Dualidad onda-partícula: ejercicios con ejemplos colombianos

1. Datos y conversión de unidades — Tenemos la separación entre franjas $d=2.5$ mm, la distancia al charco $L=1.2$ m y la longitud de onda $\lambda =600$ nm. Convertimos $d$ a metros: $d=2.5\times {10}^{-3}$ m y $\lambda =600\times {10}^{-9}$ m.
2. Aplicación de la fórmula de interferencia — Para interferencia constructiva en doble rendija, la separación entre franjas se da por $d=\frac{\lambda L}{a}$. Despejamos $a$: $a=\frac{\lambda L}{d}$.
   $$a=\frac{\lambda L}{d}$$
3. Cálculo numérico — Sustituimos los valores: $a=\frac{(600\times {10}^{-9})\times 1.2}{2.5\times {10}^{-3}}$. Calculamos paso a paso: $a=\frac{720\times {10}^{-9}}{2.5\times {10}^{-3}}=288\times {10}^{-6}$ m.
   $$a=288\times {10}^{-6}\text{ m}$$

$$0.288\text{ mm}$$

→ La separación entre las rendijas es de 0.288 mm.

1. Conversión de unidades — Convertimos los datos a metros: $\mathrm{\Delta }y=4\times {10}^{-3}$ m, $\lambda =550\times {10}^{-9}$ m y $D=0.8$ m.
2. Fórmula de interferencia — Para interferencia constructiva, $\mathrm{\Delta }y=\frac{\lambda D}{a}$. Despejamos $a$: $a=\frac{\lambda D}{\mathrm{\Delta }y}$.
   $$a=\frac{\lambda D}{\mathrm{\Delta }y}$$
3. Cálculo — Sustituyendo: $a=\frac{(550\times {10}^{-9})\times 0.8}{4\times {10}^{-3}}=110\times {10}^{-6}$ m.
   $$a=110\times {10}^{-6}\text{ m}$$

$$0.11\text{ mm}$$

→ La separación entre las rendijas naturales es de 0.11 mm.

1. Conversión de unidades — Convertimos $w=12$ cm a $0.12$ m y $\lambda =500$ nm a $500\times {10}^{-9}$ m.
2. Fórmula de difracción por una rendija — Para el máximo central en difracción, el ancho se da por $w=\frac{2\lambda L}{a}$. Despejamos $a$: $a=\frac{2\lambda L}{w}$.
   $$a=\frac{2\lambda L}{w}$$
3. Cálculo numérico — Sustituyendo valores: $a=\frac{2\times (500\times {10}^{-9})\times 3}{0.12}=25\times {10}^{-6}$ m.
   $$a=25\times {10}^{-6}\text{ m}$$

$$0.025\text{ mm}$$

→ El ancho de la abertura es de 0.025 mm.

1. Principio de incertidumbre — El principio de Heisenberg establece que $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$. Como $p=mv$, entonces $\mathrm{\Delta }p=m\mathrm{\Delta }v$. Sustituyendo: $\mathrm{\Delta }x\cdot m\mathrm{\Delta }v\ge \frac{h}{4\pi }$.
   $$\mathrm{\Delta }x\cdot m\mathrm{\Delta }v\ge \frac{h}{4\pi }$$
2. Despeje de Δv — Despejamos $\mathrm{\Delta }v$: $\mathrm{\Delta }v\ge \frac{h}{4\pi m\mathrm{\Delta }x}$.
   $$\mathrm{\Delta }v\ge \frac{h}{4\pi m\mathrm{\Delta }x}$$
3. Cálculo numérico — Sustituyendo valores: $\mathrm{\Delta }v\ge \frac{1.05\times {10}^{-34}}{4\times 3.14\times 9.11\times {10}^{-31}\times 1\times {10}^{-9}}=9.2\times {10}^3$ m/s.
   $$\mathrm{\Delta }v\ge 9.2\times {10}^3\text{ m/s}$$

$$9.2\times {10}^3\text{ m/s}$$

→ La mínima incertidumbre en la velocidad es de 9.2 km/s.

1. Conversión de unidades — Convertimos $a=0.1$ mm a $1\times {10}^{-4}$ m y $\lambda =632.8$ nm a $632.8\times {10}^{-9}$ m.
2. Fórmula de interferencia — Para interferencia constructiva, la separación entre máximos es $\mathrm{\Delta }y=\frac{\lambda L}{a}$.
   $$\mathrm{\Delta }y=\frac{\lambda L}{a}$$
3. Cálculo — Sustituyendo: $\mathrm{\Delta }y=\frac{(632.8\times {10}^{-9})\times 2}{1\times {10}^{-4}}=12.656\times {10}^{-3}$ m.
   $$\mathrm{\Delta }y=12.656\times {10}^{-3}\text{ m}$$

$$12.66\text{ mm}$$

→ La separación entre los máximos de interferencia es de 12.66 mm.

1. Cálculo de la corriente — La energía mensual es $120000$ COP. Asumiendo un costo de $300$ COP por kWh (valor aproximado en Colombia), el consumo es $E=\frac{120000}{300}=400$ kWh. La potencia promedio es $P=\frac{400\text{ kWh}}{30\text{ días}\times 24\text{ h/día}}=0.556$ kW = $556$ W. La corriente es $I=\frac{P}{V}=\frac{556}{110}=5.05$ A.
   $$I=5.05\text{ A}$$
2. Velocidad de arrastre de los electrones — Usamos $I=nA{v}_{d}q$, donde $A=\pi {(D/2)}^2=\pi {(1\times {10}^{-3})}^2=3.14\times {10}^{-6}$ m², $n=8.5\times {10}^{28}$ m⁻³ y $q=1.6\times {10}^{-19}$ C. Despejamos $v_d$: $v_d=\frac{I}{nAq}=\frac{5.05}{(8.5\times {10}^{28})(3.14\times {10}^{-6})(1.6\times {10}^{-19})}=1.18\times {10}^{-4}$ m/s.
   $$v_d=1.18\times {10}^{-4}\text{ m/s}$$
3. Principio de incertidumbre — Aplicamos $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$ con $\mathrm{\Delta }x=D=2\times {10}^{-3}$ m. Como $p=mv$, entonces $\mathrm{\Delta }p=m\mathrm{\Delta }v$. Despejamos $\mathrm{\Delta }v$: $\mathrm{\Delta }v\ge \frac{h}{4\pi m\mathrm{\Delta }x}=\frac{1.05\times {10}^{-34}}{4\times 3.14\times 9.11\times {10}^{-31}\times 2\times {10}^{-3}}=4.6\times {10}^3$ m/s.
   $$\mathrm{\Delta }v\ge 4.6\times {10}^3\text{ m/s}$$

$$4.6\times {10}^3\text{ m/s}$$

→ La mínima incertidumbre en la velocidad de los electrones es de 4.6 km/s.

1. Conversión de unidades — Convertimos $w=5$ cm a $0.05$ m y $\lambda =550$ nm a $550\times {10}^{-9}$ m.
2. Fórmula de difracción — Para el máximo central en difracción por una rendija: $w=\frac{2\lambda L}{a}$. Despejamos $a$: $a=\frac{2\lambda L}{w}$.
   $$a=\frac{2\lambda L}{w}$$
3. Cálculo numérico — Sustituyendo valores: $a=\frac{2\times (550\times {10}^{-9})\times 1.5}{0.05}=33\times {10}^{-6}$ m.
   $$a=33\times {10}^{-6}\text{ m}$$

$$0.033\text{ mm}$$

→ El ancho promedio de las hojas que actúan como rendijas es de 0.033 mm.

1. Condición para mínimos — En interferencia de doble rendija, los mínimos ocurren cuando $d\sin \theta =(m+\frac{1}{2})\lambda$, donde $m=0,1,2,...$ Para el primer mínimo ($m=0$): $d\sin \theta =\frac{\lambda }{2}$.
   $$d\sin \theta =\frac{\lambda }{2}$$
2. Aproximación para ángulos pequeños — Para ángulos pequeños, $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$. Sustituyendo: $d\frac{y}{L}=\frac{\lambda }{2}$. Despejamos $y$: $y=\frac{\lambda L}{2d}$.
   $$y=\frac{\lambda L}{2d}$$
3. Cálculo numérico — Sustituyendo valores: $y=\frac{(632.8\times {10}^{-9})\times 1}{2\times (0.05\times {10}^{-3})}=6.328\times {10}^{-3}$ m.
   $$y=6.328\times {10}^{-3}\text{ m}$$

$$6.33\text{ mm}$$

→ La posición del primer mínimo de interferencia es de 6.33 mm.

1. Relación entre Δt y Δx — La incertidumbre en tiempo está dada por $\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}=\frac{10\times {10}^{-9}}{1\times {10}^5}=1\times {10}^{-13}$ s.
   $$\mathrm{\Delta }t=1\times {10}^{-13}\text{ s}$$
2. Principio de incertidumbre energía-tiempo — El principio establece $\mathrm{\Delta }E\mathrm{\Delta }t\ge \frac{h}{4\pi }$. Despejamos $\mathrm{\Delta }E$: $\mathrm{\Delta }E\ge \frac{h}{4\pi \mathrm{\Delta }t}=\frac{6.63\times {10}^{-34}}{4\times 3.14\times 1\times {10}^{-13}}=5.27\times {10}^{-22}$ J.
   $$\mathrm{\Delta }E\ge 5.27\times {10}^{-22}\text{ J}$$
3. Conversión a electronvoltios — Convertimos a eV: $\mathrm{\Delta }E=\frac{5.27\times {10}^{-22}}{1.6\times {10}^{-19}}=3.3\times {10}^{-3}$ eV.
   $$\mathrm{\Delta }E=3.3\times {10}^{-3}\text{ eV}$$

$$3.3\times {10}^{-3}\text{ eV}$$

→ La mínima incertidumbre en la energía de los electrones es de 3.3 meV.