Ejercicios clave de Mecánica de Fluidos para estudiantes en COLOM

1. Fórmula de presión hidrostática — La presión en un punto dentro de un fluido en reposo depende únicamente de la profundidad, la densidad del fluido y la aceleración gravitacional. La fórmula es $P=\rho gh$.
   $$P=\rho \cdot g\cdot h$$
2. Cálculo para el fondo de la piscina — Sustituimos los valores para la profundidad total de 3 metros.
   $$P_{\text{total}}=1000{\text{kg/m}}^3\times 9.81{\text{m/s}}^2\times 3\text{m}$$
3. Cálculo para la profundidad del niño — Aplicamos la misma fórmula con la profundidad de 2 metros donde se encuentra el niño.
   $$P_{\text{niño}}=1000{\text{kg/m}}^3\times 9.81{\text{m/s}}^2\times 2\text{m}$$

→ La presión en el fondo de la piscina es 29 430 Pa y en los oídos del niño a 2 m es 19 620 Pa.

1. Volumen total del bote — Calculamos el volumen total del bote rectangular.
   $$V_{\text{bote}}=L\times A\times h_{\text{bote}}$$
2. Peso del bote — Multiplicamos el volumen por la densidad de la madera y por la gravedad.
   $$W_{\text{bote}}={\rho }_{\text{madera}}\times V_{\text{bote}}\times g$$
3. Empuje en equilibrio — En equilibrio, el empuje iguala al peso del bote. El empuje es $F_{\text{empuje}}={\rho }_{\text{agua}}\times V_{\text{sumergido}}\times g$.
   $$F_{\text{empuje}}={\rho }_{\text{agua}}\times V_{\text{sumergido}}\times g=W_{\text{bote}}$$
4. Cálculo del volumen sumergido — Despejamos $V_{\text{sumergido}}$ y sustituimos los valores.
   $$V_{\text{sumergido}}=\frac{{\rho }_{\text{madera}}\times V_{\text{bote}}}{{\rho }_{\text{agua}}}$$
5. Altura sumergida — Dividimos el volumen sumergido entre el área de la base para obtener la altura sumergida.
   $$h_{\text{sumergido}}=\frac{V_{\text{sumergido}}}{L\times A}$$

→ Sí, el bote flota. El volumen sumergido es 0.6 m³ y la altura sumergida es 0.3 m.

1. Área de la sección inicial — Convertimos el diámetro a metros y calculamos el área de la tubería inicial.
   $$A_1=\pi {\left(\frac{D_1}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{0.50}{2}\right)}^2$$
2. Área de la sección reducida — Calculamos el área de la tubería reducida.
   $$A_2=\pi {\left(\frac{D_2}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{0.30}{2}\right)}^2$$
3. Caudal volumétrico — El caudal es constante, así que $Q=A_1{v}_1=A_2{v}_2$. Calculamos $Q$ usando los valores iniciales.
   $$Q=A_1\times v_1$$
4. Velocidad aguas abajo — Despejamos $v_2$ usando la ecuación de continuidad.
   $$v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{A_1{v}_1}{A_2}$$

→ La velocidad aguas abajo es aproximadamente 5.56 m/s y el caudal volumétrico es 0.3927 m³/s en ambas secciones.

1. Potencia teórica — Aplicamos la fórmula de potencia hidráulica teórica.
   $$P_{\text{teórica}}=\rho \times Q\times g\times h$$
2. Potencia real — Multiplicamos la potencia teórica por el rendimiento del 85%.
   $$P_{\text{real}}=\eta \times P_{\text{teórica}}$$
3. Conversión a megavatios — Convertimos la potencia de vatios a megavatios.
   $$P_{\text{MW}}=\frac{P_{\text{real}}}{1000000}$$

→ La potencia teórica disponible es 359 MW y la potencia real generada es aproximadamente 305 MW.

1. Conversión de unidades — Convertimos el diámetro de centímetros a metros.
   $$D=10\text{cm}=0.10\text{m}$$
2. Cálculo del número de Reynolds — Sustituimos los valores en la fórmula del número de Reynolds.
   $$Re=\frac{920{\text{kg/m}}^3\times 0.5\text{m/s}\times 0.10\text{m}}{0.08\text{Pa·s}}$$
3. Clasificación del flujo — Comparamos el valor de Re con los umbrales conocidos para determinar el tipo de flujo.

$$Re=575\text{(flujo laminar)}$$

→ El número de Reynolds es 575, por lo que el flujo es laminar.

1. Área de la sección trapezoidal — Calculamos el área del canal usando la fórmula del trapezoide.
   $$A=\frac{(b_1+b_2)}{2}\times h=\frac{(5+8)}{2}\times 2$$
2. Caudal total del canal — Multiplicamos el área por la velocidad para obtener el caudal volumétrico.
   $$Q_{\text{total}}=A\times v$$
3. Caudal para riego — Calculamos el 30% del caudal total para obtener el caudal destinado al riego.
   $$Q_{\text{riego}}=0.30\times Q_{\text{total}}$$
4. Volumen para riego en 1 hora — Multiplicamos el caudal de riego por el tiempo (3600 segundos) para obtener el volumen en m³, luego convertimos a litros.
   $$V_{\text{riego}}=Q_{\text{riego}}\times 3600\text{s}\times 1000{\text{L/m}}^3$$

→ El caudal total del canal es 24 m³/s. Se destinan 25 920 000 litros de agua al riego en una hora.

1. Profundidad del centro de gravedad — Calculamos la profundidad del centro de gravedad de la compuerta, que está a la mitad de su altura desde la superficie.
   $$h_{\text{cg}}=h_{\text{profundidad}}+\frac{\text{alto}}{2}=50+\frac{3}{2}$$
2. Presión en el centro de gravedad — Calculamos la presión hidrostática en el centro de gravedad.
   $$P_{\text{cg}}=\rho \times g\times h_{\text{cg}}$$
3. Área de la compuerta — Calculamos el área de la compuerta rectangular.
   $$A=\text{ancho}\times \text{alto}$$
4. Fuerza total sobre la compuerta — La fuerza es el producto de la presión en el centro de gravedad por el área de la compuerta.
   $$F_{\text{total}}=P_{\text{cg}}\times A$$

$$F_{\text{total}}\approx 5.95\times {10}^6\text{ N}$$

→ La fuerza total que ejerce el agua sobre la compuerta es aproximadamente 5.95 × 10⁶ N (5.95 MN).

1. Conversión de caudal — Convertimos el caudal de litros por segundo a metros cúbicos por segundo.
   $$Q=50\text{L/s}=0.050{\text{m}}^3/\text{s}$$
2. Potencia hidráulica necesaria — Calculamos la potencia requerida para elevar el agua a la altura dada.
   $$P_{\text{hidráulica}}=\rho \times g\times h\times Q$$
3. Potencia eléctrica requerida — Dividimos la potencia hidráulica por el rendimiento de la bomba para obtener la potencia eléctrica.
   $$P_{\text{eléctrica}}=\frac{P_{\text{hidráulica}}}{\eta }$$
4. Costo diario de energía — Calculamos el costo diario multiplicando la potencia eléctrica por las horas de operación y el costo por kWh.
   $$C_{\text{diario}}=P_{\text{eléctrica}}\times 24\text{h}\times 500\text{COP/kWh}$$

→ La potencia eléctrica requerida es 84.1 kW y el costo diario de bombear agua es 1 009 440 COP.

1. Ecuación de Bernoulli — Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre la bomba y la salida de la manguera.
   $$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{h}_1=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{h}_2$$
2. Condiciones en la salida — En la salida (punto 2), la presión es atmosférica (0 Pa manométrico), la altura es 0 m y la velocidad es 15 m/s.
   $$P_2=0\text{ Pa (manométrico)},h_2=0\text{ m},v_2=15\text{ m/s}$$
3. Condiciones en la bomba — En la bomba (punto 1), asumimos que la altura es 0 m (nivel del suelo) y la velocidad es despreciable comparada con la salida.
   $$h_1=0\text{ m},v_1\approx 0\text{ m/s}$$
4. Presión requerida — Despejamos la presión en la bomba ($P_1$) y sustituimos los valores.
   $$P_1=\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{h}_{\text{máxima}}$$

$$P_{\text{manométrica}}=245250\text{ Pa}$$

→ La presión manométrica que debe suministrar la bomba es 245 250 Pa (aproximadamente 2.45 bar).