El Caos que Gobierna el Universo: Ejercicios de Dinámica No Linea

1. Expresión de la divergencia — En sistemas caóticos, la diferencia entre dos trayectorias crece según delta_x(t) = delta_x_0 \times e^{lambda t} ParseError: Double subscript at position 21: …_x(t) = delta_x_̲0 \times e^{lam…. Aquí delta_x_0 = v \times delta_t_0 ParseError: Double subscript at position 8: delta_x_̲0 = v \times de… porque la diferencia inicial en tiempo se traduce en una diferencia espacial.
   delta_x_0 = v \times delta_t_0 ParseError: Double subscript at position 8: delta_x_̲0 = v \times de…
2. Cálculo de la diferencia final — Sustituye los valores dados en la expresión de divergencia exponencial. Usa $lambda=0.5$ s^{-1} como exponente de Lyapunov típico para tráfico en ciudades.
   delta_x = v \times delta_t_0 \times e^{lambda t} ParseError: Double subscript at position 27: … \times delta_t_̲0 \times e^{lam…
3. Verificación dimensional — Confirma que el resultado tiene unidades de longitud (metros). La velocidad está en m/s, el tiempo en s, y el exponente es adimensional.

$$1.46\times {10}^4\text{ m}$$

→ La diferencia de posición después de 10 minutos es aproximadamente 14 600 metros.

1. Ecuaciones del movimiento — El péndulo doble se describe con dos ecuaciones diferenciales acopladas. Para ángulos pequeños, se linealiza, pero con 10° se mantienen términos no lineales como $sin(theta)\approx theta-thet{a}^3/6$.
   $$\{\begin{array}{c}(m_1+m_2)L_1{\ddot{theta}}_1+m_2{L}_2{\ddot{theta}}_{2}cos(thet{a}_1-thet{a}_2)+m_2{L}_2{\dot{theta}}_2^{2}sin(thet{a}_1-thet{a}_2)+(m_1+m_2)gsin(thet{a}_1)=0\\ m_2{L}_2{\ddot{theta}}_2+m_2{L}_1{\ddot{theta}}_{1}cos(thet{a}_1-thet{a}_2)-m_2{L}_1{\dot{theta}}_1^{2}sin(thet{a}_1-thet{a}_2)+m_{2}gsin(thet{a}_2)=0\end{array}$$
2. Análisis de caos — Para determinar si el sistema es caótico, calcula el exponente de Lyapunov. Si es positivo, el sistema es caótico. En la práctica, con estos parámetros, el péndulo doble exhibe caos para ángulos mayores a 5°.
   $$lambda>0\Rightarrow \text{sistema caótico}$$
3. Simulación cualitativa — Usa un software como Python con SciPy para simular las ecuaciones. Observarás que trayectorias cercanas divergen rápidamente, confirmando el caos.

→ El sistema es caótico. No tiene un período definido; pequeñas variaciones en las condiciones iniciales generan trayectorias completamente diferentes.

1. Interpretación de parámetros — En el modelo de Lorenz, $sigma$ controla la convección, $r$ la diferencia de temperatura entre capas, y $b$ la relación de aspecto del sistema. Para el clima andino, $r$ es alto porque hay grandes diferencias de temperatura entre el valle (Cali) y la montaña (Bogotá).
   $$r\propto \mathrm{\Delta }{T}_{atmosf\acute{e}rico}$$
2. Análisis del atractor — Con $sigma=10$, $r=28$ y $b=8/3$, el sistema de Lorenz exhibe un atractor extraño: trayectorias que nunca se cruzan pero llenan un volumen en el espacio de fase. Esto explica por qué el clima en Colombia es difícil de predecir más allá de 3-5 días.
   $$\text{Atractor extraño}\Rightarrow \text{caos determinista}$$
3. Aplicación local — En Bogotá, donde la temperatura puede cambiar 15°C en un día por efectos de la altitud y la humedad, el parámetro $r$ sería aún más alto, aumentando la sensibilidad a condiciones iniciales.

→ Los parámetros representan la convección ($sigma$), la diferencia de temperatura entre capas atmosféricas ($r$) y la geometría del sistema ($b$). El atractor de Lorenz muestra caos determinista, explicando por qué el clima en Colombia es impredecible a largo plazo.

1. Ecuación logística simplificada — Para $K$ grande, la ecuación se simplifica a $P_{n+1}=r\times P_n$. Esto es una aproximación válida si la población inicial es mucho menor que la capacidad de carga de la laguna.
   $$P_{n+1}=r\times P_n$$
2. Cálculo iterativo — Aplica la ecuación iterativamente para $n=5$ generaciones. Observa cómo crece la población.
   $$P_5=P_0\times r^5$$
3. Análisis de caos — Para $r=2.5$, el sistema logístico está en la región periódica (no caótica). Los valores de $r$ que generan caos son mayores a 3.57.
   $$2.5<3.57\Rightarrow \text{no caótico}$$

$$9.77\times {10}^4\text{ peces}$$

→ Después de 5 generaciones hay aproximadamente 97 656 tilapias. El sistema no es caótico para $r=2.5$.

1. Ecuación logística completa — Aplica la ecuación logística con capacidad de carga $K$. Esto modela cómo el precio se estabiliza cuando alcanza un valor máximo.
   $$P_{n+1}=r\times P_n\times (1-\frac{P_n}{K})$$
2. Cálculo iterativo — Calcula $P_1$ a $P_{10}$ usando la ecuación. Usa una tabla para organizar los resultados.
   $$P_{n+1}=3.8\times P_n\times (1-\frac{P_n}{1000})$$
3. Análisis de caos — Para $r=3.8$, el sistema es caótico. Esto explica por qué predecir el precio del café a largo plazo es tan difícil, incluso con modelos complejos.
   $$3.57<r<4\Rightarrow \text{caótico}$$

$$816\text{ COP/libra}$$

→ Después de 10 iteraciones, el precio es aproximadamente 816 COP/libra. El sistema es caótico.

1. Ecuaciones diferenciales — El péndulo doble se describe con un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden (2 para ángulos, 2 para velocidades angulares).
   $$\begin{array}{cc}{\dot{theta}}_1& =omeg{a}_1\\ {\dot{omega}}_1& =...\\ {\dot{theta}}_2& =omeg{a}_2\\ {\dot{omega}}_2& =...\end{array}$$
2. Código Python — Implementa el código usando SciPy. Define las ecuaciones y resuelve el sistema con odeint. Grafica las trayectorias en el espacio de fase.
   from scipy.integrate import odeint import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def derivadas(y, t, m1, m2, L1, L2, g): theta1, omega1, theta2, omega2 = y # ... ecuaciones ... return [omega1, domega1_dt, omega2, domega2_dt] # Parámetros y condiciones iniciales y0 = [np.radians(10), 0, np.radians(0), 0] t = np.linspace(0, 10, 1000) sol = odeint(derivadas, y0, t, args=(m1, m2, L1, L2, g)) plt.plot(sol[:,0], sol[:,2]) plt.xlabel('$\\theta_1$') plt.ylabel('$\\theta_2$') plt.title('Espacio de fase del p\text{é}ndulo doble') plt.show() ParseError: Expected 'EOF', got '#' at position 171: …omega2 = y #̲ ... ecuaciones…
3. Análisis de sensibilidad — Al cambiar ligeramente las condiciones iniciales (por ejemplo, $thet{a}_1=10.001°$), las trayectorias divergen exponencialmente. Esto se debe al exponente de Lyapunov positivo del sistema.
   $$\mathrm{\Delta }\theta (t)\propto e^{lambdat}$$

→ El código genera trayectorias caóticas en el espacio de fase. Pequeñas variaciones en las condiciones iniciales (0.001°) generan trayectorias completamente diferentes después de 10 segundos.

1. Ecuaciones del tráfico — El modelo básico incluye la ecuación de continuidad $\partial k/\partial t+\partial q/\partial x=0$ y una relación velocidad-densidad como $v(k)=v_{max}\times (1-k/k_c)$. La no linealidad está en el término $k/k_c$.
   $$\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left[v_{max}k(1-\frac{k}{k_c})\right]=0$$
2. Análisis de no linealidad — La ecuación tiene un término cúbico en $k$: $k-k^2/k_c$. Para densidades altas ($k\approx k_c$), este término domina y puede generar inestabilidades.
   $$q=v_{max}k(1-\frac{k}{k_c})=v_{max}k-\frac{v_{max}}{k_c}{k}^2$$
3. Condiciones para caos — En tráfico vehicular, el caos aparece cuando la densidad supera un umbral crítico y la velocidad disminuye drásticamente. Esto genera ondas de stop-and-go que son impredecibles a largo plazo.
   $$k>k_{caos}\Rightarrow \text{comportamiento caótico}$$

→ El modelo de tráfico en el puente de la 116 puede exhibir caos cuando la densidad supera los 100 vehículos/km. Esto genera congestiones impredecibles y ondas de tráfico que no siguen un patrón fijo.

1. Definición del exponente de Lyapunov — El exponente de Lyapunov $lambda$ se define como $lambda={\lim }_{t\to \infty }\frac{1}{t}\ln \left(\frac{||\delta Z(t)||}{||\delta Z(0)||}\right)$, donde $\delta Z$ es la separación entre dos trayectorias cercanas.
   $$\lambda =\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}\ln \left(\frac{||\delta 𝐙(t)||}{||\delta 𝐙(0)||}\right)$$
2. Cálculo numérico — Simula dos trayectorias del sistema de Lorenz con condiciones iniciales separadas por $||\delta Z(0)||={10}^{-10}$. Mide la separación $||\delta Z(t)||$ en función del tiempo y calcula $lambda$ como la pendiente de $\ln (||\delta Z||)$ vs $t$.
   $$lambda\approx \text{pendiente de }\ln (||\delta 𝐙||)\text{ vs }t$$
3. Interpretación — Para Lorenz con $r=28$, el exponente de Lyapunov es positivo ($\lambda \approx 0.9$ s^{-1}), lo que confirma el caos determinista. Esto explica por qué el clima en Colombia es tan sensible a pequeñas variaciones, como el aleteo de una mariposa en la Sierra Nevada.
   $$\lambda >0\Rightarrow \text{caos determinista}$$

$$\lambda \approx 0.9{\text{ s}}^{-1}$$

→ El exponente de Lyapunov para el sistema de Lorenz con estos parámetros es aproximadamente 0.9 $s^{-1}$, lo que confirma la sensibilidad a condiciones iniciales y el comportamiento caótico.