto hay que calentar el chip:
   $$\mathrm{\Delta }T=T_{\text{fusión}}-T_{\text{ambiente}}=1414\text{°C}-25\text{°C}=1389\text{ K}$$
2. Cálculo de la energía de calentamiento — Aplicamos la fórmula $Q=m\cdot c\cdot \mathrm{\Delta }T$:
   $$Q=0.5\text{ g}\times 0.7\text{ J/g·°C}\times 1389\text{ °C}=486.15\text{ J}$$
3. Interpretación energética — Esta energía es relativamente pequeña (menos de 500 J), lo que explica por qué un chip no se funde con el calor normal de operación. El silicio tiene una alta temperatura de fusión gracias a sus fuertes enlaces covalentes.

$$Q=486.15\text{ J}$$

→ Se necesitan aproximadamente 486.15 julios para calentar el chip hasta su temperatura de fusión.

1. Conversión de unidades — Convertimos el área y el grosor a metros:
   $$A=1{\text{ cm}}^2=1\times {10}^{-4}{\text{ m}}^2,e=0.5\text{ mm}=0.5\times {10}^{-3}\text{ m}$$
2. Aplicación de la ley de Fourier — Reordenamos la fórmula para despejar $\mathrm{\Delta }T$:
   $$\mathrm{\Delta }T=\frac{P\cdot e}{k\cdot A}=\frac{2\text{ W}\times 0.5\times {10}^{-3}\text{ m}}{149\text{ W/m·K}\times 1\times {10}^{-4}{\text{ m}}^2}$$
3. Cálculo final — Realizamos la operación:
   $$\mathrm{\Delta }T=\frac{1\times {10}^{-3}}{1.49\times {10}^{-2}}=0.0671\text{ K}=0.0671\text{ °C}$$

$$\mathrm{\Delta }T=0.067\text{ °C}$$

→ La diferencia de temperatura entre las caras del procesador es aproximadamente 0.067°C.

1. Aplicación de la fórmula de dureza — Usamos la relación proporcionada:
   $${\sigma }_{\text{máx}}=\frac{HV}{3}=\frac{600\text{ HV}}{3}=200\text{ HV}$$
2. Conversión a unidades estándar — Convertimos HV a GPa. Para materiales frágiles como el vidrio de pantallas, 1 HV ≈ 0.01 GPa:
   $${\sigma }_{\text{máx}}=200\times 0.01\text{ GPa}=2\text{ GPa}$$
3. Interpretación del resultado — Esta tensión máxima indica que la pantalla puede soportar fuerzas considerables antes de deformarse. Por eso no se raya fácilmente con un bolígrafo o una llave.

$${\sigma }_{\text{máx}}=2\text{ GPa}$$

→ La tensión máxima que puede soportar la pantalla sin deformarse es aproximadamente 2 GPa.

1. Cálculo de la resistencia inicial — Primero calculamos la resistencia a 20°C:
   $$R_0={\rho }_0\cdot \frac{L}{A}=1.68\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \text{m}\times \frac{1.5\text{ m}}{1\times {10}^{-6}{\text{ m}}^2}=0.0252\mathrm{\Omega }$$
2. Variación de temperatura — Calculamos $\mathrm{\Delta }T=40°C-20°C=20K$
   $$\mathrm{\Delta }T=20\text{ K}$$
3. Cálculo de la resistencia final — Aplicamos la fórmula de variación con temperatura:
   $$R_f=R_0[1+\alpha \mathrm{\Delta }T]=0.0252\mathrm{\Omega }\times [1+3.9\times {10}^{-3}\times 20]=0.0252\times 1.078=0.0272\mathrm{\Omega }$$

$$R_0=0.0252\mathrm{\Omega },R_f=0.0272\mathrm{\Omega }$$

→ La resistencia inicial es 0.0252 Ω y la resistencia final a 40°C es 0.0272 Ω.

1. Cálculo de la relación de conductividades — Como las demás variables son iguales, la relación de potencias es directamente la relación de conductividades:
   $$r=\frac{k_{\text{Si}}}{k_{\text{vidrio}}}=\frac{149}{1.1}=135.45$$
2. Interpretación del resultado — Esto significa que el chip de silicio disipa 135 veces más calor que el vidrio para la misma diferencia de temperatura. Por eso los procesadores necesitan disipadores y ventilación, mientras que la pantalla no se calienta tanto al tacto.

$$r=135.45$$

→ El chip de silicio disipa aproximadamente 135 veces más potencia térmica que el vidrio Gorilla Glass en las mismas condiciones.

1. Conversión de unidades — Convertimos las unidades de movilidad a SI:
   $${\mu }_e=1350{\text{ cm}}^2/\text{V·s}=1350\times {10}^{-4}{\text{ m}}^2/\text{V·s}=0.135{\text{ m}}^2/\text{V·s}$$
2. Cálculo de la conductividad — Como es dopado tipo n, n ≈ N_d = $1\times {10}^{22}{\text{ m}}^{-3}$ (convertido de cm⁻³ a m⁻³):
   $$\sigma =e\cdot n\cdot {\mu }_e=1.6\times {10}^{-19}\text{ C}\times 1\times {10}^{22}{\text{ m}}^{-3}\times 0.135{\text{ m}}^2/\text{V·s}=216\text{ S/m}$$
3. Comparación con silicio puro — El silicio puro tiene una conductividad de aproximadamente $4.4\times {10}^{-4}\text{ S/m}$. El dopaje aumenta la conductividad en más de 500,000 veces, permitiendo la fabricación de transistores.

$$\sigma =216\text{ S/m}$$

→ La conductividad eléctrica del semiconductor dopado es 216 S/m.

1. Conversión de unidades — Convertimos el área a metros cuadrados:
   $$A=0.1{\text{ mm}}^2=0.1\times {10}^{-6}{\text{ m}}^2=1\times {10}^{-7}{\text{ m}}^2$$
2. Cálculo del grosor mínimo — Despejamos e de la fórmula:
   $$e=\frac{k\cdot A\cdot \mathrm{\Delta }T}{P}=\frac{5000\text{ W/m·K}\times 1\times {10}^{-7}{\text{ m}}^2\times 1\text{ K}}{10\text{ W}}=5\times {10}^{-5}\text{ m}$$
3. Conversión a micrómetros — Convertimos a micrómetros para mejor comprensión:
   $$e=5\times {10}^{-5}\text{ m}=50\text{mu}\text{m}$$

$$e_{\text{min}}=50\mu \text{m}$$

→ El grosor mínimo de grafeno necesario es 50 micrómetros.

1. Concentración de portadores en semiconductor intrínseco — En un semiconductor intrínseco, la concentración de electrones libres ($n$) es igual a la concentración de huecos ($p$), y ambas son iguales a la concentración intrínseca $n_i$:
   $$n=p=n_i$$
2. Expresión de la conductividad — La conductividad eléctrica total es la suma de las contribuciones de electrones y huecos:
   $$\sigma =ne{\mu }_e+pe{\mu }_h$$
3. Simplificación usando $n=p=n_i$ — Sustituyendo las concentraciones por $n_i$:
   $$\sigma =n_{i}e{\mu }_e+n_{i}e{\mu }_h=n_{i}e({\mu }_e+{\mu }_h)$$
4. Conclusión — Por lo tanto, hemos demostrado que la conductividad en un semiconductor intrínseco sigue la expresión $\sigma =n_{i}e({\mu }_e+{\mu }_h)$. Esta fórmula es fundamental para entender el comportamiento eléctrico de materiales puros como el silicio intrínseco usado en algunos sensores.

$$\sigma =n_{i}e({\mu }_e+{\mu }_h)$$

→ Se ha demostrado que $\sigma =n_{i}e({\mu }_e+{\mu }_h)$ para semiconductores intrínsecos.