Domina la Dinámica de Fluidos Computacional como un Profesional

1. Cálculo del área transversal — Primero calculamos el área de la tubería usando el diámetro dado. Convertimos 30 cm a metros: $r=0.15$ m. Luego aplicamos la fórmula del área de un círculo.
   $$A=\pi r^2=\pi {(0.15)}^2$$
2. Cálculo del caudal volumétrico — Ahora aplicamos la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles: el caudal volumétrico $Q$ es el producto del área por la velocidad.
   $$Q=A\times v$$
3. Cálculo de la pérdida económica por hora — Multiplicamos el caudal por el tiempo de 1 hora (3600 segundos) para obtener el volumen total perdido en ese tiempo. Luego multiplicamos por el costo del agua.
   $$V_{p\acute{e}rdido}=Q\times 3600\text{ s}$$
4. Cálculo final de la pérdida económica — Multiplicamos el volumen perdido por el costo por metro cúbico para obtener la pérdida en pesos colombianos.
   $$\text{Pérdida}=V_{p\acute{e}rdido}\times 3500{\text{ COP/m}}^3$$

$$Q=0.177{\text{m}}^3/\text{s}\text{y}2233200\text{COP/hora}$$

→ El caudal perdido es 0.177 m³/s y la pérdida económica por hora es 2 233 200 COP.

1. Ecuación simplificada de la pluma — Para un contaminante emitido de forma continua, la concentración en un punto aguas abajo se puede aproximar con la ecuación de la pluma de Gauss simplificada. Sustituimos los valores conocidos.
   $$C(x)=\frac{Q}{v\sqrt{4\pi Dx}}\exp (-\frac{vx}{4D})$$
2. Sustitución de valores — Reemplazamos los valores numéricos en la ecuación. Usamos $Q=1$ kg/s como tasa de emisión típica para una chimenea industrial pequeña.
   $$C(100)=\frac{1}{1\times \sqrt{4\pi \times 0.5\times 100}}\exp (-\frac{1\times 100}{4\times 0.5})$$
3. Cálculo del denominador — Calculamos primero el término dentro de la raíz cuadrada y luego la raíz misma.
   $$\sqrt{4\pi \times 0.5\times 100}=\sqrt{200\pi }$$
4. Cálculo del exponente — Evaluamos la parte exponencial de la ecuación.
   $$\exp (-50)\approx 1.93\times {10}^{-22}$$
5. Resultado final — Combinamos todos los términos para obtener la concentración final.
   $$C(100)=\frac{1}{\sqrt{200\pi }}\times 1.93\times {10}^{-22}$$

$$C\approx 4.5\times {10}^{-24}{\text{kg/m}}^3$$

→ La concentración del contaminante a 100 m de distancia es aproximadamente $4.5\times {10}^{-24}$ kg/m³, lo que indica una dispersión casi total.

1. Cálculo de la fuerza nueva — La fuerza de resistencia es proporcional al coeficiente de arrastre. Calculamos la nueva fuerza usando la relación entre los coeficientes.
   $$F_{nuevo}=F_{actual}\times \frac{C_{d\_nuevo}}{C_{d\_actual}}$$
2. Cálculo del trabajo ahorrado por viaje — Calculamos el trabajo ahorrado por viaje redondo. Primero convertimos la distancia a metros: 18 km = 18 000 m.
   $$W_{ahorro}=(F_{actual}-F_{nuevo})\times 18000\text{m}$$
3. Cálculo de la energía necesaria del combustible — La energía requerida se obtiene dividiendo el trabajo por la eficiencia del motor (expresada como decimal).
   $$E_{combustible}=\frac{W_{ahorro}}{0.3}$$
4. Cálculo del ahorro de combustible — Dividimos la energía necesaria por el poder calorífico del combustible para obtener los litros ahorrados.
   $$V_{ahorro}=\frac{E_{combustible}}{35\text{MJ/L}}$$
5. Cálculo del ahorro económico — Multiplicamos el volumen ahorrado por el costo del combustible para obtener el valor en pesos.
   $$\text{Ahorro}=V_{ahorro}\times 10000\text{COP/L}$$

$$F_{nuevo}=3750\text{N}\text{y}760\text{COP/ viaje}$$

→ La nueva fuerza de resistencia es 3 750 N. El ahorro de combustible por viaje redondo es aproximadamente 0.076 litros, lo que equivale a 760 COP.

1. Conversión de unidades del vertido — Convertimos el caudal de mercurio de kg/h a kg/s para que sea consistente con las unidades del río.
   $$Q_{vertido}=0.5\text{kg/h}=\frac{0.5}{3600}\text{kg/s}$$
2. Cálculo de la concentración inicial — La concentración justo después del vertido (sin dispersión) es el cociente entre el caudal de vertido y el caudal del río.
   $$C_0=\frac{Q_{vertido}}{Q_{rio}}$$
3. Cálculo del término exponencial — Evaluamos el exponente de la ecuación de dispersión. Primero convertimos 50 km a metros: 50 000 m.
   $$\exp (-\frac{vx}{2K})=\exp (-\frac{2\times 50000}{2\times 100})=\exp (-500)$$
4. Cálculo final de la concentración — Multiplicamos la concentración inicial por el término exponencial para obtener la concentración a 50 km.
   $$C(50000)=C_0\times \exp (-500)$$
5. Conversión a µg/L — Convertimos la concentración de kg/m³ a µg/L. Recuerda que 1 kg/m³ = 10^9 µg/L.
   $$C(\mu g/L)=C(50000)\times {10}^9$$

$$C\approx 2.78\times {10}^{-12}\mu \text{g/L}$$

→ La concentración de mercurio a 50 km aguas abajo es aproximadamente $2.78\times {10}^{-12}$ µg/L, un valor extremadamente bajo que indica una gran dilución en el río Magdalena.

1. Cálculo del volumen de metano acumulado — Multiplicamos el caudal de metano por el tiempo para obtener el volumen total liberado.
   $$V_{metano}=Q_{metano}\times t$$
2. Cálculo del volumen total de aire en la mina — El volumen total de aire es el volumen de la mina más el volumen de aire ventilado en 30 minutos.
   $$V_{total}=V_{mina}+Q_{aire}\times t$$
3. Cálculo de la concentración en porcentaje — La concentración es el cociente entre el volumen de metano y el volumen total de aire, multiplicado por 100.
   $$C=\frac{V_{metano}}{V_{total}}\times 100$$

$$C=0.57\%$$

→ La concentración de metano después de 30 minutos es 0.57%, un valor seguro por debajo del límite del 1%.

1. Cálculo de la velocidad inicial de la ola — Usamos la fórmula de velocidad de onda en aguas profundas.
   $$v=\sqrt{gh}=\sqrt{9.81\times 3000}$$
2. Cálculo del factor de atenuación — Aplicamos la ley de Green para calcular la altura de la ola después de recorrer 150 km.
   $$H=H_0{\left(\frac{1}{150}\right)}^{1/4}$$
3. Evaluación numérica — Calculamos el valor del exponente y luego la altura final.
   $$H=2\times {(0.00667)}^{0.25}$$

$$H\approx 0.63\text{m}$$

→ La altura estimada de la ola en Buenaventura es aproximadamente 0.63 m, lo que indica una atenuación significativa pero aún peligrosa para zonas costeras bajas.

1. Cálculo de la fuerza para la canoa A — Aplicamos la fórmula de arrastre con los valores de la canoa A.
   $$F_A=\frac{1}{2}\times 1000\times 3^2\times 0.9\times 0.4$$
2. Cálculo de la fuerza para la canoa B — Aplicamos la fórmula de arrastre con los valores de la canoa B.
   $$F_B=\frac{1}{2}\times 1000\times 3^2\times 0.7\times 0.35$$
3. Cálculo del trabajo para cada canoa — Convertimos la distancia a metros (1 km = 1 000 m) y calculamos el trabajo para cada canoa.
   $$W_A=F_A\times 1000\text{y}{W}_B=F_B\times 1000$$
4. Cálculo de la energía ahorrada — Restamos los trabajos para obtener la diferencia en energía necesaria.
   $$E_{ahorro}=W_A-W_B$$

$$F_A=1620\text{N},F_B=1102.5\text{N}\text{y}{E}_{ahorro}=517500\text{J}$$

→ La canoa A requiere 1 620 N de fuerza y la canoa B requiere 1 102.5 N. La energía ahorrada al usar la canoa B para recorrer 1 km es 517 500 J.

1. Conversión de unidades — Convertimos la distancia de kilómetros a metros para que sea consistente con la velocidad en m/h.
   $$d=20000\text{m}$$
2. Cálculo del tiempo en horas — Aplicamos la fórmula del tiempo usando la velocidad efectiva del agua subterránea.
   $$t=\frac{20000}{0.2}=100000\text{horas}$$
3. Conversión a días — Convertimos el tiempo de horas a días para obtener un valor más comprensible.
   $$t=\frac{100000}{24}\approx 4167\text{días}$$
4. Conversión a años — Para mayor claridad, convertimos los días a años.
   $$t=\frac{4167}{365}\approx 11.4\text{años}$$

$$t\approx 4167\text{días}(11.4\text{años})$$

→ El plaguicida tarda aproximadamente 4 167 días (11.4 años) en llegar al embalse de La Esmeralda desde la finca en Tunja.

1. Cálculo de la fuerza nueva — Aplicamos la relación de proporcionalidad entre la fuerza y el coeficiente de arrastre.
   $$F_{nuevo}=8000\times \frac{0.5}{0.9}$$
2. Cálculo del trabajo ahorrado por día — Convertimos la distancia a metros y calculamos el trabajo ahorrado.
   $$W_{ahorro}=(8000-F_{nuevo})\times 200000$$
3. Cálculo de la energía necesaria del combustible — Dividimos el trabajo ahorrado por la eficiencia del motor (expresada como decimal).
   $$E_{combustible}=\frac{W_{ahorro}}{0.25}$$
4. Cálculo del volumen de combustible ahorrado — Dividimos la energía por el poder calorífico del combustible para obtener litros.
   $$V_{ahorro}=\frac{E_{combustible}}{32\text{MJ/L}}$$
5. Cálculo del ahorro económico diario — Multiplicamos el volumen ahorrado por el costo del combustible.
   $$\text{Ahorro}=V_{ahorro}\times 11000$$

$$F_{nuevo}=4444\text{N},V_{ahorro}=1.93\text{L/día}\text{y}21230\text{COP/día}$$

→ La nueva fuerza de resistencia es 4 444 N. El ahorro de combustible diario es aproximadamente 1.93 litros, lo que equivale a 21 230 COP por día.

1. Conversión de velocidad — Convertimos la velocidad del viento a unidades del SI (m/s).
   $$v=50\times \frac{1000}{3600}=13.89\text{m/s}$$
2. Cálculo de la presión dinámica — Aplicamos la fórmula de presión dinámica con los valores convertidos.
   $$P=\frac{1}{2}\times 1.225\times {(13.89)}^2$$
3. Cálculo de la fuerza total — Multiplicamos la presión por el área frontal del castillo para obtener la fuerza total.
   $$F=P\times 200$$

$$P=117\text{Pa}\text{y}F=23400\text{N}$$

→ La presión dinámica del viento es aproximadamente 117 Pa y la fuerza total ejercida sobre el castillo es 23 400 N.