Domina las leyes del movimiento: ejercicios de mecánica clásica (

1. Datos iniciales — Tenemos la masa del bus, el tiempo de aceleración y la velocidad final. Necesitamos calcular la aceleración primero.
2. Cálculo de la aceleración — La aceleración se calcula como el cambio de velocidad dividido por el tiempo. Como parte del reposo, la velocidad inicial es cero.
   $$a=\frac{v_f-v_i}{t}=\frac{12\text{ m/s}-0}{5\text{ s}}=2.4{\text{ m/s}}^2$$
3. Aplicación de la segunda ley — Con la aceleración conocida, aplicamos la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza neta requerida.
   $$F_{net}=m\cdot a=15000\text{ kg}\times 2.4{\text{ m/s}}^2=36000\text{ N}$$

$$a=2.4{\text{m/s}}^2{F}_{net}=36000\text{N}$$

→ La aceleración del bus es 2.4 m/s² y la fuerza neta requerida es 36 000 N

1. Masa total del sistema — Calculamos la masa total del ascensor más los pasajeros.
   $$m_{total}=m_{asc}+n\cdot m_{pas}=800\text{kg}+10\times 70\text{kg}=1500\text{kg}$$
2. Fuerza neta en el ascensor — La fuerza neta es la diferencia entre la fuerza del cable hacia arriba y el peso hacia abajo.
   $$F_{neta}=F_{cable}-m_{total}\cdot g=m_{total}\cdot a$$
3. Cálculo de la fuerza del cable — Despejamos la fuerza del cable de la ecuación de fuerza neta.
   $$F_{cable}=m_{total}\cdot (g+a)=1500\text{kg}\times (9.81+1){\text{m/s}}^2=16215\text{N}$$
4. Fuerza normal sobre el pasajero — Para el pasajero, la fuerza normal es la fuerza que el piso del ascensor ejerce sobre él.
   $$F_{normal}=m_{pas}\cdot (g+a)=70\text{kg}\times 10.81{\text{m/s}}^2=756.7\text{N}$$

$$F_{cable}=16215\text{N}{F}_{normal}=756.7\text{N}$$

→ La fuerza del cable es 16 215 N y la fuerza normal sobre el pasajero es 756.7 N

1. Altura máxima — En el punto más alto, la velocidad final es cero. Usamos la ecuación de movimiento sin tiempo.
   $$h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{{15}^2}{2\times 9.81}=\frac{225}{19.62}\approx 11.47\text{m}$$
2. Tiempo de subida — El tiempo para alcanzar la altura máxima se calcula con $v_f=v_0-gt$.
   $$t_{subida}=\frac{v_0}{g}=\frac{15}{9.81}\approx 1.53\text{s}$$
3. Tiempo total de vuelo — El tiempo total es el doble del tiempo de subida, ya que el tiempo de bajada es igual.
   $$t_{total}=2\times t_{subida}=2\times 1.53=3.06\text{s}$$

$$h_{max}=11.47\text{m}{t}_{total}=3.06\text{s}$$

→ El mango alcanza una altura máxima de 11.47 m y tarda 3.06 s en regresar

1. Peso del camión — Calculamos el peso total del camión en newtons.
   $$W=m\cdot g=20000\text{kg}\times 9.81{\text{m/s}}^2=196200\text{N}$$
2. Equilibrio vertical — La suma de las componentes verticales de las tensiones debe igualar el peso del camión.
   $$2T\sin (\theta )=W$$
3. Cálculo de la tensión — Despejamos la tensión en cada cable.
   $$T=\frac{W}{2\sin (\theta )}=\frac{196200}{2\times \sin (30°)}=\frac{196200}{2\times 0.5}=196200\text{N}$$

$$T=196200\text{N}$$

→ La tensión en cada cable es 196 200 N

1. Conversión de unidades — Convertimos las velocidades de km/h a m/s para trabajar con unidades consistentes.
   $$v_A=60\text{km/h}=60\times \frac{1000}{3600}=16.67\text{m/s}{v}_B=45\text{km/h}=45\times \frac{1000}{3600}=12.5\text{m/s}$$
2. Conservación del momentum — Aplicamos la conservación del momentum lineal total antes y después del choque.
   $$m_A{v}_A-m_B{v}_B=(m_A+m_B)v_f$$
3. Cálculo de la velocidad final — Despejamos la velocidad final del sistema combinado.
   $$v_f=\frac{m_A{v}_A-m_B{v}_B}{m_A+m_B}=\frac{1200\times 16.67-1500\times 12.5}{1200+1500}=\frac{20004-18750}{2700}=\frac{1254}{2700}\approx 0.464\text{m/s}$$
4. Dirección del movimiento — Como el resultado es positivo, el sistema se moverá hacia el norte.

$$v_f=0.464\text{m/s}\text{(hacia el norte)}$$

→ El sistema se moverá hacia el norte con una velocidad de 0.464 m/s (aproximadamente 1.67 km/h)

1. Velocidad relativa a la orilla — La velocidad de la piragua respecto a la orilla es la suma de su velocidad relativa al agua y la velocidad de la corriente.
   $$v_{piragua/orilla}=v_{piragua/agua}+v_{agua/orilla}=5\text{km/h}+3\text{km/h}=8\text{km/h}$$
2. Tiempo de viaje — El tiempo se calcula dividiendo la distancia por la velocidad.
   $$t=\frac{d}{v}=\frac{8\text{km}}{8\text{km/h}}=1\text{h}$$

$$v=8\text{km/h}t=1\text{h}$$

→ La piragua se mueve a 8 km/h respecto a la orilla y tardará 1 hora en recorrer 8 km

1. Fase de aceleración — Calculamos la distancia recorrida durante la aceleración usando $d=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$. Primero encontramos la aceleración.
   $$a=\frac{v_1-v_0}{t_1}=\frac{20-0}{10}=2{\text{m/s}}^2{d}_1=\frac{1}{2}a{t}_1^2=\frac{1}{2}\times 2\times {10}^2=100\text{m}$$
2. Fase de velocidad constante — La distancia en esta fase es simplemente velocidad por tiempo.
   $$d_2=v_1\times t_2=20\times 30=600\text{m}$$
3. Fase de frenado — Calculamos la distancia recorrida durante el frenado. Primero encontramos la desaceleración.
   $$a=\frac{v_2-v_1}{t_3}=\frac{0-20}{8}=-2.5{\text{m/s}}^2{d}_3=v_1{t}_3+\frac{1}{2}a{t}_3^2=20\times 8+\frac{1}{2}\times (-2.5)\times 8^2=160-80=80\text{m}$$
4. Distancia total — Sumamos las distancias de las tres fases.
   $$d_{total}=d_1+d_2+d_3=100+600+80=780\text{m}$$

$$d_{total}=780\text{m}$$

→ El bus recorre una distancia total de 780 metros

1. Componente del peso paralela al plano — Calculamos la componente del peso que actúa en la dirección del movimiento (paralela al plano inclinado).
   $$F=m\cdot g\cdot \sin (\theta )=2000\times 9.81\times \sin (30°)=2000\times 9.81\times 0.5=9810\text{N}$$
2. Potencia requerida — La potencia es el producto de la fuerza por la velocidad.
   $$P=F\cdot v=9810\text{N}\times 3\text{m/s}=29430\text{W}=29.43\text{kW}$$

$$P=29.43\text{kW}$$

→ La potencia mínima requerida es 29.43 kW

1. Alcance máximo — Para un ángulo de 45°, el alcance máximo se simplifica a esta fórmula.
   $$R=\frac{v_0^2}{g}=\frac{{50}^2}{9.81}=\frac{2500}{9.81}\approx 254.8\text{m}$$
2. Altura máxima — Calculamos la altura máxima usando la componente vertical de la velocidad inicial.
   $$h_{max}=\frac{{(v_0\sin (\theta ))}^2}{2g}=\frac{{(50\times \sin (45°))}^2}{2\times 9.81}=\frac{{(50\times 0.707)}^2}{19.62}=\frac{1250}{19.62}\approx 63.7\text{m}$$
3. Tiempo total de vuelo — El tiempo total depende de la componente vertical de la velocidad inicial.
   $$t_{total}=\frac{2v_0\sin (\theta )}{g}=\frac{2\times 50\times 0.707}{9.81}=\frac{70.7}{9.81}\approx 7.21\text{s}$$

$$R=254.8\text{m}{h}_{max}=63.7\text{m}{t}_{total}=7.21\text{s}$$

→ El cohete alcanza un alcance máximo de 254.8 m, una altura máxima de 63.7 m y está en el aire durante 7.21 s

1. Fuerza aplicada — En una polea móvil ideal, la fuerza necesaria es la mitad del peso del objeto.
   $$F_{aplicada}=\frac{m\cdot g}{2}=\frac{500\times 9.81}{2}=2452.5\text{N}$$
2. Trabajo realizado — El trabajo realizado para levantar el motor es igual al aumento de energía potencial gravitatoria.
   $$W_{salida}=m\cdot g\cdot h=500\times 9.81\times 2=9810\text{J}$$
3. Trabajo de entrada — El trabajo de entrada es la fuerza aplicada por la distancia tirada.
   $$W_{entrada}=F_{aplicada}\cdot d=2452.5\times d$$
4. Igualdad de trabajos — Como no hay fricción, los trabajos de entrada y salida son iguales.
   $$W_{entrada}=W_{salida}⟹2452.5\times d=9810⟹d=\frac{9810}{2452.5}=4\text{m}$$

$$F=2452.5\text{N}d=4\text{m}$$

→ La fuerza necesaria es 2 452.5 N y el operario debe tirar 4 m de cuerda para levantar el motor 2 m

1. Conversión de velocidad — Convertimos la velocidad de km/h a m/s para consistencia con las unidades.
   $$v=60\text{km/h}=60\times \frac{1000}{3600}=16.67\text{m/s}$$
2. Fuerza centrípeta — Calculamos la fuerza centrípeta necesaria para mantener al bus en la curva.
   $$F_c=\frac{m{v}^2}{R}=\frac{15000\times {16.67}^2}{500}=\frac{15000\times 277.89}{500}=83367\text{N}$$
3. Fuerza normal — En una superficie horizontal, la fuerza normal es igual al peso del bus.
   $$N=m\cdot g=15000\times 9.81=147150\text{N}$$
4. Coeficiente de fricción mínimo — El coeficiente de fricción debe ser suficiente para proporcionar la fuerza centrípeta necesaria.
   $${\mu }_{min}=\frac{F_c}{N}=\frac{83367}{147150}\approx 0.566$$

$$F_c=83367\text{N}{\mu }_{min}=0.566$$

→ La fuerza centrípeta es 83 367 N y el coeficiente de fricción mínimo requerido es 0.566