Ejercicios de astrofísica: Descubre los secretos del universo en

1. Fórmula del brillo aparente — El brillo aparente $b$ se calcula usando la ley inversa del cuadrado de la distancia.
   $$b=\frac{L}{4\pi d^2}$$
2. Sustitución de valores — Reemplaza los valores conocidos en la fórmula.
   $$b=\frac{100}{4\pi {(5)}^2}$$
3. Cálculo final — Realiza las operaciones para obtener el valor del brillo aparente.
   $$b=\frac{100}{4\pi \times 25}=\frac{1}{\pi }\approx 0.318{\text{u/m}}^2$$

$$b\approx 0.32{\text{u/m}}^2$$

→ El brillo aparente observado es aproximadamente $0.32{\text{u/m}}^2$

1. Módulo de distancia — El módulo de distancia relaciona la magnitud aparente y absoluta con la distancia.
   $$m-M=5{\log }_{10}(d)-5$$
2. Despeje de d — Aísla el término con el logaritmo para despejar $d$.
   $$m-M+5=5{\log }_{10}(d)$$
3. Sustitución y cálculo — Sustituye los valores y resuelve para $d$.
   $$d={10}^{(m-M+5)/5}={10}^{(-1.46-1.42+5)/5}={10}^{2.12/5}\approx {10}^{0.424}\approx 2.65\text{pc}$$

$$d\approx 2.65\text{pc}$$

→ La distancia a Sirio es aproximadamente $2.65\text{parsecs}$

1. Fórmula del corrimiento al rojo — La velocidad de recesión se calcula a partir del corrimiento al rojo.
   $$v\approx z\cdot c$$
2. Sustitución de valores — Reemplaza $z$ y $c$ en la fórmula.
   $$v\approx 0.0037\times 3\times {10}^5\text{km/s}$$
3. Cálculo final — Multiplica para obtener la velocidad.
   $$v\approx 1.11\times {10}^3\text{km/s}=1110\text{km/s}$$

$$v\approx 1110\text{km/s}$$

→ La velocidad de recesión de la galaxia en Virgo es aproximadamente $1110\text{km/s}$

1. Conversión de unidades — Convierte la masa y el radio a kilogramos y metros.
   $$M=2\times 1.989\times {10}^{30}\text{kg}=3.978\times {10}^{30}\text{kg}R=5\times 6.957\times {10}^8\text{m}=3.4785\times {10}^9\text{m}$$
2. Sustitución en la fórmula — Reemplaza los valores en la expresión de la presión gravitacional.
   $$P_g=\frac{6.674\times {10}^{-11}\times {(3.978\times {10}^{30})}^2}{8\pi {(3.4785\times {10}^9)}^4}$$
3. Cálculo final — Realiza las operaciones para obtener el valor de la presión.
   $$P_g\approx \frac{6.674\times {10}^{-11}\times 1.582\times {10}^{61}}{8\pi \times 1.48\times {10}^{38}}\approx 2.8\times {10}^{14}\text{Pa}$$

$$P_g\approx 2.8\times {10}^{14}\text{Pa}$$

→ La presión gravitacional en el centro de la estrella es aproximadamente $2.8\times {10}^{14}\text{Pa}$

1. Clasificación por temperatura — Asigna el tipo espectral según la temperatura superficial.
   $$\begin{array}{cc}& T>30000\text{K}\to \text{O}\\ & 10000<T\le 30000\text{K}\to \text{B}\\ & 7500<T\le 10000\text{K}\to \text{A}\\ & 6000<T\le 7500\text{K}\to \text{F}\\ & 5200<T\le 6000\text{K}\to \text{G}\\ & 3700<T\le 5200\text{K}\to \text{K}\\ & T\le 3700\text{K}\to \text{M}\end{array}$$
2. Análisis de la estrella A — La estrella A tiene una temperatura de $30000\text{K}$ y una luminosidad de ${10}^4{\text{L}}_{\odot }$. Es muy caliente y luminosa, lo que sugiere que es una estrella O o B en la secuencia principal o una supergigante.
   $$\text{Estrella A: Tipo O, Supergigante o estrella O de secuencia principal}$$
3. Análisis de la estrella B — La estrella B tiene una temperatura de $5800\text{K}$ y una luminosidad de $1{\text{L}}_{\odot }$. Es similar al Sol, por lo que es una estrella G de secuencia principal.
   $$\text{Estrella B: Tipo G, Secuencia principal}$$
4. Análisis de la estrella C — La estrella C tiene una temperatura de $3000\text{K}$ y una luminosidad de ${10}^{-2}{\text{L}}_{\odot }$. Es fría y poco luminosa, típica de una estrella M en la secuencia principal o una enana roja.
   $$\text{Estrella C: Tipo M, Secuencia principal (enana roja)}$$

→ Estrella A: Tipo O, supergigante o estrella O de secuencia principal. Estrella B: Tipo G, secuencia principal. Estrella C: Tipo M, secuencia principal (enana roja).

1. Energía emitida por el Sol en 1 segundo — Calcula la energía total emitida por el Sol en un segundo.
   $$E=P\times t=3.828\times {10}^{26}\text{J}$$
2. Cálculo del número de refrescos — Divide la energía total entre el precio de un refresco para obtener el número equivalente.
   $$N=\frac{E}{\text{precio}}=\frac{3.828\times {10}^{26}}{3500}\approx 1.094\times {10}^{23}$$
3. Resultado — El Sol emite suficiente energía en un segundo para comprar aproximadamente $1.09\times {10}^{23}$ refrescos.
   $$N\approx 1.09\times {10}^{23}$$

$$N\approx 1.09\times {10}^{23}$$

→ El Sol emite suficiente energía en un segundo para comprar aproximadamente $1.09\times {10}^{23}$ refrescos de $3500$ COP.

1. Energía por núcleo de hidrógeno — La reacción consume 4 núcleos de hidrógeno para liberar $26.7\text{MeV}$. Por lo tanto, la energía por núcleo es un cuarto de este valor.
   $$E_{\text{núcleo}}=\frac{26.7\text{MeV}}{4}=6.675\text{MeV}$$
2. Número de núcleos en 1 kg de hidrógeno — Calcula cuántos núcleos de hidrógeno hay en un kilogramo usando la masa de un protón y el número de Avogadro.
   $$N=\frac{1\text{kg}}{m_p}=\frac{1}{1.6726\times {10}^{-27}}\approx 5.98\times {10}^{26}\text{núcleos}$$
3. Energía total por kilogramo — Multiplica la energía por núcleo por el número total de núcleos y convierte a julios.
   $$E_{\text{total}}=N\times E_{\text{núcleo}}\times 1.6022\times {10}^{-13}\text{J/MeV}{E}_{\text{total}}\approx 5.98\times {10}^{26}\times 6.675\times 1.6022\times {10}^{-13}\text{J/kg}{E}_{\text{total}}\approx 6.4\times {10}^{14}\text{J/kg}$$

$$E\approx 6.4\times {10}^{14}\text{J/kg}$$

→ La fusión de 1 kg de hidrógeno libera aproximadamente $6.4\times {10}^{14}\text{J}$ de energía.

1. Fórmula relativista del corrimiento al rojo — La velocidad de recesión se calcula usando la fórmula relativista para altos valores de $z$.
   $$v=c\cdot \frac{{(1+z)}^2-1}{{(1+z)}^2+1}$$
2. Sustitución de z = 0.5 — Reemplaza $z=0.5$ en la fórmula.
   $$v=3\times {10}^5\cdot \frac{{(1+0.5)}^2-1}{{(1+0.5)}^2+1}=3\times {10}^5\cdot \frac{2.25-1}{2.25+1}$$
3. Cálculo final — Realiza las operaciones para obtener la velocidad.
   $$v=3\times {10}^5\cdot \frac{1.25}{3.25}\approx 1.154\times {10}^5\text{km/s}$$

$$v\approx 1.15\times {10}^5\text{km/s}$$

→ La velocidad de recesión de la galaxia es aproximadamente $1.15\times {10}^5\text{km/s}$

1. Fórmula del pequeño ángulo — La distancia se calcula usando la relación entre el diámetro angular y el diámetro real.
   $$d=\frac{D}{\tan (\theta )}$$
2. Sustitución de valores — Reemplaza los valores conocidos en la fórmula.
   $$d=\frac{12\text{años luz}}{0.0349}$$
3. Cálculo final — Realiza la división para obtener la distancia.
   $$d\approx 343.8\text{años luz}$$

$$d\approx 344\text{años luz}$$

→ La distancia a las Pléyades es aproximadamente $344\text{años luz}$

1. Conversión de unidades — Convierte el período y el semieje mayor a segundos y metros.
   $$T=16\times 3.154\times {10}^7\text{s}=5.046\times {10}^8\text{s}a=1000\times 1.496\times {10}^{11}\text{m}=1.496\times {10}^{14}\text{m}$$
2. Sustitución en la tercera ley de Kepler — Reemplaza los valores en la fórmula para calcular la masa.
   $$M=\frac{4{\pi }^2{(1.496\times {10}^{14})}^3}{(6.674\times {10}^{-11}){(5.046\times {10}^8)}^2}$$
3. Cálculo final y conversión a masas solares — Realiza las operaciones y convierte el resultado a masas solares.
   $$M\approx 1.989\times {10}^{36}\text{kg}M\approx \frac{1.989\times {10}^{36}}{1.989\times {10}^{30}}{\text{M}}_{\odot }\approx 1\times {10}^6{\text{M}}_{\odot }$$

$$M\approx {10}^6{\text{M}}_{\odot }$$

→ La masa del agujero negro es aproximadamente $1\times {10}^6$ masas solares.

1. Conversión de la constante de Hubble — Convierte $H_0$ de km/s/Mpc a s⁻¹.
   $$H_0=70\text{km/s/Mpc}=70\times {10}^3\text{m/s}/(3.086\times {10}^{22}\text{m})H_0\approx 2.27\times {10}^{-18}{\text{s}}^{-1}$$
2. Cálculo de la densidad crítica — Usa la fórmula de la densidad crítica para calcular ${\rho }_c$.
   $${\rho }_c=\frac{3{(2.27\times {10}^{-18})}^2}{8\pi (6.674\times {10}^{-11})}{\rho }_c\approx 8.5\times {10}^{-27}{\text{kg/m}}^3$$
3. Comparación con la densidad actual — Como ${\rho }_0>{\rho }_c$, el universo está cerrado y eventualmente colapsará.
   $${\rho }_0=9.9\times {10}^{-27}{\text{kg/m}}^3>{\rho }_c=8.5\times {10}^{-27}{\text{kg/m}}^3\text{Tipo de universo: Cerrado}$$

$${\rho }_c\approx 8.5\times {10}^{-27}{\text{kg/m}}^3\text{Universo cerrado}$$

→ La densidad crítica es aproximadamente $8.5\times {10}^{-27}{\text{kg/m}}^3$. El universo es cerrado y eventualmente colapsará.