Formulación Lagrangiana: Ejercicios para Colombia

1. Energía cinética — Calcula la energía cinética $T$ del bus en movimiento horizontal. Usa la fórmula clásica para energía cinética de traslación.
   $$T=\frac{1}{2}m{v}^2$$
2. Energía potencial — Determina la energía potencial gravitatoria $V$. Como el bus se mueve a altura constante (referencia en el suelo), $h=0$.
   $$V=mgh=0$$
3. Lagrangiano — Construye el lagrangiano $L$ restando la energía potencial de la cinética. Observa que $V=0$ simplifica el cálculo.
   $$L=T-V=\frac{1}{2}m{v}^2$$

$$L=864000\text{J}$$

→ El lagrangiano es $L=864000\text{J}$

1. Lagrangiano — Construye el lagrangiano $L=T-V$ donde $T$ es la energía cinética y $V$ la potencial gravitatoria.
   $$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-mgx$$
2. Derivada parcial respecto a $\dot{x}$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ para aplicar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$$
3. Derivada temporal — Deriva respecto al tiempo la expresión obtenida en el paso anterior.
   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=m\ddot{x}$$
4. Derivada parcial respecto a $x$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial x}$ para completar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial x}=-mg$$
5. Ecuación de movimiento — Sustituye en la ecuación de Lagrange y simplifica para obtener la ecuación diferencial de segundo orden.
   $$m\ddot{x}+mg=0\Rightarrow \ddot{x}=-g$$

$$\ddot{x}=-9.81{\text{m/s}}^2$$

→ La ecuación de movimiento es $\ddot{x}=-9.81{\text{m/s}}^2$

1. Energías en coordenadas polares — Expresa la energía cinética y potencial en términos de la coordenada generalizada $\theta$.
   $$T=\frac{1}{2}m{(l\dot{\theta })}^2;V=-mgl\cos \theta$$
2. Lagrangiano — Construye el lagrangiano $L=T-V$ usando las expresiones anteriores.
   $$L=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl\cos \theta$$
3. Derivada parcial respecto a $\dot{\theta }$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}$ para aplicar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=m{l}^2\dot{\theta }$$
4. Derivada temporal — Deriva respecto al tiempo la expresión obtenida en el paso anterior.
   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)=m{l}^2\ddot{\theta }$$
5. Derivada parcial respecto a $\theta$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \theta }$ para completar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \theta }=-mgl\sin \theta$$
6. Ecuación linealizada — Para ángulos pequeños, $\sin \theta \approx \theta$. Sustituye y simplifica para obtener la ecuación diferencial lineal.
   $$m{l}^2\ddot{\theta }+mgl\theta =0\Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$$

$$\ddot{\theta }+1.962\theta =0$$

→ La ecuación de movimiento es $\ddot{\theta }+1.962\theta =0$

1. Energías — Expresa la energía cinética y potencial elástica en términos del desplazamiento $x$.
   $$T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2;V=\frac{1}{2}k{x}^2$$
2. Lagrangiano — Construye el lagrangiano $L=T-V$ usando las energías calculadas.
   $$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$$
3. Derivada parcial respecto a $\dot{x}$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ para aplicar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$$
4. Derivada temporal — Deriva respecto al tiempo la expresión obtenida en el paso anterior.
   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=m\ddot{x}$$
5. Derivada parcial respecto a $x$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial x}$ para completar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial x}=-kx$$
6. Ecuación de movimiento — Sustituye en la ecuación de Lagrange y simplifica para obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico.
   $$m\ddot{x}+kx=0\Rightarrow \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$

$$\ddot{x}+400x=0$$

→ La ecuación de movimiento es $\ddot{x}+400x=0$

1. Energías en el plano inclinado — Expresa la energía cinética y potencial en términos de la coordenada $s$ a lo largo del plano inclinado.
   $$T=\frac{1}{2}m{\dot{s}}^2;V=-mgs\sin \alpha$$
2. Lagrangiano — Construye el lagrangiano $L=T-V$ usando las expresiones anteriores.
   $$L=\frac{1}{2}m{\dot{s}}^2+mgs\sin \alpha$$
3. Derivada parcial respecto a $\dot{s}$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \dot{s}}$ para aplicar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \dot{s}}=m\dot{s}$$
4. Derivada temporal — Deriva respecto al tiempo la expresión obtenida en el paso anterior.
   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{s}}\right)=m\ddot{s}$$
5. Derivada parcial respecto a $s$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial s}$ para completar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial s}=mg\sin \alpha$$
6. Ecuación de movimiento — Sustituye en la ecuación de Lagrange y simplifica para obtener la ecuación diferencial de segundo orden.
   $$m\ddot{s}-mg\sin \alpha =0\Rightarrow \ddot{s}=g\sin \alpha$$

$$\ddot{s}=4.905{\text{m/s}}^2$$

→ La ecuación de movimiento es $\ddot{s}=4.905{\text{m/s}}^2$

1. Energías en coordenadas polares — Expresa la energía cinética y potencial en términos de la coordenada angular $\theta$.
   $$T=\frac{1}{2}m{(R\dot{\theta })}^2;V=mgR(1-\cos \theta )$$
2. Lagrangiano — Construye el lagrangiano $L=T-V$ usando las expresiones anteriores.
   $$L=\frac{1}{2}m{R}^2{\dot{\theta }}^2-mgR(1-\cos \theta )$$
3. Derivada parcial respecto a $\dot{\theta }$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}$ para aplicar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=m{R}^2\dot{\theta }$$
4. Derivada temporal — Deriva respecto al tiempo la expresión obtenida en el paso anterior.
   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)=m{R}^2\ddot{\theta }$$
5. Derivada parcial respecto a $\theta$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \theta }$ para completar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \theta }=-mgR\sin \theta$$
6. Ecuación de movimiento — Sustituye en la ecuación de Lagrange y simplifica para obtener la ecuación diferencial no lineal.
   $$m{R}^2\ddot{\theta }+mgR\sin \theta =0\Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{R}\sin \theta =0$$

$$\ddot{\theta }+3.27\sin \theta =0$$

→ La ecuación de movimiento es $\ddot{\theta }+3.27\sin \theta =0$

1. Energía potencial inicial — Determina la energía potencial gravitatoria inicial de la cabina en el suelo.
   $$V_i=0$$
2. Energía potencial final — Calcula la energía potencial gravitatoria final de la cabina en la altura máxima $h$.
   $$V_f=mgh$$
3. Trabajo realizado por la gravedad — El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es igual al negativo del cambio en energía potencial.
   $$W=-(V_f-V_i)=-mgh$$
4. Cálculo numérico — Sustituye los valores numéricos para obtener el trabajo realizado.
   $$W=-1500\times 9.81\times 800=-11772000\text{J}$$

$$W=-11772000\text{J}$$

→ El trabajo realizado por la gravedad es $-11772000\text{J}$

1. Momento de inercia — Calcula el momento de inercia de la barra delgada alrededor del eje de rotación.
   $$I=\frac{1}{3}M{L}^2$$
2. Energía cinética — Expresa la energía cinética de rotación en términos de $\theta$.
   $$T=\frac{1}{2}I{\dot{\theta }}^2=\frac{1}{6}M{L}^2{\dot{\theta }}^2$$
3. Energía potencial — Calcula la energía potencial gravitatoria del centro de masa de la barra.
   $$V=-Mg\frac{L}{2}\cos \theta$$
4. Lagrangiano — Construye el lagrangiano $L=T-V$ usando las expresiones anteriores.
   $$L=\frac{1}{6}M{L}^2{\dot{\theta }}^2+Mg\frac{L}{2}\cos \theta$$
5. Derivada parcial respecto a $\dot{\theta }$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}$ para aplicar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=\frac{1}{3}M{L}^2\dot{\theta }$$
6. Derivada temporal — Deriva respecto al tiempo la expresión obtenida en el paso anterior.
   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)=\frac{1}{3}M{L}^2\ddot{\theta }$$
7. Derivada parcial respecto a $\theta$ — Calcula $\frac{\partial L}{\partial \theta }$ para completar la ecuación de Lagrange.
   $$\frac{\partial L}{\partial \theta }=-Mg\frac{L}{2}\sin \theta$$
8. Ecuación de movimiento — Sustituye en la ecuación de Lagrange y simplifica para obtener la ecuación diferencial final.
   $$\frac{1}{3}M{L}^2\ddot{\theta }+Mg\frac{L}{2}\sin \theta =0\Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{3g}{2L}\sin \theta =0$$

$$\ddot{\theta }+14.715\sin \theta =0$$

→ La ecuación de movimiento es $\ddot{\theta }+14.715\sin \theta =0$

1. Energías cinéticas — Expresa la energía cinética total del sistema en términos de las velocidades de las masas.
   $$T=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x}}_2^2$$
2. Energías potenciales — Expresa la energía potencial total como la suma de las energías potenciales de los dos resortes.
   $$V=\frac{1}{2}{k}_1{x}_1^2+\frac{1}{2}{k}_2{(x_2-x_1)}^2$$
3. Lagrangiano — Construye el lagrangiano $L=T-V$ usando las expresiones anteriores.
   $$L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x}}_2^2-\frac{1}{2}{k}_1{x}_1^2-\frac{1}{2}{k}_2{(x_2-x_1)}^2$$
4. Ecuación para $x_1$ — Aplica la ecuación de Lagrange para la coordenada $x_1$ y simplifica.
   $$m_1{\ddot{x}}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0$$
5. Ecuación para $x_2$ — Aplica la ecuación de Lagrange para la coordenada $x_2$ y simplifica.
   $$m_2{\ddot{x}}_2+k_2{x}_2-k_2{x}_1=0$$

$$m_1{\ddot{x}}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0\text{y}{m}_2{\ddot{x}}_2+k_2{x}_2-k_2{x}_1=0$$

→ Las ecuaciones de movimiento son $m_1{\ddot{x}}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0$ y $m_2{\ddot{x}}_2+k_2{x}_2-k_2{x}_1=0$

1. Funcional del tiempo — Expresa el tiempo de viaje como un funcional de la trayectoria $y(x)$.
   $$T[y]={\int }_0^D\frac{\sqrt{1+{(y^{\prime })}^2}}{v_0+\alpha x}dx$$
2. Ecuación de Euler-Lagrange — Aplica el principio variacional para obtener la ecuación diferencial que debe satisfacer la trayectoria óptima.
   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{y^{\prime }}{(v_0+\alpha x)\sqrt{1+{(y^{\prime })}^2}}\right)=0$$
3. Primera integral — Integra la ecuación de Euler-Lagrange para obtener una primera integral (constante de movimiento).
   $$\frac{y^{\prime }}{(v_0+\alpha x)\sqrt{1+{(y^{\prime })}^2}}=C$$
4. Resolución de la ecuación — Resuelve la ecuación diferencial resultante para encontrar la relación entre $y^{\prime }$ y $x$.
   $$y^{\prime }=\frac{C(v_0+\alpha x)}{\sqrt{1-C^2{(v_0+\alpha x)}^2}}$$
5. Trayectoria óptima — Integra la expresión anterior para obtener la trayectoria $y(x)$ como función de $x$.
   $$y(x)={\int }_0^x\frac{C(v_0+\alpha \xi )}{\sqrt{1-C^2{(v_0+\alpha \xi )}^2}}d\xi$$

$$y(x)={\int }_0^x\frac{C(v_0+\alpha \xi )}{\sqrt{1-C^2{(v_0+\alpha \xi )}^2}}d\xi$$

→ La trayectoria óptima es $y(x)={\int }_0^x\frac{C(v_0+\alpha \xi )}{\sqrt{1-C^2{(v_0+\alpha \xi )}^2}}d\xi$