Métodos Computacionales en Física: Simulaciones y Modelado en laU

1. Configuración inicial — Define las condiciones iniciales: altura $h$, velocidad inicial $v_0=0$, y aceleración $g$. Inicializa el tiempo $t=0$ y la posición $y=h$.
2. Iteración del método de Euler — En cada paso de tiempo $dt$, actualiza la velocidad usando $v_{n+1}=v_n+g\cdot dt$ y la posición con $y_{n+1}=y_n+v_n\cdot dt$. Guarda los valores en cada iteración.
   $$v_{n+1}=v_n+g\cdot dt\text{y}{y}_{n+1}=y_n+v_n\cdot dt$$
3. Condición de parada — Detén la simulación cuando la posición $y_n$ sea menor o igual a cero, indicando que la pelota ha llegado al suelo.
   $$y_n\le 0$$
4. Cálculo del tiempo teórico — Usa la fórmula del movimiento uniformemente acelerado para calcular el tiempo teórico de caída libre sin rozamiento.
   $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

→ Tiempo simulado: aproximadamente 6.32 segundos. Tiempo teórico: 6.31 segundos.

1. Relación velocidad-densidad — Asume un modelo lineal para la velocidad: $v(\rho )=v_{\text{max}}(1-\frac{\rho }{{\rho }_{\text{max}}})$.
   $$v(\rho )=v_{\text{max}}(1-\frac{\rho }{{\rho }_{\text{max}}})$$
2. Expresión del flujo — El flujo es $q=\rho \cdot v(\rho )=v_{\text{max}}(\rho -\frac{{\rho }^2}{{\rho }_{\text{max}}})$.
   $$q=v_{\text{max}}(\rho -\frac{{\rho }^2}{{\rho }_{\text{max}}})$$
3. Derivada para máximo flujo — Deriva $q$ respecto a $\rho$ e iguala a cero para encontrar la densidad crítica.
   $$\frac{dq}{d\rho }=v_{\text{max}}(1-\frac{2\rho }{{\rho }_{\text{max}}})=0$$
4. Cálculo de densidades — Resuelve para ${\rho }_c$ y luego usa el flujo máximo para encontrar ${\rho }_{\text{max}}$.
   $${\rho }_c=\frac{{\rho }_{\text{max}}}{2}\text{y}{q}_{\text{max}}=\frac{v_{\text{max}}{\rho }_{\text{max}}}{4}$$

→ Densidad crítica: 50 vehículos/km. Densidad máxima: 100 vehículos/km.

1. Ecuación del modelo logístico — Usa la versión discreta del modelo logístico para simular el crecimiento poblacional.
   $$P_{n+1}=P_n+r{P}_n(1-\frac{P_n}{K})dt$$
2. Inicialización — Establece $P_0=2500000$ y simula para 10 años con paso $dt=0.1$.
3. Iteración — Para cada paso de tiempo, actualiza la población usando la ecuación del modelo logístico.
   $$P_{n+1}=2500000+0.015\cdot 2500000(1-\frac{2500000}{4000000})\cdot 0.1$$
4. Resultado final — La población después de 10 años de simulación es el valor final $P_n$.

$$P_{2030}\approx 3650000\text{habitantes}$$

→ Población en 2030: aproximadamente 3 650 000 habitantes.

1. Selección de punto de partida — Elige arbitrariamente Mercado de Bazurto como punto de partida.
2. Primer movimiento — Desde Mercado de Bazurto, la parada más cercana es Estadio Metropolitano (8.2 km).
   $$8.2\text{km}$$
3. Segundo movimiento — Desde Estadio, la más cercana no visitada es Universidad del Atlántico (5.7 km).
   $$5.7\text{km}$$
4. Tercer movimiento — Desde Universidad, la más cercana es Plaza de la Paz (4.3 km).
   $$4.3\text{km}$$
5. Cuarto movimiento — Desde Plaza de la Paz, la única no visitada es Puerto Colombia (12.5 km).
   $$12.5\text{km}$$
6. Regreso al inicio — Desde Puerto Colombia, regresa a Mercado de Bazurto (15.8 km).
   $$15.8\text{km}$$
7. Cálculo total — Suma todas las distancias para obtener la distancia total de la ruta.
   $$8.2+5.7+4.3+12.5+15.8=46.5\text{km}$$

→ Ruta óptima (algoritmo vecino más cercano): Mercado de Bazurto → Estadio Metropolitano → Universidad del Atlántico → Plaza de la Paz → Puerto Colombia → Mercado de Bazurto. Distancia total: 46.5 km.

1. Discretización espacial — Divide el espacio en segmentos de 50 m. El punto de interés es $x=500$ m, que corresponde al nodo $i=10$.
2. Condiciones iniciales — Inicializa la concentración: $C_i^0=0$ para $i>0$, y $C_0^n=100$ para todo $n$.
   $$C_i^0=0(i>0),C_0^n=100$$
3. Iteración temporal — Para cada paso de tiempo, actualiza la concentración en cada nodo usando la fórmula de diferencias finitas.
   $$C_i^{n+1}=C_i^n+\frac{Ddt}{d{x}^2}(C_{i+1}^n-2C_i^n+C_{i-1}^n)-k{C}_i^{n}dt$$
4. Cálculo final — Después de 7200 segundos (2 horas), lee el valor de $C_{10}^n$.

$$C(500\text{m},7200\text{s})\approx 23\mu {\text{g/m}}^3$$

→ Concentración a 500 m después de 2 horas: aproximadamente 23 $\mu$g/m³.

1. Ecuaciones del sistema — Convierte la ecuación de segundo orden en dos ecuaciones de primer orden: $\frac{d\theta }{dt}=\omega$ y $\frac{d\omega }{dt}=-\frac{g}{L}\sin \theta$.
   $$\frac{d\theta }{dt}=\omega \text{y}\frac{d\omega }{dt}=-\frac{g}{L}\sin \theta$$
2. Inicialización — Establece ${\theta }_0=0.1$ rad y ${\omega }_0=0$.
   $${\theta }_0=0.1\text{rad},{\omega }_0=0$$
3. Iteración del método de Euler — En cada paso, actualiza $\theta$ y $\omega$ usando: ${\theta }_{n+1}={\theta }_n+{\omega }_n\cdot dt$ y ${\omega }_{n+1}={\omega }_n-\frac{g}{L}\sin ({\theta }_n)\cdot dt$.
   $${\theta }_{n+1}={\theta }_n+{\omega }_{n}dt\text{y}{\omega }_{n+1}={\omega }_n-\frac{g}{L}\sin ({\theta }_n)dt$$
4. Detección de máximos — Registra los tiempos en los que $\theta$ alcanza un máximo local (cambio de signo en la derivada).
5. Cálculo del período — El período es la diferencia entre dos máximos consecutivos.
   $$T=t_{{\text{máx}}_2}-t_{{\text{máx}}_1}$$
6. Cálculo teórico — Usa la fórmula del péndulo simple para ángulos pequeños: $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
   $$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

→ Período simulado: 2.85 segundos. Período teórico: 2.84 segundos.

1. Asignación de valores temporales — Asigna $t$ desde 1 (enero 2022) hasta 12 (diciembre 2022). La predicción para enero 2023 será $t=13$.
   $$t=1,2,...,12$$
2. Cálculo de sumatorias — Calcula $\sum t$, $\sum y$, $\sum ty$, y $\sum t^2$ donde $y$ son los precios.
   $$\sum t=78,\sum y=215700,\sum ty=1480500,\sum t^2=650$$
3. Cálculo de pendiente — Usa la fórmula para calcular la pendiente $m$ de la regresión lineal.
   $$m=\frac{12\cdot 1480500-78\cdot 215700}{12\cdot 650-{78}^2}$$
4. Cálculo del intercepto — Calcula $b$ usando la pendiente encontrada.
   $$b=\frac{215700-m\cdot 78}{12}$$
5. Predicción — Usa el modelo $P(t)=mt+b$ para predecir el precio en $t=13$.
   $$P(13)=m\cdot 13+b$$

→ Modelo ajustado: $P(t)=420t+14700$. Predicción para enero 2023: 17 960 COP/kg.

1. Inicialización del campo de velocidades — Inicializa la velocidad en todos los nodos a 0.5 m/s, excepto en la región de obstrucción donde será 0.25 m/s.
   $$v_i=0.5\text{m/s}(i<20),v_i=0.25\text{m/s}(20\le i\le 30),v_i=0.5\text{m/s}(i>30)$$
2. Iteración temporal — Para cada paso de tiempo, actualiza la velocidad en cada nodo usando la ecuación de advección.
   $$v_i^{n+1}=v_i^n-v\cdot \frac{dt}{dx}(v_i^n-v_{i-1}^n)$$
3. Aplicación de la obstrucción — En cada iteración, asegúrate de que en la región de obstrucción la velocidad se mantenga reducida.
   $$v_i=0.25\text{m/s}\forall i\text{tales que}20\le i\le 30$$
4. Cálculo del promedio — Después de 50 iteraciones (5 segundos), calcula el promedio de velocidad en los nodos 20 a 30.
   $$v_{\text{prom}}=\frac{1}{11}\sum _{i=20}^{30}{v}_i^{50}$$

$$v_{\text{promedio}}=0.25\text{m/s}$$

→ Velocidad promedio en la región de obstrucción después de 5 segundos: 0.25 m/s.